Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть Я = =а,Р+...+а„Р и, следовательно, ЯХК'=а,К'+...+а„К'. Тогда мы можем определить (а,х', +...+ а„х„') и =а,их,+...+а„их„. (1) Теперь легко проверить все аксиомы, Ассоциативность (бс)и = = Ь(си) следует из равенств (а,х', а,х.,') и = (а,аэл',х,') и =:(а,а,) и (х,х,), а,х',(аех.', и) = а,х',(аьих,) = а, (а,ихе) и, = (а,а2) и (х,х2). Тем же способом можно и, наоборот, любой левый (Я х К')- модуль рассматривать как левый Я-модуль и как правый К-модуль, пользуясь определением их = х'и. Поэтому изоморфные (Я эс Н')-модули дают изоморфные двойные модули, и наоборот.
Эти наблюдения имеют много приложений. Пусть К обозначает алгебру с делением, а Я вЂ” простую алгебру с единицей над Р, причем по крайней мере одна из алгебр Я или К центральна над Р. Тогда согласно Э 103 произведение С х Н' простое. В силу й 105 все простые левые (Г х К')-модули изоморфны друг другу и простым левым идеалам в С х К'.
Следовательно, изоморфны все простые (левые над Я и правые над К) двойные модули. Мы получили предложение: Все неприводимые представления алгебры Я над К эквивалентны. Так как алгебра Я проста, все эти представления точные. Каждое из них отображает алгебру Я и на некоторое подкольцо Х полного матричного кольца К,. Любые два таких представле. ния з 5, и з 52, переводящие С на Х, и на Х„эквивалентны. Согласно э 87 это означает, что существует некоторая не зависящая от з матрица 1~, переводящая Я, в 52 по правилу (2) Отсюда совсем легко получается Теорема о б а в т о и о р ф и з м а х. Если г., и Х2 — две изоморфные прость2е подалгебры центральной простой алгебры К„ то любой изоморфизм между Х, и Х„оставляющий неподвиж. ными элементы основного поля, определяется некоторым внутренним автоморфизмом алгебры К, с помощью равенства (2).
Действительно, любые две такие алгебры Х, и Х2 всегда можно рассматривать как представления одной алгебры Я. Если эти представления приводимы, то они распадаются на одно и то же число неприводимых представлений, потому что степени обоих рассматриваемых представлений равны одному и тому же числу г. Так как эти неприводимые представления эквивалентны, то и исходные представления тоже эквивалентны. 406 ТЕОРИЯ ПРЕДСТЛВЛЮ1ИП ГРУПП И ЛЛГЕБР 1ГЛ. Хгч В качестве частного случая отсюда мы получаем: Любой автогигрфизм кольца К„оставляющий неподвижными элементы г(ентра Р, является вн1(тренним. Когда в последующем речь зайдет об изоморфизмах или автоморфизмах алгебр с единицей, всегда будет предполагаться, что эги отображения оставляют неподвижными элементы основного поля Р. К таковым относятсн во всяком случае внутренние авто- 11ОРфИЗЫЫ.
Пусть опять Я вЂ” некоторая простая алгебра и К вЂ” некоторая алгебра с делением над Р. Одна из алгебр 4 или К предполагается центральной. Тогда алгебра й:хК' проста, а потому изоморфна полному матричному кольцу Л, над некоторым телом Л. Выясним, что можно сказать об этом теле Л. В общем случае Л является кольцом правых эндоморфизмов некоторого простого (ЯхК')-модуля, который согласно сказанному в начале может рассматриваться и как двойной модуль (левый над Я и правый над К). Каждый эндоморфизм (АХ Н')- ьюдуля взаимно однозначным образом определяет эндоморфизм упомянутого двойного модуля ??1; поэтому кольцо Л изоморфно кольцу правых эпдоморфизмов двойного модуля??1.
Следовательно, инверсное тело Л' изоморфно кольцу левых эндоморфизмов двойного модуля Э?11. Можно, конечно, отождествить Л' с этим кольцом левых эндоморфизмов. Если двойной модуль Т?1 рассматривается как векторное пространство над К, то элементы а кольца (о индуцируют линейные преобразования А этого векторного пространства: аи = Аи. Как мы видели, с помощью представления а А кольцо С отображается на подкольцо Х матричного кольца К,. Левые эндоморфизмы модуля ??1, а потому и элементы кольца Л', являются согласно З 100 линейными преобразованиями Е этого векторного пространства, коммутирующими с преобразованиями А: ЕА =АЕ для всех А ее Х.
Таким образом„кольцо Л' является централизатором кольца в кольце Н„т, е. кольцом тех матриц Е из К„которые перестановочны со всеми матрицами А нз Х. Тем самым мы получили структурную теорему о пр оизведениях: Пусть Я вЂ” проспгая алгебра (с единицей) и Н вЂ” алгебра с делением над полем Р. Одна из данных алгебр предполагается центральной над Р и через Н' обозначается тело, инверсно изолгорфное пгелу К. Тогда алгебра с.,х Н' изоморфна полнолгу матричному кольцу Л, над некоторым телом Л. Единственное неприводимое предспгавление алгебры Я над К пгочным образом переводит С на ДВОИНЫГ.
МОДНЛИ И ППОИЗВГДШ1ИЯ ЛЛГСВП 407 4 112) некото;гае подкольцо Х в полной матричной алгебре Н„. Централизатор Л' алгебры Х в К, инверено изоморфен алгебре Л. Степень г представления Я вЂ” ~- г, является рангом двойного модуля РИ над К. Если % рассматривать как (СхК')-модуль, то и над Н' его ранг будет равен г. Теперь Я( можно выбрать как простой левый идеал ( алгебры ЯхК', ранг этого левого идеала равен, таким образом, ((: К') =г. Простое кольцо чо )с Н' = Лг является прямой суммой г таких левых идеалов; следовательно, ранг этого кольца над К' равен (г.
Отсюда вытекает важное соотношение между рангами: (Х: Р) = (91 Р) = (С к К': К') = (г. (3) Формулировка структурной теоремы несколько упростится, если исходить не из С, а из Х и вместо С х К' рассматривать пзоморфную алгебру Х х К'. Таким образом, в полном матричном кольце Н, выбирается подкольцо Х, о котором предполагается, что его матрицы образуют неприводпмую систему. Далее, пусть К или Х (или обе эти алгебры) — центральная алгебра над Р. Тогда структурная теорема утверждает следующее: Пролзведение Х э(К' изоморфно полному матричному кольцу над некоторьгм телом Л.
Центра:гизатор Л' алгебры Х в алгебре К, инверено изол1орфен пгелу Л. Ранг алгебры Х над полем Р равен (г. Предположение о том, что Х является неприводнмой системой линейных преобразований, тоже можно опустить. Так кан алгебра ХкК' проста, каждое матричное представление алгебры Х над К вполне прнводнмо и его неприводимыс составляющие эквивзлентны. Следовательно, матрицы системы Х могут при подходящем выборе базиса привестись к виду А, (4) А,, с з одинаковыми клетками А,, расположеяными вдоль диагонали.
Матрицы Ат образуют неприводимую систему Х,, к которой можно применить доказанную выше структурную теорему. Цснтрализатор системы Х,, включая в себя лишь матрицы ь1, перестановочные со всеми матрицами А, из Х,, вновь является алгеброй Д), инверсно изоморфной алгебре с делением Д. Централизатор Т алгебры Х состоит из матриц где (чь выбираются из Д'. Следовательно, Т = Д,. Как легко проверить, лгежду рангами поэлементио перестановочных колец Х и Т имеет место соотношение (Х: Р)(Т: Р) =-(К,: Р). (6) 1)з (6) легко получается, что цеитрализатор кольца Т вЂ” это опять-таки Х. теОРия пРедстлвлеггин ГРупп и ллГевР 1ГЛ Уин Рассмотренное здесь симметричное соотношение между системами Е н Т находится в тесной связи с теорией Галуа, в большой общности рассмотренной в книге: Джекобсон 11.
Строение колец, гл. хгг и 1Г11. Обратимся теперь к приложениям основной теоремы. 1. Строение кольца КхК'. Пусть К вЂ” центральная алгебра с делением пад полем Р. Тогда можно выбрать в качестве г, само тело К и применить структурную теорему. Порядок Г матриц в этом случае равен 1; система г. тривиальным образом неприводима, Цептрзлизатор Л' алгебры,К в К является центром Р тела Н.
Следовательно, Л=Р, Соотношение (3) между рангами дает равенство (К:Р)=й Мы получили, таким образом, следующий результат: Произведение КХК' является полным матричным кольцом над основным полем Р. Порядок 1 соопгветствуюгцих матриц равен рангу линейного простринства К над гголелг Р. 2. Максилгальные поля в алгебре с делением. Пусть К вЂ” произвольная алгебра с делением над полем Р. Если К не является с самого начала центральной алгеброй над Р, то выберем в качестве нового основного поля Р центр 2 тела К.
Пусть г' — произвольное максимальное подполе в Н. Централизатором поля г.' в теле К является само г., потому что если элемент 6 персстановочен со всеми элементами из г., то тело г. (6) является полем, а так как поле г, должно быть максимальным, элемент 6 должен принадтежать ь. В соответствии с этим Л=Х и, следовательно, г'хК' — полное матричное кольцо пад Х. Инверсное к г. хК кольцо КхГ = Кх Х =Не является, таким образом, полным матричным кольцом над с, т. е. д --поле разложения алгебры К. Представление алгебры Ке полным матричным кольцом дг абсолютно неприводимо.
В 6 103 мы назвали число 1 индексом т алгебры с деленнелг К, если оно равно степени абсолютно неприводимого матричного представления алгебры К над подходящим расширением г. основного поля Р. Таким образом, в данном случае 1= т и Г = 1. Соотношение (3) между рангами дает теперь (г: Р) =у=т, и мы получаем следующее предложение: Максимальные подполя алгебры с делением К, центр которой равен Р, являготся полями разложенггя алгебры Н и их степень (г.: Р) ривна индексу т данного тела.
В качестве приложения этой теоремы мы опишем теперь все алгебра с делениелг над полем г,' вггцвственных чисел. 5 пг1 двонныв модэли и пгоиэведвния ллгввг 499 В этом случае коммутативными алгебрами с делением над Р являются лишь Р и Р(г), т. е. поля вещественных и комплекс- ных чисел. Предположим теперь, что К вЂ” некоммутативная алгебра с делением над Р, Если Š— ее центр и Х вЂ” какое-нибудь макси- мальное подполе в К, то Р ==У =-Х с:.
К; (Х: е)=т; (К: е.) =пгг. Так как К вЂ” некоммутативная алгебра, должно быть выпол- нено неравенство и ) 1. Полями Е и Х могут быть лишь Р и Р (г). Так как пг) 1, поле Х ие равно Е. Следовательно, Х=Р(г), Е=Р, пг=2. Искомая алгебра К может, следовательно, иметь ранг лишь пгг 4 Автоморфизм поля Р(г), переводящий г в — г, согласно тео- реме об автоморфнзмах определяется некоторым внутренним авто- морфизмом тела К, т. е. существует элемент я со свойством пггг-' = — г. (7) Так как (г не содержится в Х ==Р(г), то должно иметь место равенство Х (и) =К; следовательно, К =Р(г, я). Из (7) следует, что )г'Й-г = г', т. е.
элемент 1гг перестановочен с элементом 1. Так как /гг пере. становочен с (г, элемент (гг принадлежит центру: /г'=-а е- =Р. Если бы было агьО, то мы имели бы а= — Ь' и )г' — Ь'=(Сг — Ь)(й+Ь) =О, й — Ь=О или и+Ь=О; следовательно, 7ген Р, что невозможно. Поэтому должно иметь место неравенство а(0, т. е. а= — Ь' (Ьза О). Умножая й на вещественное число Ь-', можно добиться, чтобы было )ге= — 1, и при этом не потерять ни одного из отмеченных выше свойств элемента гг Для г и гг имеем: йг= — И, гг=/ге= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
