Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Ь. Идеал о, состоящий из всех элементов рассматриваемого кольца, называется единичным идеалом. Разумеется, справедливо включение а ос:-а. Если же а содержит единичный элемент е, то имеет место и обратное включение а=а еаза о. Таким образом, а о=ц. Тем самым идеал о играет в рассматриваемой ситуации роль единичного элемента относительно умножения. Он порожден в этом случае единичным элементом кольца. Всегда выполнены следующие равенства: (а, о) = о; а Д о = а. Под частным а: Ь, где а — некоторый идеал, мы подразумеваем совокупность тех элементов у из о, для которых уЬ=О(а) при всех Ь из Ь. (з) Эта совокупность является идеалом, потому что если у и 6 обладают свойством (3), то и элемент у — 6 обладает этим свойством, принадлежат идеалу (а. Ь, а с); наоборот, идеал (ц Ь, а с) порождается произведениями аЬ и произведениями ас, принадлежащими идеалу ц ([, с).
Правило, такое же, как (1), имеет место и тогда, когда в скобках вместо 1, < стоят несколько или даже бесконечное множество идеалов. Так как все произведения аЬ лежат в ц, то справедливо включение 428 оящля теоапя идгллов коммэтлпи~ных колгн ~гл.
хт и если свойством (3) обладает элемент у, то им обладает и любое произведение гу. При этом предполагается, что а — идеал; относительно Ь такое предположение не обязательно; множество Ь может быть произвольным и даже состоящим из одного-единственного элемента. Если а и Ь вЂ” идеалы, то из определения следует, что Ь (д:Ь)с: — а. В кольце целых чисел конструкция частного двух главных идеалов (а), (Ь) ~ 0 проводится так: множители, участвующие в разложении числа а и делящие Ь, отбрасываются; например, (12): (2) = (6), (12): (4) = (3), (12): (8) =- (3), (12): (5) = (12). Иначе говоря: число а делится в обычном смысле на наибольший общий делитель (а, Ь).
В кольцах общего вида выполняется соо«ветствующее этому наблюдению правило: а: Ь= а: (а, 11), которое легко доказывается, но не является особенно важным. Очевидно, имеет место включение а (д: 1), так как каждый элемент из а обладает свойством (3). Таким образом, есть два крайних случая: а:6=а и а:6==а. Первый случай встречается, когда Ь с= а, потому что тогда для каждого у выполнены сравнения у1 — = 0 (6) — = 0 (д).
Второй случай встречается, когда из у1= 0(д) следует, что у== = 0 (а). Тем самым сравнение уЬ = 0 (д) можно тогда делить на !. В этом случае говорят, что идеал Ь прост относительно д; мы, однако, редко будем употреблять этот термин, который может привести к путанице, а будем писать а: Ь= а. В случае целых чисел а и Ь, отличных от нуля, утверждение: из уЬ=О(а) следует у=О(а), справедливо, очевидно, лишь тогда, когда а и Ь не имеют общих множителей.
В более общих случаях предикат «прост относительноя не симметричен; например, если д — простой идеал, а Ь— отличный от о идеал, являющийся собственным простыы дели- ПРОСГЫЕ СШЬАЛЫ И ПРНМЛРНЫЕ ИДЕАЛЫ з пт) телем идеала а, то н: () = и и в прост относительно а, и а не прост относительно (. но 'в: а =--о Например, Ва.кным янляется следующее соотношение: [а„..., «,]: 6 =- [а,: (к ..., а,: с]. Доказательство. Из (4) у( с= [стт, ..., н,] у( с: — ас для каждого следует, что и обратно.
3 в д в ч а 1 Доказать еоотпошенив: (а: 6); с=а:!с=(а: с); М а: (Б, с) = (а: Ь) () (»: с). 3 з д а ч в 2. Доказать рввноеильноеть трех уравнений: в) а: Ьс = ! н а:(в = а; б) а: (ь, П вс) = — а; в) с: 6,(а =- а. 5 117. Простые идеалы и примарные идеалы ранее мы определили простые идеалы как идеалы, кольцо классов вычетов которых не имеет делителей нуля. В кольце пелых чисел каждое натуральное число а является произведением степеней различных простых чисел: и — рс рс В кольцах общего вида нельзя ожидать столь простых теорем о разложении идеалов. Например, в кольце целочисленных многочленов от одной переменной х идеал (4, х), не являющийся простым, имеет, кроме единичного идеала е, лишь один простой делитель (2, х), но не равен никакой степени идеала (2, х).
Такиьс образом, в общем случае нельзя ожидать представления идеалов в виде произведений; самое большее, что ьюжпо ожидатчь это представление идеалов в виде наименьших общих кратных а потому каждый идеал (а) является произведением степеней простых идеалов: ( ) =(рс)"" (р.)''. 430 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ ИГЛ ХУ (пересечений) по возможности простых компонент ') в соответствии с тем представлением, которое дает (!) для идеала (а) как наименьшего общего кратного: (а) =~(р;), ", (р;)1, Входящие в это представление идеалы (р') обладают следующим одним характерным свойством: если произведение аь делится на р', а один из сомножителей, скажем а, не делится на р', то другой сомножитель Ь должен содержать по крайней мере какой- либо делитель элемента р', Это означает, что некоторая степень Ьо должна делиться на р', Итак, из аЬ = О (р"), а4-=0(р') следует, что ь =о(р ).
Идеалы с таким свойством будут называться примарными. Идеал й называется примарным, если из аЬ = 0 (й), а 4= 0 (й) следует сугцествование такою р, что ь = — о(й), Это определение можно высказать и так: Если в кольце классов вычетов по идеалу с имеет место равенство аЬ=О и а~о„пзо некоторая степень ЬР должна быть равна нулю. Если аЬ = 0 и а 4= 0, то зто означает, что о — делитель нуля.
Если некоторая степень Ь« элемента равна нулю, то элемент Ь называется нильпотентным. Таким образом, Идеал является примарным, если в кольце классов вьжетов по нему каждый делитель нуля нильпотентен. Как видим, это определение — небольшая модификация определения простого идеала; в кольце классов вычетов по простому идеалу каждый делитель нуля должен быть не только нильпотентным, но и равным нулю. Мы увидим, что примарные идеалы в кольцах общего вида играют ту же роль, что и степени простых чисел в кольце целых чисел, а именно: при очень общих предположениях каждый идеал г) Представление в анде наименьшего общего кратного в ряде случаев естественнее, чем представленне произведением, а именно, когда нужен выяснить, делится лн данный элемент Ь на ндеал ш, т. е. принадлежит лн он и.
Если п~=(«,, ..., «,), то Ь прннадлежнт щ тогда н только тогда, когда Ь содержится в каждом «ч. 431 пгостые идеАлы н пгимке!!ые илвляы $ !П1 представляется как пересечение примарных идеалов и в этом представлении проявляются важнейшие структурные свойства идеалов. Примарные идеалы не обязаны быть степенями простых идеалов, как показывает приведенный в начале пример идеала (4, х), который, очевидно, примарен.
Обратное также неверно; например, в кольце целочисленных многочленов а, +а,х + ...+а,х", у которых а, делится на 3, идеал р=(Зх, х', х') простой, но р'= = (9х', Зх', х4, х', х') не примарный, потому что 9 х'=0(1!'), х'Ф 0 О!ь), 9" =йо(р') для каждого р. Свойства примарных идеалов, не зависящие от теоремы о цепях делителей 1. Для каждого примарного идеала 1 существует простой идеал р, делящий его и определяемый следующим образом: р является совокупностью тех элементов Ь, для каждого из коп!орых некоторая степень Ь' принадлежит а, Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Множество р — идеал, потому что из Ь" =0(1) следует, что (гь)о= — 0(о), и из Ь'= — 0(а) и с'=0(д) следует (ввиду того, что в выражении (Ь вЂ” с)олв-' после раскрытия скобок каждое слагаемое содержит либо Ь' либо с') сравнение (ь — )' " ' = о (в). 2, Идеал р прост, потому что из аЬ вЂ” = 0 (р), а.,†й 0(р) следует, что существует р, дтя которого а "Ь' = 0 (!1) и а!' ч= 0 (!1). Следовательно, нужно взять такое о, что Ьо'= 0(д). Отсюда следует, что ь= — о(р). 3. Идеал р является делителем идеала в: а— = 0(р); огшмя тгошт идгдлов коммгтлтивны, колец !гл ч в самом деле, элементы из ц, конечно, заковы, ч~о некоторые их степени лежат в я.
Идеал ] называется простым идеалом, ассоциированным с прп- мпрным идеалоч в; идеал же в называют пссоципрованным с иде- алом в прилшрнын идеалом. Из определения примарпого идеала следует: П. Еслп аЬ= — 0(ц) и аф-:0(ц), пю Ь = =0(р). В некотором смысле обращение этого предложения таково: !П. Пусгпь и п й — пдеалы, обладающие следуюи!пми свойствалш: 1) пз аЬ = — 001) п а~ОЦ) следует, что Ь ==0(р); 2) ! = О (г); 3) из Ь = — О (г) следует, чпю Ь' == 0 (а) длп некоторого рц тогда идеал ! прпморный, а р — ассоцппргюонный с нпм простой д Доказательство. Из аЬ— = 0(й) и а==с='О(а) слетуст (в силу 1) и 3)), что Ь' = 0 (!). Поэтому ч — примарньш идена. Остается лишь показать, что р сосгопт из таких элементов Ь, что некото- рая степень Ь" лежит в ц. Половина этого утверждения заклю- чена в условии 3).
Остается показать, что из Ь'= — кчО(а) выте- кает Ь =-0(т). Пусть р — наименьшее натуральное число, для кото- рого Ь" =-=0(д). Для р — — 1 все следует из устовия 2). Для р)1 писем: Ь Ьв '=0(а), но Ьп '=ьО(!), откуда (в силу 1)) Ь = — 0 (г). Эта теорема облегчает доказательство прпмарности и отыска- ние ассоциированных простых идеалов в час~ных случаях; кроме того, теорема показывает, какими свойствами ассоциированный простой идеал определяется однозначно. Свойство 1! имеет место и тогда, когдь а и Ь заменяются на идеалы а и 1; 1Ч. Из а('= — 0(!) п ачлО(а) следует, что а = =00). Дсйствптстьно, если бы было !'-:тдО(р), то нашелся бы э ~е- мент Ь в идеале !, пс принадлежащий идеату И и, точно так же, эземент а из сь не принадлежащий идеалу а. Произведение аЬ должно, однако, лежать в а!, а потому и в в, что противоречит доказанному ранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
