Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Этот последний назовем произведением классов [К] и [Л]. Так как КхЛ=Лхн, К х (Л х Г) = (Н х Л) х Г, то операция умножения коммутативна и ассоциативна. Существует также и единичный класс: это класс [Р] основного поля. Наконец, для каждого класса [Н] существует обратный класс, а именно, класс [К'] тела К', инверсно изооморфиого телу К. 4!4 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕВР !гл.
х!и Следовательно: классы цгнгпральных просп!ых алггбр над Р образуюгп абглгву группу. Первым ее исследовал Р. Брауэр и поэтому ее называют группой Брауэра классов алггбр. Любую подгруппу группы Брауэра всегда составляют те классы алгебр, которые в качестве поля разложения имеют одно и то же расширение Е поля Р. Действительно, любое поле разложения тела К согласно 9 103 является полем разложения всего класса 1К), а также и класса 1К'1, потому что К' ииверсно изоморфио К и, следовательно К' х Х инверсно изоморфно К х Х.
Если К и Л обладают одним и тем же полем разложения Х, т. е. если К х Х ыг.„Лх5 = Хн то (К х Л) х Х ы К х Х, ы К х Х х Р, = Х, х Р, = Х х Р, х Р, = Х,п Г)зт !яРз)г Согласно теореме об автоморфизмах из 9 112 автоморфизмы 5 порождаются внутренними автоморфизмами алгебры й!. Следовательно, для каждого 5 существует такой элемент из из:>1, обладающий обратным из', что для всех !) из Х имеет место равенство из ' 1)из = йз, 1!из = изйз. или (2) Согласно (2) элемент изтизиг перестановочен со всеми элементами из Х, а потому оп является элементом поля г..
Следовательно, если положить из! иьи, = бз, г, а потол!у Х является полем разложения и произведения КхЛ, а, следовательно, и всего класса 1К хЛ). Каждый брауэров класс алгебр 1К! согласно ~~ ! 13 обладает сепарабельным полем разложения, скажем, полем Р (3). Если вместе с 0 присоединить и сопряженные с ним элементы, то получится некоторое нормальное сепарабельное поле разложения т. Согласно 9 113, это подполе неприводнмым образом представляется максимальным коммутативным подполем в простой алгебре !!! = К„принад1ежащей классу 1К).
Докажем теперь следующее: алгебра 2! являгягся скрг!цгнныги произггденигл! поля Х с гго группой Галуа Е в слгмслг Э 94. Прежде всего, из Э 94 следует, что Х является своим собственным централизатором в 2! = К„, т. е. каждый элемеГп из !!1, перестановочный со всеми элементами из Х, принадлежит Х. Как и в 3 94, мы обозначаем через 5, Т, ... элементы группы Галуа 0), а через рз — элемент из Х, который получился применением к элементу !) автоморфизма 5. Произведение 5Т вновь определяется равенством 415 ГРУППА ВРАУЭРА.
СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ $ И41 то получится правило умножения пэп г = охи, г (3) Так как элемент бэ г обладает обратным — таковым служит элемент ат'иэ'иэг — то бГЕГ ФО. Правила (2) и (3) совпадают с правилами (4) и (5), с помощью которых в э 94 было введено скрещенное произведение.
Из этих правил следует, как было тогда доказано, что элементы иэ линейно независимы над полем Е. Линейные комбинации элементов иэ с коэффициентами из Х а= У, 'иэрэ образуют в 21 некоторое кольцо 1!1„ранг которого над Х равен и, а иад Р, следовательно, равен и', где и = (Х ! Р) — ранг л. над Р, Согласно Э 113 имеет место равенство п=(л. ! Р) =гт. Ранг алгебры 21=К, над Р равен г' (К: Р) = г'т' = и'. Так как 21, н 21 имеют один и тот же ранг п' и 21! содержится в 1!1, то 21! =21, т. е.
21 является скрещенным произведением поля Х с его группой Галуа Я. Возможность представления алгебр 'Г( = К, в виде скрещенных произведений впервые обнаружила Эмми Нетер. Поэтому систему (бэ г) элементов бэ г называют нетпсрооой системой факгпорое алгебры 1!1 или класса алгебр [К1. Очевидно, что Алгебра 21 полн<кгпью определяегпся заданием поля л и сисгпемы факгпоров (бэ Г). Обратное неверно. Если заданы 21 и Х, то вложение поля Х в алгебру 21 определено однозначно с точносзью до внутренних автоморфизмов алгебры 21 и с помощью такого вложения элементы иэ определяются неоднозначно — согласно (14) из й 94 можно заменить элементы иэ на оэ = иэуэ уэ Ф и.
(4) Это, однако, единственная возможность менять упомянутые из, потому что оэ, как и иэ, обладают свойством (2): роз = оэрэ, так что элемент оэиз' перестановочен со всеми р и Х: розах' = оэ))эиз' = озиэ'р. Если положить оэиз' ==- уэ, то элементы уэ будут элементами из Х и получится, что 4[6 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕВР [ГЛ. Х[У Замена элементов ив на элементы оз, как мы видели в О 94, имеет своим следствием замену системы факторов (бз Г) на ассо[[иированную систему факторов (Ез Г): Г ез,г= бз,г. узуг (5) УЭГ Таким образом, брауэровы классы алгебр [Н] с фиксированным полем разложения Х взаимно однозначно соо>пветствуют классам асса>4иированных систем факторов [бз Г) из поля Х, подчиняюи[ихся условиям ассониативности (13) из О 94.
До сих пор мы исходили из некоторого заданного нормального поля разложения Х. Но, следуя Р. Брауэру, можно определить систему факторов простой алгебры К, и над полем разложения, не являющимся нормальным. Пусть Ь вЂ” конечное поле разложения, о котором не предполагается, что оио нормально. Пусть 0:= О, — примитивный элемент поля Л, так что Л=Р (О), и пусть [.а (а=1, 2, ..., и) — элементы„ сопряженные с О в некотором подходяще выбранном нормальном расширении Х. Существует лишь одно, с точностью до эквивалентности, абсолютно неприводимое представление алгебры К, матрицами над Л.
Пусть а А — это представление и пусть а Аа — представления, которые получаются из только что названного применением изоморфизма полей 0 О, к матрицам. Так как все эти представления эквивалентны друг другу (над полем Х также существует лишь одно неприводимое представление), то имеются матрицы Р,а, переводящие представление А, в представление Ав. '1а = Раа'40) аа. (6) Матрицы Р,О могут быть взяты уже над полем Р (О„ОО), потому что над этим полем эквивалентны оба представления. Далее, матрицу Рав можно выбрать так, чтобы каждый изоморфизм поля Р (Оа, Ор), переводящий О„ОВ в сопряженные 0,„0ы переводил матрицу Рав в матрицу Рув. Для достижения этой цели нужно лишь в каждом классе сопряженных пар выбрать одну пару а, р, определить для иее матрицу Р,в, а остальные Р е получить из Р,в применением соответствующих изоморфизмов.
Кмеют место соотношения 4а = РавАЕ~ аа =- РаврвуА Трау Раа = РаарвурауАараурву Раа ° Тем самым матрица Р„ОРЕУР„' перестановочна со всеми матрицами Аа любого абсолютно неприводимого представления и, следовательно, является кратным единичной матрицы Е: Раб~ вурау =савуЕ~ (7) Рн5~ Оу =Саву" ау О ич ггуппл вглуэгл систялуы елктояов С помощью соотношений (7) оказывается определенной брарэрови система фаюпоров (сару).
Справедливы следующие свойства: а) элементы с„г принадлежат полю Р(О„Ор, О,); б) с„гусаув =. сарвсрув, в) с„р ==с р, если 5 — изоморфизм поля Р(0„0р, 0 ), переводягций Оа, Ор, О„в О„, Ор, Оу. Свойство а) немедленно следует из определения элементов сар, свойство б) — пз ассоциативности, имеющей место для матриц Р„р, и, наконец, свойсуво в) вьиекает нз поведения матриц Рар при изоморфизыах 5. Если Р„р замениуь на й,рР,р, где элементы поля й,р удовлетворяют тем же условиям сопряженности, что и матрицы Р,р, то система сар перейдет в ассоциированную систему факторов ларлру Сару —" Сару (8) ~ау Если, с другой стороны, заменить представление а ~ А на эквп.
валентное представление а ЯАСг', то матрицы Р„перейдут в матрицы ЯаРЯа', непосредственно проверяется, что прп этом система факторов с„ру не меняется. Следовательно, система факторов определена оадйозначно с точностью до ассоциированности заданием алгебры К, и поля Л. Всю теорию можно построить, рассматривая только иетеровы яли только брауэровы системы факторов. Но доказательства получаются проще и нагляднее, если использовать оба вида систем факторов, доказав их равносильность. Действительно, одни свойства легче доказывать для нетеровых, а другие — для брауэровых систем факторов.
Мы начнем с основных свойств брауэровых систем факторов. Если К, — полное матричное кольцо над основным полем Р, т. е, К, =- Р„, то можно взять Р,р равным единичной матрице Е. Тогда вте сару равны единице и система факторов алгебры, распадиюсцейсл уже нид основным полем, ассоциирована с единичной вас~немой факторов с„р =- 1.
1)айком систему факторов для прямого произведения К,хЛв. Если а А — неприводимос представление алгебры К над телом Л и Π — иеприводимое представление алгебры Лэ над тем же телом, то получается представление произведения систем К,ХЛу, при коуором аб переходит в кронекерово произведение А х В (О 109).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
