Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. умножить порядок матриц на Г. Что касается простоты или полупростоты произведения КхЛ, то здесь ничего не меняется. Центр алгебры Л= К„равен ценгру г. тела К. Поэтому справедлиго следующее предложение: Если центр Е алгебры й=К, сепарабелен над Р, то алгебра 'й'хЛ полупроста. Если алгебра и' центральна над Р, т. е. Е = = Р, то алгебра йхЛ проста, как бы ни выбиралось тело Л. Из добавления к редукционной теореме следует, что последний результат имеет место и для тел Л бесконечной степени над Р.
4, Любая полупростая алгебра Я является суммой простых алгебр лй', й", ... Если каждое из слагаемых умножить на Л, то получится произведение ЧХЛ. В частности, выберем в качестве Л поле; тогда получится следующее предложение: Полупростая алгебра остаепюя полупростой при любом сепарабельном расширении основного поля. Если центры простых алгебр ?~', у1~", ... сепарабельны над Р, то полупростота сохраняется при любол~ расширении основного поля. 5. Мы видели, что поведение простой алгебры ппи расширении основного поля полностью зависит от поведения лежащего в основе этой алгебры тела. Исследуем 1еперь поведение центральных атгебр с делением несколько подробнее.
Согласно доказанному в п. 3, любая центральная алгебра с делением при любом расширении основного поля остается центральной и простой. При этом она не обязана оставаться телом, а может перейти в некоторое матричное кольцо над телом. В этом случае мы говорим, что расширение основного поля приводит к разложеншо алгебры с делением (а именно — к разложению на простые левые идеалы). Покажем теперь, что: если К чь Р— центральная алгебра с делением, то всегда существуюп1 расширения основного поля, которые приводят к разложению данной илгебрьи Действительно, пусть р — элемент тела К, не принадлежащий полю Р; тогда некоторый неразложимый ъшогочлен ~р(х) из Р(х1 обращается в нуль Ба )У. В подходяще выбранном поле Л много- член Гр(х) разлагается на множители; например, можно выбрать Л= — Рф), и тогда от Гр(х) в Л отщепится линейный множитель., з юз1 поваданиа ллгавп ппи плсшипаннн поля 377 В соответствии с доказанным выше имеет место изоморфизм Лх х Р (р) ж Л1х)!(ср (х)); поэтому кольцо Л х Р (р) имеет делители нуля и„следовательно, таковые излеются в кольце Л х К, содержащем кольцо ЛхР(р).
Значит, кольцо ЛхК не явтяется телом, так что оно может быть только матричным кольцом К; с г') 1. Если сравнить ранги левой и правой частей равенства К х Л = = К; над полем Л, то получится: (К: Р) = г" . (К': Л), где через (Н: Р) обозначается ранг тела К над полем Р. Таким образом, ранг тела К' над Л меньше, чем ранг тела К над Р.
Если К' ФЛ, то дальнейшим расширением поля Л можно получить и разложение тела К'. Кольцо Н; перейдет тогда в матричное кольцо порядка г'г". Продолжая таким образом, мы непременно придем к концу, потому что ранги получающихся тел все врелгя уменьшаются. В итоге произойдет полное разложение и алгебра с делением К превратится в матричное кольцо над полем Л: КхЛ=Л„.
Поле Л„благодаря которому получается этот изоморфизм, называется полем разложения тела К. Приведенное выше доказательство показывает, что всегда существует поле разложения конечной степени над Р. Последнее соотношение между рангами превращается теперь в равенство (К; Р) =т', Таким образом, ранг алгебры с делением Н над ее центром Р всегда яьллвпюя квадратом натурального числа. Число т — порядок матриц над полем разложения — называется индексом алгебры с делением К.
Поле разложения тела Н является полем разложения и алгебры К„и наоборот, поточу что К х Л и К, хЛ являются полными матричными кольцами над одним и тем же телом. Задач а Е Произведение двух простых алгебр над Р, одна из которых центральна, является простым. Если центральны обе алгебры, то центрально и их произведение 3 а д а ч а 2.
Алгебраически замкнутое расширение Р поля Р является полем разложения для всех центральных простых ал~ебр пад Р. Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР $ 104. Постановка задачи Пусть б) — произвольная группа. Под представлением группы СВ над полем К понимается любой гомоморфизм групп, который каждому элементу исходной группы а сопоставляет линейное преобразование А некоторого и-мерного векторного пространства над К 1или, что по существу равносильно, некоторую п-строчную матрицу А). Размерность п называется степенью представления. Представление называется точным, если оио является изоморфизмом. Точно так же под представлениел1 произвольного кольца ю над полем К понимается гомоморфизм колец а А, где А — вновь линейное преобразование и-мерного векторного пространства.
Это определение совпадает с определением из Э 87. Еще тогда было показано, что каждому представлению кольца ь над полем К соответствует двойной модуль Ч)1 (на который в действует слева, а К вЂ” справа), названный людулем представления, и наоборот; каждый такой модуль представления задает некоторое представление. Изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот.
Представление называется приводимыли если модуль представления обладает собственным ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий модуль представления прост. Если в — некоторая алгебра над полем Р, то от представления дополнительно требуется, чтобы основное поле Р принадлежало полю К и чтобы из соответствия а А для любого р из Р следовало соответствие а1л Ар. Для модуля представления РЛ это означает, что (ар) и = (аи) р для а ен ь, 1) ен Р, и ен й. Основная задача состоит в отыскании всех представлений заданной группы или алгебры.
При этом задача о представлениях для конечных групп немедленно сводится к аналогичной задаче для алгебр: нужно лишь в соответствии с 5 93 построить из группы групповое кольцо с = а,К+...+ аьК, згэ э ~ом повдстлвления ллгеБР базисными элементами а,, , а„ которого будут элементы группы Я. Если а, Аг — представление группы, то ~ агр; ~ ', Агрг — представление группового кольца о, в чем легко убедиться. Обратно, любое представление группового кольца о над полем К сопоставляет, в частности, и базисным элемснгам а„ , а„ некоторые линейные преобразования, а они определяют представление самой группы.
Мы получили предложение: Каждое представление конечной группы над полем К задается некоторым представлением группового кольца. В теории представлений алгебр, как правило, предполагается, что поле представления К совпадает с основным полем Р. Общий случай можно свести к этому частному, расширив алгебру о до алгебры ок. Если в исходном представлении базисным элементам а„..., аь алгебры о соответствовали матрицы А„..., А„, то произвольному элементу У аф 1р, ~ К) алгебры ои можно сопоставить матрицу У АД и тем самым продолжить представление алгебры о до представления алгебры ою Тем самым каждое представление алгебры о над полем К задает некоторое представление алгебрьс ок. Дальнейшее ограничение постановкй задачи получится в случае, когда кольцо о обладает единицей.
Здесь мы всегда можем считать, что единица 1 является и единичным оператором иа модуле представления, т. е. в данном представлении этому элеменгу соответствует единичная матрица. В противном случае, как на это было указано в Э 84, модуль представления является прямой суммой .'И„+ '.И„где 01)о аннулируется кольцом о, а на 01, единица является единичным оператором. Таким образом, представление распадается на две части, первая из которых состоит из нулевых матриц и поэтому неинтересна, а вторая является представлением, в котором единица переходит в единичный оператор.
Особенно важным представлением алгебры является регулярное представление, которое получается, когда сама алгебра о берется в качестве модуля представления, на который о действует слева, а Р— справа. Подмодулями здесь служат левые идеалы кольца о. Регулярное представление вполне приводимо, если вполне приводимым слева является само кольцо. ф 105.
Представления алгебр В Э 100 1теорема 18) мы видели, что радикал Я алгебры о представляется нулем в любом неприводимом представлении этой алгебры. То же самое верно, конечно, и для вполне приводимого представления, потому что оно складывается из неприводимых ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР игл. хш представлений. Таким образом, любое вполне приводимое представление алгебры о можно считать представлением полупростой алгебры о/3(. Следующая теорема указывает, как получаются представления полупростых алгебр или, более общо, полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов.
Согласно 3 98 каждое такое кольцо о обладае~ единичным элементом и вполне приводимо слева, т. е, является прямой суммой простых левых идеалов. Каждому представлению кольца о соответствует некоторый о-модуль И. Имеет место следующая Основная теорема. Пусть о — вполне приводимое слева кольцо с единицей и И вЂ” некоторый о-модуль с конечным базисом. Единичный элемент кольца о считается единичным операторол~ на И. Тоеда И является прямой суммой простых о-модулей. Каждый из них изогиюрфен некоторому простому левому идеалу в о. До к а з а тел ьс т во. Согласно предположению кольцо о является прямой суммой простых левых идеалов: о=1„+ ... +1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
