Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 88
Текст из файла (страница 88)
То, что это представление абсолютно пеприводимо, легко увидеть, ьычислив его степень. Действительно, если абсолютно неприводимое представление алгебры К, имеет степень и, а алгебры Лв — степень т, то К, (согласно, например, теореме Бернсайда) имеет ранг и', а Лв — ранг т', так что К,хЛв имеет ранг и'т', в то время как степень произведения представлений равна тп, т. е. совпадает со степенью абсолюуно неприводимого предсуавлени я алгебры К, х Лэ. 418 ТЕОРИЯ ПРЕЛСТАЕЛЕИИИ ГРУПП И АЛГГЕР 1ГЛ Х!Ч Теперь мы можем вычислить систему факторов произведения ПрЕдетаВЛЕНИй.
ИЗ Аи= Р,'1,А6Р,О И В,=(~„ВВ1Д,В СЛЕдуЕт, Чта Аа Х Ва = (Рав Х1 ~ив) (Ав Х Ва) (Рав Х ф~в)~ поэтомУ Раз Х 1г„в — тРансфоРмиРУюшие матРиЦы пРоизвеДениЯ представлений. Точно так же из Риарбт = вивт~ ат и ЯаВЯвт = давлат следует, что (РаВХ1гав) (РвтХЬУ)= иатдавт(Ра 'ХЧит) Итак, (сав дав ) — система факторов произведения алгеор К,ХЛ„„ В случае КхР,=К, факторы дав равны единице, поэтому матричное кольцо К, имеет ту же систе.иу факторов, что и тело К.
Тем самым каждому брауэрову классу алгебр соответствует однозначно (с точностью до ассоциированной) определенная система факторов. Объединяя все это, получаем следующее предложение: каждому элементу группы Брауэра классов алгебр с полем разложения б соответствует система факторов (сав ), определенная однозначно с точностью до ассоциированности, причем единичному элементу группы соответствует единичная систел1а факторов, а произведению элементов — произведение систем. Выясним теперь, как меняется при расширении поля разложения брауэрова система факторов.
Пусть Л'= Р(0') — конечное сепарабельное расширение поля б = Р (О). Каждый изоморфизм 0' 8„' поля б' индуцирует и некоторый изоморфизм О 8а поля Л, так что каждому индексу а' сопоставляется некоторый индекс а. При переходе к полю б' рассматриваемое представление а А алгебры К, над б остается неизменным. Но тогда сопряженные представления Аа также остаются неизменными, т, е. А„' =Аа, если номеру я' соответствует номер а. Соответственно, для трансформирующих матриц Рав это дает следующее правило: если номерам а', ()' сопоставлены номера а, р, то Р„'в =Ра в. Наконец, для системы факторов получается следую1цее; с' в =с зу, если номерам а', р', у' сопоставлены номера а, р, у, т.
е. если иэоморфизмы 0' 0„', 6' Ов, 8' 0;, поля Л' индуцируют иэоморфизмь1 8 Оа, О ОВ, 6 6 поля б. На основании этого правила можно совершенно определенным образом перейти от произвольного сепарабельного поля разложения Л к содержащему его нормальному полю г.. Изоморфизмы 0 8а поля г, являются тогда элементами 5, Т, ... группы Галуа: Оа=бз, 06=ОТ и т. д, Следовательно, в этом случае можно использовать элементы 5, Т, )х' в качестве индексов вместо ИСПОЛЬЗОВаВШИХСЯ ДО СИХ ПОР СЬ, Р, У И ПИСатЬ СЭ Г Е ВМЕСТО Саа, Свойство в) в этих новых обозначениях выглядит так: СЭ,Г,Е = СЭО, ГО, НО. ,о (9) ГРуппА БРАуэРА спстГмы ФАктоРов 419 Э П11 Теперь можно осуществить переход к нетеровым системам факторов, Для заданного с самого начала скрещенного произведенчя К, вычислим брауэрову систГму факторов и покажем, что она совпадает с точностью до обозначений с нетеровой системой, Мы получим неприводимое представление алгебры К, над полем Х, если рассмотрим К, как модуль представления.
Базис- ными элементами алгебры К, как правого Х-модуля являются в точности элементы и5. Матрица, представляющая элемент а =- = и5!) !достаточно рассмотреть лишь эти элементы, потому что остальные являются их суммами), получается так: этот элемент умножается на все базисные элементы ит, 'а потом произведения разлагаются по элементам ит. (иф) ит = иэи т1!т = ихтб5, т1)т. Следовательно, представляющая матрица А имеет в столбце Т и с~роке $Т элемент 65 трт, а на всех прочих мзстах этого столбца нули. Тем самым, сопряженная матрица Ак имеет в столбце Т и строке БТ элемент (б5, т!!')'=бэ,тЬ™. Найдем теперь матрицу Р, к, трансформирующую А в А": АР, к=Р, кАк. 110) В качестве Р, к мы возьмем матрицу, которая в столбце !' и строке !'Й имеет элемент бт,к, а на всех остальных местах этого столбца нули, Тогда соотношение (10) выполняется, потому что в левой части в столбце Т и строке БТК стоит элемент б5 ткрткбт к, а в правой части на том же месте стоит бэт кбэ т!), что, согк тк ласно !13) из 9 94, то же самое.
Следовательно, матрица Р, к найдена. Остальные Р5 т получаются (в соответствии с принятым при определении матрип Р„в соглашением) применением автоморфизмов 5 к Рь к. 5 Р и й = т 5, к5. Соотношение Р5, тРт тт = с5 т кР5 к нУжно Установить лишь для случая В = 1, потому что применением автоморфизма о индекс! всегда можно превратить в индекс 5; ср.
19). Следовательно, мы должны рассмотреть лишь вопрос о равенстве Рь кР к, тк = сь к, ткРь тк или о равенстве к Рь кР и т = сь ж ткРП тк Матрица, стоящая слева, имеет на пересечении столбца о и строки ФТЙ элемент ,и бкт,кб5, т =б5, ткбт,к, 420 теория првдстлвлгнип групп н ллгнв !ГЛ Хге а матрица, стоящая справа, — элемент с, к гкбэ гк. Следовательно, нужно положить с» к.та=67,к.
(11) На основании формулы (11) нетерова система факторов оказывается известной, как только задана брауэрова система. Но петеровой системой факторов структура алгебры К, вполне определяется. Мы получили следующее утверждение: Полем разложения Л и системой факпгоров (с„р ) брауэров класс алгсбр определяется однозна «но.
На основе проведенных выше рассуждений о системе факторов произведения алгебр мы построили нскоторый гомоморфизм из группы Брауэра класссв алгебр с фиксированным полем разложения Л в группу классов ассоциированных с ними систем факторов. В силу доказанной однозначности этот гомоморфизм является изоморфизиам. Легко понять, что соотношение ассоциативности (13) из 3 9ч является следствием требований а), б), в), наложенных на элементы с а,. Следовательно, каждой системе элемент?в с„а данного поля, подчиненньсх требованиям а), б), в), соотвепгствйегй некоторый класс алгебр, представляемый скрещенньгм и роизвсдениел! с системой факторов бэ 7, определенной равенством (11), С помощью равенства (11) основные свойства брауэровых систем факторов переносятся на нетеровы.
В частности, именно так получается изоморфизм группы классов алгебр с фиксированным нормальным полем разложения и группы классов ассоциированных с этими алгебрами (иетеровых) систем факторов. Отметим специально следующее утверждение: Скрещенное произведение К, является полным матричным кольцом над основным полем Р пгогда и только тогда, когда система факторов бэ 7 этой алгебры ассоциирована с единичной системой: т гэст бэ, 7 = Сз7 3 ад а ч а 1. При тобом расширении основного поля Р до поля Л тело К переходит в простую аагебру Кл. Доказать, что при этом брауэрова система факторов следующим образом «укорачивается»; вложим поля Л и Л в какое-нибудь общее для них расширение и найдем элементы 0„, сопряженные с 0 относи.
тельно нового основного поля Л; факторы с„ат, соответствующие этим элсмен. там 0, сохранятся, а остальные окажутся отбр"шениыми На языке нетеровых систем факторов это означает, что сохраняются лишь те бэ 7, для которых 5 и Т принадлежат определенной (какой именно?) подгруппе группы ! а.туа 3 а д а ч а 2. С помощью задачи !ответить па следующий вопрос: какие подполя поля Х являются полями разложения алгебры с системо! факторов б.
7? Зада ч а 3. Дае циклические алгебры (б, Е, 5) и (е, Е, 5) из «морфны тогда и только тогда, когда б и в отличаются лишь множителем, явлщощимся нормой. В частности, (б, Х, 5) тогда и только тогда является полным матричным кольцом над Р, когда б является нормой неноторого элемента из Х . Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ В этой главе мы рассмотрим свойства делимости идеалов коммутативных колец и попытаемся перенести некоторые простые теоремы, имеющие место в области целых чисел, на кольца общего типа. Чтобы не сталкиваться с лишними трудностями, целесообразно ограничиться кольцачи, в которых каждый идеал обладает конечным базисом; этот случай, как мы увидим, встречается очень часто.
й 115. Нетеровы кольца Мы говорим, что в кольце е справедлива теорема о базисе, если каждый идеал в ь обладает конечным базисом. Коммутативпые кольца, в которых выполняется теорема о базисе, называются нетеровыми. Теорема о базисе имеет место в любом теле, потому что там есть лишь идеалы (0) и (1) Опа имеет место и в кольце целых чисел и, говоря более общо, в любом кольце главных идеалов. Кроме того, она справедлива в любом конечном кольце. Позднее мы увидим, что теорема о базисе имеет место в факторкольце ь1», если она имеет мес1о в самом кольце ь. Наконец, справедливо следующее предложение, восходящее к Гильберту: Теорема, Если теорема о базисе выполняется в кольце с, содержащем единичный элемент, пго она выполняется и в кольце многочленов с [х!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
