Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Любое полупростое кольцо о с условием минимальности для левых идеалов изолсорсоно прямой сулсме полных матричных колец над телами. Если кольцо о простое, то оно может быть прямой суммой только одного матричного кольца. Тем самым получается Структурная теорема дл я простых колец. Любое простое кольцо с единицей, удовлетворяюи(ее условию минилтальности для левых идеалов, изомор4но полному матричному кольцу К„над некоторым телом К. Порядок и в этом утверждении равен количеству левых идеалов в разложении (1). Так как кольцо о простое, все идеалы 1, попарно изоморфны.
Тело К является телом эндоморфизмов одного нз левых идеалов 1и Если, в частности, о — простая алгебра над некоторым полем Р, то элементы )) поля Р порождают эндоморфизмы х хр левых идалов 1ь так что Р люжно вложить в тело эндоморфизмов Н. Далее, для каждого эндоморфизма Х из К имеет место равенство (хр))ь=(хн) р, и, следовательно, р перестановочен с каждым элементом ).
тела Н. Это означает, что Р содержится в центре тела К. Так как все матричное кольцо К„имеет конечный ранг над Р, то тело Н тоже имеет конечную степень над Р, т. е. К вЂ” алгебра с делением цад полем Р. Мы получили, таким образом, следующую теорему: Теорема Веддерберна. Каждая простая алгебра с единицей изомор4на полному матричному кольцу над алгеброй с депением. Всякий раз, когда в будущем речь зайдет о простой алгебре, будет подразумеваться простая алгебра с единицей, т. е.
некоторое полное матричное кольцо К„над телом К. Кратные ер единицы будут отождествляться с элементами р поля Р. 3 а да ч а !. Прямая сумма полных матричных колец над телами полу- проста. Задача 2. Полисе матричное кольцо над телом примитивно и просто. 3 е д а ч а 3. Коммугативное полупростое кольцо с условием минимальности является прямой суммой полей. 5 103. Поведение алгебр при расширении основного поли Пусть 21 — полупростая алгебра пад основным полем Р. Мы собираемся выяснить, как ведет себя 21 при расширении основного поля до некоторого поля Л, какие свойства алгебры 2! сохраняются, а какие могут утратиться. Исследование будет вестись так: сначала 21 будет полем, затем — телом, затем — простой % мз( поввдвнив Алгввь пьи гхсшигвиии поля 370 алгеброй и, наконец, — полупростой алгеброй, причем в каждом последующем случае будет использоваться предыдущий.
Все рассматриваемые кольца должны облада1ь едишщей. 1. Если 0( — сепарабельное конечное расишрение поля Р, то алгебра 0(л не имеет радикала, каким бы ни было поле Л; наоборот, если расширение !Ч несепарабельно, то при подходящем выборе поля Л в алгебре 0(ь появляется ненулевой радикал. Доказательство. Если расширение 0( сепарабельно, 0— примитивный элемент расширения ?( (0 46) и ~р(г) — неразложимый многочлен, обращающийся в нуль на О, то и соответствии с 0 39, обозначая через и степень многочлена ~р(г), имеем 0( = Р (0) = Р + 0Р +...
+ 0" 1Р— Р (г)фр (г)), а потому при расширении основного поля получается "(л — — Л+ 0Л + ... + 0" 'Л . — Л (г)фр (г)). Так как ~р(г) не имеет кратных множителей и в Л(г(, то не существует многочлена ? (г), какая-либо степень которого делилась бы на ~р(г), а сам он на Ч~(г) не делился, т. е. в фактор-кольце Л Ц?(ср (г)) не существует нильпотентных элементов, отличных от нуля.
Согласно 5 98 (теорема 8) радикал алгебры ?(ь состоит из нильпотентных элементов, о которых только что упоминалось. Так как, кроме нуля, таковых нет, радикал равен нулю, т. е. алгебра е(ь полупроста. Если расширение 0( несепарабельно и 0 — какой-нибудь несепарабельный элемент из 0(, то 0( обладает подполем Р (0), а ?(„— подкольцом Л(0), которое, как и выше, изоморфно факторкольцу Л(г1?(<р(г)). При подходящем выборе расширения Л мпогочлен <р(г) имеет кратные множители в Л, и в кольце Л(г1 существует многочлен )(г), который сам не делится на ~р(г), но некоторая степень его делится на ср(г).
Тем самым в кольце Л(г]фр(г)) существует ненулевой нильпотентный элемен~, а потому таковой есть и в Л(0); следовательно, этот нильпотентный элемент порождает в 0(л некоторый нильидеал, потому что в коммутатнвном кольце любой нильпотентный элемент порождает нильидеал. Теорема доказана. Поскольку роли полей 0( н Л взаимно заменимы, первую часть зеоремы можно сформулировать так: если по крайней мере одно из полей ?( или Л имеет конечную степень и сепарабельно над Р, то алгебра 0(хЛ полупроста.
Так как, кроме того, алгебра ?(хЛ коммутативна, отсюда следует: 0(хЛ являепюя прямой сули мой полей (ср. 0 102, задача 3). 2, Перейдем теперь к случаю, когда 0( — некоторое тело К. Этот случай сводится к коммутативному на основе следующей редукционной теоремы: 3'г'4 !ГЛ, хгн АЛГЕБРЫ Автоморфизмы и тела К индуцируют автоморфизмы модуля И, определяемые равенством о. (г„н, +... + ген,) = г, (он !) +... + гв (онв). Тогда утверждается: любой подмодуль а модуля И, выдерживаюгций автоморфизмы о, обладает К-базисом, элементы которого остаются неподвижными ггри во!их автоморфизмах.
Доказательство. Если (г„..., г,) — некоторый К-базис подмодуля о, то его можно дополнить несколькими элементами ги скажем, г,г„..., г, до К-базиса всего модуля %. Каждый элемент из М сравним по модулю а с некоторой линейной формой от г„„ ..., г с коэффициентами из К. В частности, для ! = 1, 2, ..., Г имеет место сравнение г, = ~~ г„уы (!ног( а).
А=.-г+! Положим л 1; = гг — ~' гьу„!. Ф=..гг ! Тогда формы 1; — линейно независимые элементы модуля ш ведь любое линейное соотношение между 1, приводит к такому же соотношению между г„..., гг, а последние элементы независимы. Тем самым, элементы 1„..., 1, составляют некоторый К-базис в а. Если к 1, применить автоморфизм о, то получится о1г =гг — ~х , 'гл(оум). (1) г-)-! Элементы о(! вновь должны принадлежать модулю а, а потому быть линейными комбинациями исходных элементов 1,: о(, = ч 1гггг = 'х г,сгà — ~ г„~х~ у„кгр ! г+! (2) Еслгг К вЂ” тело над полем Р с центром Е = Р, Л вЂ” некоторая алгебра над Р и если гг=НхЛ и г=7хЛ, то каждый двусторонний идеал в в кольце гг порождается некоторым двусторонним идеалом из 3.
Редукционная теорема будет наилучшим образом восприниматься, если ее обобщить и высказать как некоторую теорему о модулях: Пусть К вЂ” тело, обладающее некоторыми автоморфизмами о. Пусть йг1 — некоторый К-модуль конечного ранга; Я=а!К+...+г,К. % кв! ПОВЕДЕИИЕ АЛГЕВР ПРИ РАСШИРСИИИ ПОЛЯ Сравнивая (1) и (2), получаем: все сс! должны быть равны О, кроме сс!=1. Тем самым о1, =1ь что п утверждалось. Чтобы получить редукционную теорему из теоремы о модулях, нужно лишь в качестве упоминавшихся в теореме о модулях автоморфизмов взять внутренние автоморфизмл! х рх!) ' тела К. Преобразование посредством () действует на сумму г,н,+...+геи следующим образом: элементы г, опо оставляет неподвижными, а элементы и, переводит в рк!р-!.
Любой двусторонний идеал а в произведении К хЛ является также и двусторонним К-модулем, а потому допускает автоморфизмы и-+ р!11-!. Таким образом, идеал а обладает базисом, состоящим из таких элементов 5; г!нь которые при преобразовании р переходят в себя, т. е. коэффициенты и! козорых принадлежат центру Е тела К.
Но эти же базисные элел!енты принадлежат и 3 = г хЛ, чем и доказывается редукцнонная теорема. Дополнение. Редукционная теорема справедлива и тогда, когда вместо Л берется произвольное тело 11 в предположении, что К имеет конечный ранг над Р. Действительно, если и — двусторонний идеал алгебры К =КХРИ то идеал ео как и алгебра К, имеет конечный ранг над 11, а потому и конечный й-базис (а„..., а,). Базисные элементы, выраженные в форме ~ о!Ряь содержат лишь конечное число элементов !оь которые порождают конечный подмодуль Л в й. К произведению !11 =КхЛ и его подмодулю в П РР1 можно в таком случае прил!енить теорему о модулях и найти базис для а Д'.О1, т. е.
базис идеала а, который остается ипварпаитным относительно впутрсиных автоморфизмов тела К и, следовательно, принадлежит кольцу 7хРИ Начиная с этого места, К и Л будут алгебрами с делением над полем Р или, в частности, расширениями поля Р. Из редукционной теоремы непосредственно следует утверждение: Если алгебра л.хЛ проста, то проста и алгебра КхЛ. Если алгебра ЕхЛ полупроста, т.
е. является пряьтй суммой проспгых алгебр, то КхЛ является прямой суммой такого ясе числа простых алгебр, т. е. снова полупростой алгеброй. Подобно тому как можно заменить кольцо К на его центр Е, кольцо Л можно заменить на его собственный центр. Таким образом, имеет место предложение: Если произведение центров тел К и Л простое или полупростое, то К хЛ простое или соответственно полупростое.
В частности, произведение КхЛ полупросто тогда, когда один из центров сепарабелен над Р. Если алгебра К центральна над Р, т. е. Е=-Р, то произвеление ЕхЛ =-Л является алгеброй с делением, а потому простой. Л)ы получили утверждение: 376 АЛГЕБРЫ !Гл. хгн Если одно из тел К или Л центрально над Р, то алгебра КхЛ проста. 3. Переход от алгебр с делением к простым алгебрам, т.
е. к полным матричным кольцам й=Н„осуществить легко. Если Л вЂ” произвольное тело над Р, то '.>( х Л = К, х Л = К х Р, х Л = (Н х Л) х Р,. Когда НхЛ вЂ” полупростая алгебра, т, е, прямая сумма полных матричных колец, для получения алгебры т(+Л все эти матричные кольца нужно умноиппь на Р„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
