Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 93
Текст из файла (страница 93)
изОлиРОВАнные кОмпоненты 443 4 И01 ванное подмножество (ри ..., ра), состоящее из тех рь которые не содержат ни одного элемента из 5. Это подмножество изолировано потому, что если р, — идеал этого подмножества, являю- щийсЯ делителем идеала 1» то и Р, пРинадлежит подмножествУ. Пересечение примарных идеалов, ассоциированных с р„ ..., рм является в этом случае изолированной компонентой ат. Важным частным случаем является тот, когда выбирается один изолированный идеал 1Н а в качестве 5 берется множество элементов кольца о, не делящихся на 1;. Это множество непусто, за исключением тривиального случая ш=о.
Любой другой идеал р, содержит элемент, не делящийся на 1ь т. е. элемент из 5. Тем самым из (2) следует, что Следовательно, идеал шв однозначно определяется идеалом ш и множеством 5, т, е, идеалом 1п и идеалами рь Изолированные идеалы р, также определяются идеалом ш однозначно. В итоге имеем: Изолированные примарные компоненты р~ в (1) Определены однозначно. Задача. Тем же методом доказать вторую теорему единственн о с т и: пересечение (аа, чь, ...1 изолированного множества примарных компо. нент идеала ж однозначно определяется заданием ассопинрованных простых идеалов ~„, Вь, ...
Символические степени. В З 117 мы видели, что степени р' простого идеала р не обязаны являться примарными идеалами. Представим р' в виде пересечения примарных компонент: Р'=Ьх ", Пг1' тогда все ассоциированные простые идеалы р,, ..., ря будут делителнми идеала р', а потому и идеала р. Произведение р, ... р, таково, что некоторая его степень делится на все вь а потому на р' и, следовательно, на р. Отсюда вытекает, что один из сомножителей, скажем г„должен делиться на р.
С другой стороны, рх — делитель идеала Г, так что р,=р. Остальные идеалы р, (1~1) являются собственными делителями идеала р. Отсюда следует, что чх является изолированной примарной компонентой идеала р' и в этом качестве определяется однозначно. Точнее, идеал п, является изолированной компонентой р' идеала р', определенной множеством 5, где 5 — множество элементов кольца о, не делящихся на р. Однозначно определенная таким способом примарная компонента идеала р', ассоциированная с простым идеалом гх = р, называется, по предположению Крулля, г-й символической степенью идеала р и обозначается ры>, 444 овп!хя теория идеалов коммктлтпвных колец [гл. ха ф 121.
Теория взаимно простых идеалов В дальнейшем будет предполагаться, что в кольце ь существует единица. Эта единица порождает единичный идеал с: р=(1). Два идеала а, Ь называются взаимно простымгь если у них нет общих деталей, кроме ь, т. е. если их наибольший общий делитель равен и (», Ь) =ь. Это означает, что каждый элемент из р представляется в виде суммы некоторого элемента из» и некоторого элемента из 1!. Необходимым и достаточным для этого является условие представимости единицы (образующей идеала с) в виде суммы 1=а+Ь (1) (а е а, Ь ен Ь).
В этом случае а =1 (Ь), Ь=О(1!), а=О(»), Ь вЂ” = ! (а). (2) Если два примарных идеала»„ », взаимно просты, то ассоциированные простые идеалы р„р, тем более взаимно просты (каждый общий делитель р! и 1, является общим делителем и идеалов 1„» ). Однако верно и обратное: из взаимной простоты идеалов Г„р, следует взаимная простота идеалов»4, »,. В самом деле, из 1=,о,+,о, 1 = Ч!+Ч! Если два идеала взаимно просты, то они являются простыми друг относительно друга. Доказательство.
Пусть (», Ь)=а и, скажем, а+Ь=1. Достаточно показать, что»: Ь ~ !!. Вели х принадлежит а: Ь, то хЬ ы» и хЬ = О(»); следовательно, х (а + Ь) = 0 (»), х 1 = 0 (»); это означает, что х принадчежит», что и требовалось доказать. при возведении в (р+о — 1)-ю степень следует, что ор-! а — !+ ( ра+а — ь ! выберем р н и настолько большими, чтобы ра лежало в»„а р", лежало в»,; тогда каждое слагаемое лежит либо в»„либо в а, и, следовательно, 445 тсогия взлимио пгостых идаллов 4 пн Обращение неверно; вот п р и м е р: в кольце многочленов Н [х, у| идеалы (х) и (у) просты друг относительно друга, но не взаимно просты: (х, у)~о, (х): (у) =(х), (у): (х) = (у). Если а и Ь взаимно просты, то, как и в теории чисел, срав- нения по модулям этих идеалов можно решать одновременно. Пусть даны два сравнения: 1Я) =0(а), д(й) = — 0(Ь) (1(х), д(х) епо (х!).
Будем считать, что каждое из сравнений разрешимо. Если $ =а — решение первого сравншгия, а с = р — второго, то можно построить элемент $, удовле" ворякщий обоим сравнениям, сле- дующим образом. С помощью построенных ранее элементов а и Ь, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), составим $ = Ьа+ а(3. Тогда $ = а (в) и 5 = р (Ь), т. е, $ — решение обоих заданных сравнений. Для двух взаимно простых идеалов наименьшим оби(им крапг. ным служит их произведение. Доказательство, В й 116 было доказано, что аЬ':-'аПЬ 1п П Ь) (а, Ь) с: — пЬ.
Если (а, 1) =о и существует единица, то второе соотношение упрощается до аПЬааЬ; следовательно г()1 = 4Ь. Чтобы сформулировать эту теорег:у более чем для двух взаимно простых идеалов, докажем предварительно следующую лемму; Если идеал а взаимно прост с Ь и г, то а взсшмно прост с произведением (ч и пересечением ЬДс Доказательство. Из а+Ь =1, а'+с=1 следует, что (а + Ь) (а'+ с) = 1, аа' + ас+ а'Ь + Ьс = 1, а" +Ьс =1, 446 ОБШАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОА!Л1УТАТИВИЫХ КОЛЕЦ ~ГЛ. ХУ ГДЕ ал =аа'+ао+а'Ь вЂ” ВНОВЬ НЕКОтОРЫй ЭЛЕМЕНТ ИЗ а.
ОтСЮДа следует, что (я, Ьс) =ь и, тем более (а, Ь П с) = ь. Тем самым доказаны оба утверждения. Если теперь идеалы Ь„Ь„..., Ьл попарно взаимно просты и уже доказано равенство [Ь11 ° ~ Ьл- 11 Ь1 Ьл-1~ то [Ь„ ..., Ь„] = [Ь„ ..., Ьл,1 П Ьл = — (Ь1 ° ° ° Ьл-1)() Ьл следовательно, по индукции получается Теорема. Наименьшее общее кратное конечного множеспгва попарно взаимно просп1ых идеалов ривно произведеншо этих идеалов. Сделанное раньше замечание о решении сравнений по моду- лям взаимно простых идеалов остается в силе и для нескольких попарно взаимно простых идеалов: Если идеалы Ь„Ь„..., Ь, попарно взаимно просты, то суще- ствует элемент с, удовлетворяющий сравнениям $ = р1(Ь1) (1 = 1, 2, ..., г).
Доказательство проводится по индукции. Допустим, что уже получен элемент гь для которого 11 — = (31(Ь1) (1 = 1, 2,, г — 1), и найдем 6 из условий Т1([Ь,, 1'- )), [) — = 1. ~'.) что всегда возможно, так как идеал Ь„взаимно прост с идеалом [Ь .. Ь.-11. Если в о имеет место теорема о цепях делителей, то каждый идеал можно представить в виде пересечения попарно взаимно простых идеалоз, ни один из которых уже не представляется как пересечение взаил1но простых собстгенных делителей, Для доказательства найдем в каком-нибудь несократимом пред- ставлении данного идеала п1 примарными идеалами а = [61, ..., все те примарные идеалы, которые с одним, произвольно фикси- рованным среди них идеалом соединяются цепью попарно ие взаимно простых примарных идеалов, и составим их пересече- 447 од!юкоатные идеалы 4 1зз) ние Ь,.
Из оставшихся идеалов точно так же построим последовательно идеалы Ь„..., Ь,. Представление в=(Ь1, ". Ц (3) обладает нужными свойствами. Действительно, во-первых, Ь, и Ь„ при с ~ й взаимно просты, так как компоненты идеала 1, взаимно просты с компонентами идеала Ь„. Во-вторых, невозможно, скажем, идеал 1, представить как пересечение двух взаимно простых собственных делителей. Если бы такое представление было возможно: Ь,=ЬДс=Ьс, (Ь, с) = о, то каждый простой идеал, ассоциированный с Ь„обязательно был бы делителем идеала Ьс, а потому делителем идеала Ь или идеала с; так как все эти простые идеалы связаны с одним из них некоторой цепью попарно не взаимно простых идеалов (являющихся простыми), то из того, что один из них делит Ь, следует, что все они должны делить Ь и ни один из них не должен делить с.
Ассоциированные примарные компоненты делят 1с; следовательно, они делят и Ь (так кик их простые идеалы не делят с). Отсюда следует, что пересечение 1, является некоторым делителем идеала Ь: ЬаЬ„ что противоречит предположению, согласно которому Ь является собственным делителем идеала Ь,. Вместо представления (3) в соответствии с нашими теоремами можно записать следующее представление произведением: пс = Ь,Ь, ... Ь,. 3 ад а ч а. Псрсссчсние (3) является прямым псрессчснием в смысле 5 92. Кольцо классов вычетов с!в~ =а является прямой суммой калсц Мди =аь каждое из которых изоморфно некоторому кольцу классов вычетов сЯс.
(Положить ас=(зо ..., Эс „Ьс о ..., Ьа) и приманить теоремы из Ь 92.) 9 122. Однократные идеалы Пусть опять о — нетерово кольцо с единицей. Единичный идеал о, конечно, является простым. Какие примарные идеалы могут быть с ним ассоциированы? Ответ таков: лишь само кольцо о, потому что если « — произвольный из ассоциированных с о примарных идеалов, то 1'~ «, откуда « =о. Если в такой ситуации некоторое представление идеала и ~ о пересечением примарных идеалов 1«„..., «„1 таково, что среди ассоциированных примарных идеалов рс есть единичный идеал, то соответствующий ему идеал «; также равен о и поэтому в представлении пересечением может быть сокращен. Следовательно, 448 Огщля тсогггя идеАлОВ коммутлтггзггых кОлгц ггл.
ху если предгппаьление в =- 1г1„..., 7,) несократимо и и гн гц то единичный идеал не входит в число ассоциированных простых идеалов. Отсюда немедленно следует предложение: Каждый идеал а ~ ь обладаепг по крайней лгере одним простым делителем р ~ о. Если идеал а не является прилгарным, то у него есть по крайней лгере два простых с7елгггггеля, огплгшных огп в. Идеал, у которого не более одного отличного от о простого д лителя, называется однокраптым (по Дедекинду). В соответствии с последней теоремой каждый однократный идеал а прпмарев. Кроме того, ассоциированный с ним простой идеал г обязательно не имеет делителей, потому что если бы г'Фь был собственным делителем идеала Г, то г' в свою очередь обладал бы простым делителем г'ы= ь, который был бы собственным делителем идеала 1 и, значит, идеал я Обладал бы двумя различными и отличными от ь простыми делителями р и Г', что противоречит предположепной однократности идеала гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
