Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Если перейти к алгебраически замкнутому основному полю (в данном случае достаточно присоединить ! =~' — 1), то тело кватернионов распадается и получается матричное представление 3, Знакопеременная группа 214 может быль исследована тем же методом, что и симметрическая группа Га, — мы предоставляем это читателю. В результате будут найдены четыре представления степеней 1, 1, 1, 3. 4. СиммеГирпческая группа ~,. Число классов равно 5, поэтому должно быть пять представлений. Четверная группа Клейна (1, (!2) (34), (!3) (24), (14) (23)) определяет факторгруппу, изоморфную группе Ям для которой мы уже нашли три представления степеней 1, 1, 2. Они задают также представления самой группы Я, степеней 1, 1, 2.
Если эти степени обозначить через п„п„па то и', + и., '+ и, '+ и, '+ и; "= 24, так что и,'+ и„'= 18. Такое равенство может иметь место лишь для п,=З, п,=З. Если мы введем четыре вектора е„е„еа, е, с нулевой суммой, то подстановки этой четверки векторов дадут точное представле- ние третьей степени группы Я,. Выберем е„ ем е, в качестве базисных векторов; тогда упомянутое представление выглядит так: (1 2) е, =е„(1 3)е, =е„(1 4) е,= — е,— еа — е„ (1 2) е, = е„(1 3) е, = е„(1 4) е, = е„ (1 2)е,=е„, (1 3)е,=еь (1 4)е,=е„ (1 2 3) е, =е„ (1 2 3) е,=е, (1 2 3) е, = е„ и т, д.
392 ТЕОРИЯ ПРЕДСТЛВЛЕИИЙ ГРУПП И АЛГЕБР 1ГЛ ХГН Поскольку представление точное, оно не может сводиться к представлениям первой и второй степени; следовательно, оно неприводимо. Голи матрицы, представляющие нечетные подстановки, умножить на — 1, то получится новое и тоже точное не- приводимое представление третьей степени, заведомо не эквивалентное предыдущему, потому что их следы различны.
Задача Е Элемент з= ~ а группового кольца е удовлетворяет раз ы Сэ еенствам Ьз=а для Ь ~ сэ. Какой левый идеал порождает з? Какое представление соответствует этому идеалу? Какой идемпотентный элемент содержится в этом идеале? 3 а д а ч а 2. Если число Л элементов группы делится на характеристику поля, то названный в задаче ! идеал нильпотентен. Это свидетельствует о том, что условие о невозможности деления д на характеристику поля является в теореме Машке необходимым, 9 109.
Групповые характеры Кронекерово произведение преобразований Пусть даны два линейных преобразования А', А", переводящих некоторое векторное пространство (и„..., и„) в другое векторное пространство (о„..., о,„): А'и, = ~ и,схге, А "ог =,У', ога) и ! Построим в соответствии с 2 94 произведение этих двух векторных пространств — оно будет порождаться произведениями и,п,— и положим А (иьо,) = (А'ие) (А "х,) = У, '5~ ~и?о?ааааа "и. (1) Определенное таким образом линейное преобразование А на произведении векторных пространств называется кронекеровым произведением преобразований и обозначается через А' х А".
Элементами матрицы, соответствующей преобразованию А, будут согласно (1) произведения а,'эи,"Р След матрицы А равен а,',а,'у = ~ сс~, 5; а,"у = 5 (А') 5 (А"). г I Отсюда: след произведения преобразований А' х А" являептся произведением следов преобразований А' и А". Если на векторы и последовательно подействовать преобразованиями В' и А', а на векторы о — преобразованиями В" и А", то на произведения иэо, последовательно подействуют преобра- 393 з !091 ГРУППОВЫЕ ХЛРЛКТЕРЫ зования В' КВ" и А' х А", т.
е. (А'хА") (В'хВ") =А'В'хА"В". (2) Если мазрицы А', В', ... составляют некоторое представление йу' группы Ж, а матрицы А", В", ...— другое представление Ь" той же самой группы, то из (2) следует, что произвечепия преобразований А =А'хА", В =В'хВ", ... тоже составляют некоторое представление.
Эзо произведение представлений т" и Г' обозначается через Ь' х Т". Если символом З'+Г' обозначать приводимое представление, распадающееся на Ь' и Ж", и считать эквивалентные представления одинаковыми, то верны следующие равенства: зо'+Г'=л "+ь', Ж' х Ь" = Г х .ы', ~~'+ (т."+ т.") = (д' + ~") + т "' Ь' х(Г'х Ж'") =-(т" х Г) хт', Гх(Г+т") =Е'хж"+Ь'хж", (Ж" + Г') х Ж' = Ь" х Ь'+ Г" х Ь'. В частности, если Ж вЂ” конечная группа, порядок которой не делится на характеристику поля Р, то любое представление полностью распадается на неприводимые представления Ж, и оказывается выполненным равенство ~, Х ~Р =,У,';РХ,, (3) где с' — целые неотрицательные числа.
В формуле (3) символ хи у — не показатель степени, а индекс. Из (3) для следов следует равенство 5, (а). 5, (а) = ~~р~с,'„я, (а). и Если представ пения абсолютно неприводимы и, следовательно, следы являются характерами, то отсюда можно заключить, что ~~~. ( ) ' ~Р( ) = Х '~Р, (') (4) Ч (первое соотношение между характерами). Характеры как функции классов Если а и а' — сопряженные элементы группы, т. е. а' =ЬаЬ-', то для представляющих матриц имеет место равенство А' = ВАВ-'. 394 тсоРня пгелстлвленип ГРупп и ллгебР пл хсч Теы самым А и А' имеют одинаковые следы: 5 (ЬаЬ- ') = 5 (а); в частности, Х (ЬаЬ-') = К (а) Отныне мы будем предполагать, что ни порядок группы Ь, ни степень пс абсолютно иеприводимых представлений Ж, не делятся на характеристику основного поля.
Как было показано в ~ 108, элементы и, порождают центр 3 группового кольца Г. Согласно 5 107 гомоморфизмы О, центра 3 связаны с характерами т, следующими соотношениями: сс (а) хч(е). в частности, Произведение й,н„является суммой групповых элементов, вновь принадлежащей центру Д и поэтому вновь выражающейся через суммы классов й,: й„й,=~',д,/г.
(8) с Гомоморфность отображения О, выражается в таком случае равенством () (йс) ВУ(й,)=~8.„6У(Ф,), (7) с которое с помощью (5) переписывается в виде Ь,Ь,ХГ (а) Х„(Ь) = ПРХ а,',Ь,Х, (с) с (8) (вгпорое соотношение между корактерими). В суммах (б), (7) и (8) индекс с пробегает произвольно фиксированную систему представителей всех классов. Если же с пробегает все элементы группы, то в (8) следует справа вычерк. Если мы соберем все те элементы группы, которые сопряжены с фиксированным элементом а, в один класс й„то каждый характер будет иметь одно и то же значение на всех элементах этого класса.
Пусть Ь, — число элементов класса 8„ а й, — сумма элементов этого класса (в групповом кольце Р); тогда характер, соответствующий й„, является суммой характеров, соответствующих элементам рассматриваемого класса; таким обрззом, Х (й,) = Ь, . т (а). ГРупповые хАРАктеРЫ путь множитель 6,. Так как 6» — единственно возможные гомоморфизмы центра ), характеры Х, являются единственно возмакными решениями уравнения (8).
Сопряженные характеры Для каждого представления а А существует «сопряженное (или контраградиентное) представление» а А' ', где А' — матрица, транспоннрованная по отношению к А. Действительно, прн таком сопоставлении имеем: а(» (АВ)' =(В'А') =А' 'В' '. Представление, сопряженное к сопряженному представлению, совпадает с исходным. Если представление а А приводимо, то таково же и сопряженное, и наоборот. Таким образом, представление, сопряженное к неприводимому, тоже неприводимо.
Если от данного представления А перейти к эквивалентному представлению Р-'АР, то сопряженное представление перейдет в (Р 'АР)' '=Р'А' 'Р' ', т. е. тоже в эквивалентное. Обозначим через ху представление, сопряженное к 2,; тогда, если Т',(а) =-А, то Т, (а-') =А', и, так как след матрицы А' равен следу матрицы А, справед- ливо равенство х (а ') = х,(а).
Характер Хно сопряженный к Х„обозначается также и через Х,. Каждый характер является суммой корней из едининьи Это объясняется тем, что каждый элемент а группы Я порождает некоторую циклическую подгруппу б, порядок т которой является делителем й, а любое неприводимое представление Т;, группы СУ задает некоторое представление группы 6; последнее полностью распадается иа представления первой степени, матричные элементы которых являются корнями т-й степени из единицы. След представляющей матрицы равен сумме диагональных элементов, т.
е. сумме корней т-й степени из единицы: х(а) =Г'+Г»+".+ ~ ", (й) где ~ — примитивный корень т-й степени из единицы. Дальнейшие соотношения между характерами Если В(с) — след группового элемента с в регулярном представлении, то 5 (с) = ~, п„Х, (с), ТЕОРИЯ ПРЕДСТАБЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР Ьгл хщ так как регулярное представление содержит непрнводимое представление Ж, точно и, раз. След 5(с), однако, вычисляется непосредственно; групповые элементы а„..., а„составляют базис векторного пространства о, на котором действует регулярное пред. ставление и саь = аь. Элементы с ь=й входят сюда лишь тогда, когда с равно единичному элементу группы 1; в этом случае каждое ь' равно соответствующему й.
Таким образом 5 (1) = й, 5 (с) = 0 для с Ф 1 н, следовательно, ( й для с=1, Х БЬ()=~ ь (! 0) Если теперь просуммировать (8) по всем у и сравнить с (10), то получится й„йь,У', К,(а) К,(Ь) =д,'ь й. (1 1) ь Число д,'ь показывает, как часто произведение а'Ь', где а' принадлежит классу йь, а Ь' — классу йь, обращается в 1. Следовательно, это число равно нулю, если К, и Кь не имеют взаимно обратных элементов. Но если такая пара элементов существует, — допустим, Ь=а-', — то для каждого элемента а'=сас' из к, есть обратный элемент Ь'=а'-'=сйс-' из К, и мы полу- чаем Каь = йь — йь.
Тем самым, деля соотношение (11) на йь, мы приходим к третьему соотношению между характерами: ( й для КЬ=К,-Б й. ~ Х, (а) Х, (Ь) =1 О,„й (12) Х =Х ° (а) «Р . АР Ъ~= — « — Х (аЬь) = «Хь(ая') Соотношение (12) говорит тогда о том, что матрицы Х=)ХР„( и )л=(т!Р,( взаимно обратны: )'Х =Е или У=Х-'. (18) В частном случае а=1 отсюда вновь получается (10). Пусть теперь а„..., а,— система представителей всех классов сопряженных элементов. Положим 397 ГРуппОВые КАРАктеры % 3091 Из (13) следует, что или, более подробно, Х)г=Е -„'- ~ .Ь(а) Х.
(а) =1 ' "" '=-~ 10 для у~В. (14) Здесь а пробегает всю систему представителей, указанную выше. Если же а пробегает все элементы группы, то нужно убрать множители )г,. Отсюда получается ортогональность характеровг (.1 б) (четвертое соотногаение между характерпмн). В частности, если В=О, т. е. когда )(„есть характер уз единичного представления, то из (15) следует ( й для у=О, (16) )г, =,,'~ е, В, (74) = ~ е, — „' ут (а) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
