Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если ю — алгебраический элемент над полем Р (о„..., о,), то он будет алгебраическим и над Р (и„, и„, о„..., о,), а это поле алгебраично над Р(и„..., и„). Поэтому в силу Э 41 элемент ю алгебраичен над Р(и„..., и„), что и требовалось доказать.
В силу этих основных теорем об алгебраической зависимости справедливы и следствия из них, аналогичные сформулированньв| в 5 20; в частности, справедлива теорема о замене, Аналогом понятия линейной независимости может служить понятие алгебраической независимости: элементы и„ ..., и„ называются алгебраически независимыми над основным полем Р, если ни один из них не является алгебраически зависимым от остальных.
Имеет место Т е о р е м а. Элементы и„..., и, алгебраически независимы тогда и только тогда, когда из г(ио ..., и,)=0, где 1 — многочлен с коэффициентами из Р, следует равенство нулю всех козффициентов многочлена 1, Лак аз а тел ьство. Если )(иь ..., и) =-0 имеет своим следствием равенство нулю многочлена Г, то, очевидно, ни один из элементов и; пе может быть алгебраически зависимым от остальных и,. Пусть, наоборот, элементы и„..., и, алгебраически независимй.
Если ~(им ..., и,) =0 н если многочлен 1 расположен по степеням элемента и„то коэффициенты ~,(иь ..., и,.1) этого многочлена оказываются тождественно равными нулю. Расположим эти коэффициенты-многочлены по степеням элемента и,, и точно так же установим, что и их коэффициенты тождественно равны нулю; продолжая таким образом, мы в конце концов установим, что коэффициенты многочлена 1 равны нулю. Согласно этой теореме элементы и„..., и, при условии, что они алгебраически независимы, не связываются никаким алгебраическим уравнением. По этой причине их называют независимыми трансцендентными элементами. Если и„..., и, алгебраически независимы и г„..., г,— переменные над полем Р, то каждому многочлену г(г„..., г„) с коэффициентами из Р можно взаимно однозначно сопоставить много- член ((и„..., и,).
Поэтому Р [г,, ..., г„[='.=Р [и,, ..., и,!. Из сунтествования этого изоморфизма колец многочленов следует ЕЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕП <гл. Х существование изоморфизма полей частных: Р (г„..., г,) — Р(и„..., и,). Таким образом, независимые трансцендентные элементы и,, ..., и, совпадают в смысле алгебраических свойств с обычными незавпснмымн переменными. Понятия алгебраической зависимости н независимости могут быть введены н для бесконечных множеств. Элел<е«т о называется (алгебраически) зависимым ои множества И (над основным полем Р), если он алгебранчен над полем Р (И), т, е, удовлетворяет некоторому уравнению, коэффициентами которого являются рациональные функции от элементов множесзва У) с коэффициентами нз поля Р ').
В этом случае упомянутое уравнение с помощью умножения на произведение знаменателей коэффициентов можно сделать целым рациональным уравнением с элементами нз И. В такое уравнение входит лишь конечное число элементов и„..., и„множес<ва И, поэтому: Если элемент и зависит от И, то о зависит от конечного чис<а элементов и„..., и, из И. Выберем конечное множество (и,, ..., и„) так, чтобы ни один нз его элементов не был лишним; тогда в силу основной теоремы 2 каждый элемент и; зависит от о и от остальных ир Основная теорема 3 без оговорок переносится на случай бесконечных множеств: Если и зависит от И и каждый элемент из И зависит от Я, то и зависит от Я.
Множество Я называется (алгебраически) зависимым от множества И, если все элементы нз Я зависят от И. Если Я зависит от И, а У) зависит от й, то Я зависит от 2. Если два множества И н Я зависят друг от друга, то онн называются эквивалентными (над Р). Отношение эквивалентности, введенное таким путем, является рефлексивным, симметричным н транзнтнвным. Множество И называется алгебраически независимым (над Р), если нн один нз его элементов не зависит алгебранчески от остальных. В этом случае говорят также, что множество И «состоят нз независимых трансцендентных элементовж Если множество И алгебранчески независимо, то соотношение между элементами У) вида г(и„..., и,) =О, где г — многочлен с коэффициентами нз Р, может выполняться лишь тогда, когда ) тождественно равен нулю; ~(х<, ..., Х,) =О (для переменных х,). <) Злемеит зависит от пустого множества, если ов алгебраичеи иад Р.
ствпвнь тглнсцвндвнтности $75! Если построить кольцо многочленов Р [Х] от стольких переменных хь сколько элементов в И (неважно, конечно или бесконечно это множество) и каждому многочлену )(хь ..., х,) сопоставить элемент поля ~(иь ..., и,), то, очевидно, получится некоторый гомоморфизм кольца многочленов на кольцо Р [И] элементов поля 1(им ..., и,). Если И алгебраически независимо, то различные многочлены переходят в различные элементы поля; следовательно, в этом случае получается изоморфизм Р ]Х] л Р [И]. Из изоморфизма колец многочленов вновь следует изоморфизм полей частных, Тем самым доказана теорема: Поле Р (И), получаюи]ееся присоединением алгебраически независимого множества И к полю Р, изоморфно полю рациональных функций от множества переменных Х, равномощного множеству И, т.
е. полю частных кольца многочленов Р [Х]. Каждое поле Р (И), которое получается присоединением алгебраически независимого множества И к Р, называется чисто трансцендентным расширением поля Р. Строение чисто трансцендентных расширений полностью описывается предыдущей теоремой: каждое такое расширение изоморфно полю частных некоторого кольца многочленов. Таким образом, строение поля Р (И) зависит лишь от мощности множества И: эта мощность называется степенью трансцендентности; ей посвящен следующий параграф, $ 75. Степень трансцендентности Мы покажем, что каждое расширение данного поля может быть разложено на некоторое чисто трансцендентное расширение и следующее за ним алгебраическое расширение.
В основе рассуждений лежит теорема: Пусть Я вЂ” произвольное расширение поля Р, Тогда каждое подмножество И поля Я эквивалентно в смысле алгебраической зависимости некоторому своему подмножеству И', являющемуся алгебраически независимь м. Доказательство. Пусть И вполне упорядочено, Подмножество И' определим следующим образом: элемент а из И принадлежит И', если а не зависит алгебраически от предшествующего ему отрезка У[. Тогда о множестве И' можно высказать и доказать следующие утверждения: 1. Множество И' алгебраически независимо.
Действительно, если бы некоторый его элемент а, зависел от элементов а„..., а„, то множество [а„..., ал] можно было бы выбрать минимальным и тогда каждый элемент а, зависел бы от всех остальных. В частности, последний в смысле имеющегося порядка элемент а~ зависел 258 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ !гл х бы от остальных элементов. Но тогда этот последний а; (в силу определения множества И') не мог бы принадлежать множеству И'.
2. Множество И зависит от УГ. Действительно, в противном случае в И существовал бы первый элемент и, не зависящий от УГ. Элемент а не принадлежит множеству У!', а потому зависит от предшествуюгцего отрезка 81, который в свою очередь (ведь а — первый не зависящий от УГ элемент) зависит от УГ. Тем самым элемент а зависит от У!', что противоречит предположению. Дополнение. Если У1~%„то каждая эквивалентная множесгпву 9% алгебраически независимая подсистема И' в У! может быпгь дополнена до алгебраически независимой подсистемы в Я, эквивалентной множеству %. Док аз ательство. Сделаем множество Я вполне упорядоченным так, чтобы элементы множества 9% оказались предшествуюгднми остальным элементам объемлющего множества, и построим систему %' из % аналогично тому, как строилась система И' из множества 9?1 в предыдущей теореме.
Очевидно, %' содержит среди прочих и элементы из УГ, Система УГ называется неприводилюй. 3 а д а ч а !. Провести доказательство этой теоремы с помощью леммы Церна, примененной к замкнутому множеству А всех алгебранческн незавнснмых подмножеств нз гд!. Согласно предыдущей теореме каждое расширение 11 поля Р можно рассматривать как некоторое алгебраическое расширение поля Р(Я), где С вЂ” неприводимая система, а потому Р(4о)— чисто трансцендентное расширение поля Р.
Таким образом, это означает, что поле ь) получается из Р с помощью некоторого чисто трансцендентного расширения и последующего чисто алгебраического расширения. Построенная в предыдуших теоремах неприводимая система И' является, конечно, не единственной; однако мощность этой системы (и тип чисто трансцендентного расширения Р(И)) определена однозначно. Действительно, имеет место теорема: Две эквивалентньге алгебраически независилгые системы И, Я равномои!ньи По поводу общего доказательства этой теоремы можно указать оригинальную работу Штей ниц а в ?.
ге!пе апдееи МаГш 137, а также книгу: Г а у и т (Напр! О.) . Е!и!Н)ггцпе !и СДе А)ееЬга П, Кар. 23,6. Важнейший частный случай имеет место тогда, когда по крайней мере одна нз систем И, % конечна. Например, если И состоит из г элементов и„..., и„то согласно следствию 4 (9 20) в % имеется не более г элементов, так что и Я вЂ” конечное множество; поскольку на том же основании 9% не может иметь больше элементов, чем Я, лгножества И и Я равномощны, $7б) ДИФФЕРЕНЦИРОБАГГИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ 259 Однозначно определенная мощность алгебраически независимой системы д)), эквивалентной полю Ри называется степенью тран- сцендентности поля х) над полем Р, Т е о р е м а. Расширение, получающееся в результате двух пос- ледовательных расш и реп ий (конечных) степеней т рансцендент- нвсти в и (, имеет степень трансцендентности в+7 т) .
Доказательство. Пусть Р ах. а(2. Пусть (о — система, алгебраически независимая над Р, эквивалентная полю 2; н при- надлежащая Х, и пусть ч. †систе, агебраически независимая над д',, эквивалентная полю к) н содержащаяся в Рн Тогда Я имеет мощность в, ~ имеет мощность г и множество чо не пере- секается с ч., так что объединенне С()~~ имеет мощность в-(-г. Если мы сможем установить, что система (о()ч.
ачгебраически независима над Р и эквивалентна полю Рп то треб)емое будет доказано. Поле ха является алгебраическим над Х (сь), а Х вЂ” алгебраи- ческим иад Р (с=); следовательно, бб является алгебраическим над Р (Й,ст), т. е, эквивалентным системе Я () ~, Если бы существовало какое-либо алгебраическое соотношение между конечным множеством элементов из С () Й с коэффи- циентами из Р, то в него прежде всего не могли бы входить элементы из ~, потому что иначе существовало бы соотношение между этими элементами с коэффициентами из Х, что противоречит алгебраической независимости множества '~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
