Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 92
Текст из файла (страница 92)
следователыю, в я, существует элемент д1 со свойством д1~0 (1Я). Произведение 1)1(. " а.)Р принадлежит как я„так и я„..., Ч„а поРоыу и идеалу Я1. Но элемент д1 ие принадлежит идеалу 1п. Если бы а был примарным, то это означало бы, что (аэ а,)Р' = О (щ), (и и )РР 0(р ). следовательно, так как идеал 1, прост, то а.— = 0()1) во крайней мере для одного я, что противоречит сказанному ранее. Если в каком-либо несократимом представлении и1 =(Я1О > йг) 438 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИЕИЫХ КОЛЕЦ (ГЛ Хгг все ассоциированные простые идеалы рч различны, так что никакие два или более идеалов в этом представлении не ассоциированы с одним простым идеалом, то представление называется представлением наиболыиими примарными идеалами.
Эти наибольшие примарные идеалы называются также примарными комггонентами идеала и. Любое неприводимое представление и = [»и ..., »,) можно заменить представлением наибольшими примарными идеалами, группируя примарные идеалы, ассоциированные с одним прост»ам идеалом. Тем самым доказана втор а я теорема о разложении: Каждый идеал доггускает несократимое представление в виде пересечения конечного множества примарных компонент.
Эти примарные компоненты ассог(иированы с попарно различными простыми идеалами. «Вторая теорема о разложении» была доказана для колец многочлснов Э. Ласкером, а в общем случае Э. Нетер; этот результат относится к числу важнейших результатов общей теории идеалов. С приложениями теоремы мы познакомимся в основном в главе !6. В ближайших параграфах мы исследуем вопрос о том, как обстоит дело с однозначностью для примарных компонент. Задача !. Представить идеал (9, ах+3) в кольце целочисленных мно. гочленов в виде пересечения его иримарных компонент.
3 а д а ч а 2. Для каждого идеала а существует произведение степеней простых идеалов»Р' »Р ....ф, кратное идеалу а и такое, что каждое г делит а. 3 ад а ч а 3, Если кольцо а обладает единицей, то каждый отличный от а идеал а делится по крайней мере на один отличный от а простой идеал. 3 а д а а 4 Идеал (4, 2х, х») в кольце целочисленных многочленов от одной переменной является примарным, но приводимым. (Разло кение: (4, 2х, х') = (4, х)() (2, ха).) 9 119. Теорема единственности Разложение идеалов на наибольшие примарные компоненты не является однозначным. П р и м е р. Идеал и=[ха, ху) в кольце многочленов К[х, у) состоит из многочленов, которые делятся на х и не содержат линейных частей.
Множество всех делящихся на х многочленов является простым идеалом », = (х); множество всех многочлеиов, в которых отсутствуют свободные и линейные части, является примарным идеалом »,=(х', ху, у'). ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Таким образом ш [ч„в,]. Вто — несократимое представление и, так как ассоциированные с в1 и в, простые идеалы (х) н (х, у) различны, то это— представление наибольшими примарнымн компонентами. Наряду с ним есть еще одно: щ=[в1, й1з1 ч, = (х', у). где Для всех указанных разложений идеала е1 общим является одинаковое число примарных компонент и набор ассоциированнь1х простых идеалов: (х), (х, у). Это является общим фактом: П е р в а я т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и .
В любых двух несократимых представлениях идеала п1 наибольшими примарными компонентами количество компонент (но не обязательно сами компоненты) и наборы ассоциированных простых идеалов совпадают. Д о к а з а те л ь с т в о. Для любого п рима рного идеала утверждение тривиально.
Следовательно, л1ы л1ожем провести индукцию по числу примарных компонент, появляющихся по крайней мере в одном представлении рассматриваемого идеала. Пусть а1 — [ч1 "' ч1[ — [ч1. " ч [. (1) Из всех ассоциированных простых идеалов р„..., г„е;, ..., р1 выберем максимальный, т. е. не содержащийся в других. Пусть он входит, скажем, в левую часть и равен т1. Тогда этот идеал входит и в правую часть. Действительно, иначе можно было бы в (1) построить частные от деления на ч,: [а1: Ч1 . Ч11Я11=[й1: Е1 ЯР 1Ч11' для всех т)1 имеет место ц1ед10(р,), так как в противном случае было бы Г1 = 0 (р,), что противоречит максимальности идеала Г1. Точно так же для всех т имеет место Ч1цй0(р,'). Следовательно, в силу теоремы 1Н' Я 117) имеем й,1ч1=ч, ( =-2, ..., (), й,'1а,=ц,' (т=!, ..., У).
Действительно, чтобы многочлен принадлежал идеалу Е1, достаточно потребовать, чтобы он делился на х и в нем отсутствовало слагаемое, содержащее х. Когда поле г( бесконечно, можно'привести бесконечное множество представлений такого сорта: 1Е=[в1, а'А1), в'А'=(х', у+1х). 440 ОБ!ггля теОРия иделлов коммутлтивиых колян ггл хч Так как, далее, яг г 01 =- в, то [в йг " 011 = [01 " Я Справа стоит идеал нг и поэтому слева тоже должен быть идеал гн; идеал о можно отбросить. Следовательно, = [г " 011. Эго означает, что первое из двух данных представлений (1) при сделанном вьцне допущении оказывается сократимым, что противоречит условию.
Таким образом, каждый максимальный простой идеал входит в о б е части данного равенства. Пусть теперь, например, 1=-- Г. Докажем, что 1 = Г и что (прн подходящей нумерации) Г,,= )т. Для идеалов, которые представляются менее чем 1 примарными компонентами, все можно считать доказанным. Упорядочим идеалы 11 н я' так, чтобы г,.= = г,' был ггаксимальным ассоциированным (с вг и яг) простым идеалом. Разделим обе части (1) на произведение вгвг. [Чг ' гггг11 яг: гггг11) = [111 г пгяь ° ° 01' г 01011' тогда, так же как в предыдущем случае, получнлг Вт г 01111 = Яу Ч г 0101 ="1 ° / Далее, так как вгяг[ делится на 111 и на я;, то В,: Вгггг = Р, 111': Ягвг[ ==- Р.
Таким образом, [г °" М=Ы",Я Так как теперь слева н справа указано несократимое представление наименыцими примарными компонентами, то по предположению индукции имеет место равенство à — 1=1 — 1, т. е. Г = 1. 1(роме того, при подходящей нумерации р,=р,' для всех У)1. Так как еще рг =гг, то все доказано. Однозначно определенные в силу только что доказанной тео1 емы иДеалы 10 ..., Ро котоРые возникают как ассопииРованные пРостые идеалы в несокРатнмом пРедставлении в=-[0„..., 01), называются ггроспгыми идеалами, ассог4ииггованныии с идеалом в.
Вот их важнейшее свойство: Если идеал в не делится ни на один ггростой идеал, ассоциированный с идеалом (г, то 11: а =(г; верно и обратное. До к а за тел ьот в о. Пусть 6 =-[аи ..., 1111 — несократимое представление. Пусть сначала гг=йО(Гг) для 1 =1, ..., 1, где щ— 441 4 шм нзол!1Ровкн!П1а компоненты идеал, ассоцииРованный с Дг.
Отсюда следУе1, что аг'а=аг, Ь: а=[а„..., аг): а= = [а1 . а. ,аг . а4 = = [ 1„ ..., Яг) = ь. Обратно, пусть Ь: а =-Ь. Если бы было а =— 0(рг) для некоторого г, скажем, а = — 0(1,), то эго означало бы, чго за= — 0(а,), а потому а" [а„..., аг)= — 0([а1, аг, ..., аг)) — = 0(Ь) и, следовательно, в силу того, что каждое сравнение по гпод Ь можно сокращать на а н, стало быть, иа а", имеем [а„..., а11=0(ь), что противоречит иесократимости данного представления.
Важный частный случай: идеал а является главным идеалом (а): Если элемент а не делигпся ни на один из простык идеалов, ассоциированных с данным идеалом Ь, то Ь:а=Ь, пг, е, из ас=О(() следует, что се— ш 0(Ь). Общую теорему можно сформулировать и иным способом, представляя идеал а в виде пересечения примарых идеалов [а;, ..., аг). Идеал а тогда и только тогда делится на )ь когда этим свойством обладает одно из а,'з или, что то же самое, одно из р,'. Следовательно, Если ни один из простых идеалов, ассоциированньсх с а, не делипгся на ггростой идеал, ассоциированный с Ь, то Ь: а =Ь; верно и обрапгное.
$120. Изолированные компоненты и символические степени Пусть Я вЂ” непустое множество в коммутативном кольце с, содержащее вместе с двумя любыми своими элементами з, г и их произведение зй Такое множесгво 5 называется л1улыпиггликативно замкнутым. Пусть 1п — идеал в е.
Под шв мы подразумеваем множество всех тех элементов к нз а, для которых вх лежит в ш при каком-то з из 5. Множество иге является идеалом (очевидно, делителем идеала аг); действительно, если х и у лежат в шз, то зх и з'у принадлежат ш, а погому ву,'х — у) = з' (зх) — з (уу) 442 ОвшАя ГБОРия иделлОБ коммутАтивпых кОлец 1Гл хч лежит в п1, так что х — и пРинадлежит шз; если х пРинадлежит 1пв, то и гх лежит в пГЕ. То, что все элементы из ш пРинадлежат идеалу шги очевидно. Идеал п1в называется 5-компонентой идеала ш или, более подробно, компонентой идеала ш, определенной множествол1 5. Начиная с этого места, пусть в — нетерово кольцо.
Если идеал п1 представляется в виде произведения примарных идеалов ш ° [Г1„..., Я,], то примарные идеалы ЯГ можно подразделить на те, которые пересекаются с 5, т. е. имеют с 5 по крайней мере один общий элемент, и па все остальные. Если 41 имеет с 5 общий элемент з, то ассоциированный простой идеал р; содержит тот же элемент в. Обратно, если р содержит некоторый элемент в из 5, то ЕГ имеет с 5 общий элемент зп при некотором натуральном р.
Перенумеруем идеалы ЯГ так, чтобы и„..., 1„не пересекались с 5, а Г4А„, ..., в, пересекались. Утверждается: п15 = к, ° ° , 6А1. (2) В случае й=О соотношение (2) означает попросту, что п1з=в. Дока вате л ь ство. Если х принадлежит идеалу Гнз и, следовательно, зх принадлежит ш, то для 1(1 =й эх=О(ГТ,), в=4БО(рГ) и, следовательно, х=О(41), т.
е. х принадлежит идеалу [и„..., ЯА1. Обратно, если х припад. лежит [и„..., ЧА), то в случае г)й для каждого 1 от й+1 до г можно выбрать элемент в, из 5, который делится на БГ, Положим З =БАЕТ - ЗГ. В случае г=й выберем в из 5 произвольно. В обоих случаях элемент зх делится на все идеалы !и т. е. Бх принадлежит идеалу ш, а потому х принадлежит идеалу шз. Примарная компонента Г)1 идеала 1п называется вложенной, если ассоциированный простой идеал р1 является делителем другого ассоциированного с ш простого идеала р~, в противном случае компонента называется изолированной.
В первом случае сам ассоциированный простой идеал р, называется вложенным (а именно — вложенным в идеал рГ), а во втором — этот идеал называется изолированныи. Аналогично, подмножество (в„вм ...) или (р„р„...) множества всех идеалов 41, соответственно называется изолированным, если ни один из идеалов р„ не является делителем какого-либо !» не принадлежащего подмножеству. При заданном идеале ш =[Я„..., П,) каждому мультипликативно замкнутому множеству 5 соответствует некоторое изолиро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
