Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Точно так же доказывается соответствующее утверждение для простых идеалов: из в( =0(т) и вф=О(т) следуепи что ! = 0(т). Вот одно следствие отсюда (получается (й — 1)-кратным приме- нением доказанного): из аь = О (г) следует, что а = — О (Г). Другая формулировка предложения !7 такова: 1!г'. Из Ь=йО(р) следует, что ц: Ь=в. В кольце классов вьшезов ь1а лежит идеал «Ь! (в силу р = в). ()н состоит пз в,ех нильпотентных элементов, а в случае ~1~ с из всех делителей нуля, ПЕОГГЫЕ НЛЕАЛЫ П ПРИМ4ЕПЫВ ПДЕЛЛЫ 433 э ип Свойства примарных идеалов в предположении справедливости теоремы о цепях делителей Если р — простой идеал, ассоциированный с 4, то некоторая степень каждого из элементов идеала р лежит в идеале 1. Наименьшая из этих степеней зависит от выбираемых элементов и люжет неограниченно расти.
Если же предположить, что в кольце о выполнена теорема о цепях делителей, то степень не может расти неограниченно, о чем говорит следующая теорема: Ч. Оекоо1орая степень )" де.ттся на а: 1 =О(й). Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть (р„..., р,) — некоторый бззис идеала 1. Пуспь в идеале,1 лежат степени р, ..., р" . Положим Г р =- ~," (р; — 1)+1; 1 тогда то будет порождаться всевозможными произведениями элементов р; по р штук в каждом из таких произведений.
В каждом из этих произведений по крайней мере один из сомножителей р, встречается более (р; — 1) раз, т. е. ие менее р, раз. Следовательно, все образующие идеала ро лежат в 4, откуда и получается требуемое. Итак, между примарпым идеалом д и ассоциированным с ним простым идеалом р выполняются следующие соотношения: я1 =0(у), 1'" — = О Й) (2) Наименьшее число р, для которого выполняются эти соотношения, называется показателем идеала;. Показатель задает, в частности, верхнюю границу показателей тех степеней, в которые (по меньшей мере) нужно возвести элементы из 1, чтобы получить элементы из Если идеал я примареи, то соотношения (2) являются характеристическими для ассоциированного простого идеала ш В самом деле, если другой простой идеал 1' также удовлетворяет соотношениям (2) при показателе р', то р" а 1 а р' и, следовательно, в: — р', ) 'Р' ы я = 1 и, следовательно, г' ~ 1; тем самым, р'.=р.
71. Оз аЬ=О(1) и п=„йО(я) следует, что для некоторого и имеет л'есо1о соотношение: Ь'==0(й). Доказательство. Достаточно взять а=р. Из аЬ==ОО)) и а ФО(я) следует, как это было доказано раньше, что Ь= 0(р) 434 Они|ля ТГОРия идеАлОВ коммутАтивиых кОлец (гл, хн и потому ЬР=О(РР) = — 0(1). Идеал а с только что описанным свойством называется сально праиарныаь в противоположность определенным ранее слаба прамарным или просто примарным идеалам. В случае выполнимости теоремы о цепях делителей оба эти понятия совпадают, потому что, как мы у|ке видели, примарные идеалы при этом являются сильно примарными, а обратное легко следует иэ возможности сведения идеалов а, Ь к главным идеалам (а), (Ь). Если же теорема о цепях делителей не имеет места, то, хотя каждый сильно примарный идеал и является слабо примарным, обратное не всегда верно. См.
реферат работы. В а л ьф и ш (%а11(зсЬ А.). ОЬег рпшаге (беа!е. — Ман|. Кен., 1944, б, 8, 226. Зада ч а 1. Идеал а=(хэ, 2х) в кольце целочисленных многочлеиов от одной переменной х не является примарным. Вместе с тем имеет место соотношение (хэ) ~ а ~ (х] и идеал (х) простой. 3 ада ч а 2.
Если в кольце а есть единица, то само а является единственным примарным идеалом, ассоциированным с простым идезлом с. 2 118. Общая теорема о разложении Начиная с этого места, будем считать, что о — нетерово кольцо. Следовательно, в кольце а будут иметь место теорема о базисе, теорема о цепях делителей, условие максимальности и принцип индукции по делителям. Идеал ш называется приводимым, если он представляется в виде пересечения двух своих собственных делителей: ш=пПЬ, п~ш, 1~а. Если же такое представление невозможно, то идеал называется неп риводимым. Примерами неприводимых идеалов служат простые идеалы; действительно, если бы для какого-то простого идеала р оказалось выполненным равенство р=пПЬ, и:»), Ь~р, то были бы справедливы соотношения пЬ=О(апЬ) =0(р), гти(ЕО(Г), ЬН(еО(р), что противоречит свойствам простого идеала.
В силу теоремы о цепях делителей, которая имеет место в рассматриваемой ситуации, оказывается выполненной Первая теореьга о разложении, Каждый идеал является пересечением конечного множества неприводимых идеалов. Дока з а тел ь ство. Для неприводимых идеалов теорема верна. Пусть, таким образом, ш — приводимый идеал: ш = а () Ь, и:» ш, Ь:» и|. Если считать доказываемую теорему верной для всех собственных делителей идеала ш, то она будет верна, в частности, для э пи ОБшАЕ теОРемА О РАзложенип идеалов а и 6; пусть таким образом, а = [11, ..., 1,1, 6=[1„„..., 1,] Отсюда следует, что п1 =[1„..., 1., 1.„, ..., ц, т.
е. теорема верна и для идеала ~п. Так как оиа справедлива и для единичного идеала (всегда неприводимого), то в силу принципа индукции по делителям теорема верна в общем случае. От представления с помощью неприводимых идеалов мы перейдем к представлению примарными идеалами.
Каждый неприводимый идеал примарек. Доказательство. Пусть идеал ~п не является нримарным. Нужно показать, что а приводим. Так как ш непримарен, то существуют такие два элемента а, Ь, что аЬ = О (ш), а=йО(п1), ЬРд1ЕО(~п) для каждого р. В силу теоремы о цепях делителей ряд частных идеалов п1:Ь, а:Ь1, ... должен на каком-то шаге оборваться, т. е. для некоторого й должно быть выполнено равенство Ш; ЬА= Ш; Ь111.
Мы утверждаем теперь, что п1 = (ш, а) () (а, ЕЬА). (1) Оба идеала в правой части являются делителями идеала а и эти делители собственные, так как первый из них содержит элемент а, а второй — степень Ь"". Мы должны показать, что каждый общий элемент этих двух идеалов обязательно принадлежит п1. Любой такой элемент с, являясь элементом идеала (Е1„РЬ"), должен иметь вид с=т+гЬА; с другой стороны, как элемент идеала (ш, а), элемент с обладает свойством сЬ вЂ” = О (ШЬ, аЬ) = О (ш). Отс1ода следует, что тЬ+ гЬА11 сЬ = О (ш), гЬА" = О (п1), )за ОБИ)ЛЯ ТЕОРИЯ ИДЕЛЛОВ КОММУТЛТИВНЫХ КОЛЕИ ггл ХЧ откуда в силу равенства )и: Ь"" =ш: Ь" получаем гЬл — = О (ш), с = и! + ТЬ" == 0 (ш).
Тсл! самым доказано (1), т. е. идеал )и оказался приводимым. Так как каждый идеал представляется пересечением конечного лшонества нсприводимых идеалов, а каждый неприводимьш идеал п рилш реп, то: Кажды)! идеал предстпвляетсл в виде пересечения конечного множества прил)арньх идеилов. Эту теорему можно усили~ь. Прежде всего, из представления и! = [)!!, следует, что для всех т и аЬ = — 0 (я,) а ФО (<1,) по крайней мере для одного т, а отсюда полу:)ается, что Ь =0(р). Далее, очевидно, что ш = 0 (1,) = 0 (1 ).
Наконец, если Ь = 0 (р), то Ь" = — 0(в„) для ссех лч можно исключить идеалы яь которые содержат пересечения осталь- ных. Так получится несократимое представление, т. е. представ- ление, в котором ии одна из составляющих не содержит пересе- чение остальных. й!Ожет оказаться, что в таком представлении некоторые примарные кол)поненты задают вновь иримарный идеал, т. е. пересечение этих примарных компонент вновь прпмарно. г~)еду)ои)ие предложения показывают, когда этот случай имеет место: У. Пересечение конечного множесп)ва прпмарнь)х идеалов, иссо- ципрованных с одним простым идеалом, явллеп)ся вновь прпмарным идеалом, ассоц)лированным с тем же простым идеалом.
2. Иесокрапгамое пересечение конечного множества прпмарных идеологи не ассоциированных с одним и тел! же простып идеалом, не являеп)сл прпмарным. Эти теоремы выполняются независимо от теоремы о цепях делителей, Доказательство предложения !. Пусть )и =[)!„..., я,1, где я„..., в, ассоциированы с идеалом р. Мы будем основываться на теореме 1! ! Ц 11?). Из аЬ = 0(ш), а цйО ()в) 437 ОБщАя теОРем4 О РАзложении 4 11И следовательно, если р = шах р,, то ЬР = 0 (Ч,,) для всех Р, йя = =0 (1в).
Тем самым все свойства, перечисленные в теореме П(, налицо. Поэтому идеал я1 примарен и р — ассоциированный простой идеал. Д о к а з а т е л ь с т а о п р е д л о ж е н и я 2. Пусть дано песо кратимое представление Щ =- [Я1, ..., 4,) (Г Еа 2), в котором по крайней мере два ассоциированных простых идеала щ различны.
Мы будем считать с самого начала, что каждая группа примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом и пересекающихся по некоторому примарному идеалу, заменена иа это пересечение. Представление при этом останется несократимьм1, Среди конечного множества простых идеалов 1, существует минимальный, т. е. такой, который не содержит ни одного из остальных. Пусть таковым является идеал р1. Так как р, не содержит Гэ, ..., р„, то существует такой элемент а,, что (Я=2, 3, ..., г); а,= — 0(р,) ! поэтому для достазочно большого о имеет место соотношение а, =0(а,) Если бы было я1= щ, то представление 1п — -(я„..., а,) было бы сократимым (можно было бы удалить и„..., я,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
