Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Многочлены Р, (х) могут быть выражены через этот базис так: (гл. У!!1 тйорггя ГАлуА автоморфизма о, который определяется равенством оа — -ач и оставляет элементы поля д неподвижныын. Нам нужно доказазчо что в Е существует такой элемент ~, что элементы ог, 021,, аа 11 линейно независимы иад Л. Тогда эти элементы будут составлять норма.льный базис поля. Идея доказательства та же, что и в доказательстве существования примитивного корня нз единицы степени й. Тогда мы рассматривали мультнпликативную группу корней й-й степени нз единицы; теперь же мы рассматриваем группу элементов поля Х.
В качестве области мультипликаторов в данном случае возьмем кольцо многочленов Л (х). Произведение многочлена а д(х)=~саха на элемент Ь из К определяется равенством й~ д(о)~ — ~~ ~слов. Точно так же, как в случае мультипликативной группы, каждому элементу ~ сопоставлялось целое число — порядок а, так теперь каждому ~ мы сопоставим минимальный многочлен а, определенный как многочлен наименьшей степени со свойством уй=О.
В первом случае число а было делителем порядка группы Л, а теперь минимальный многочлен Ьг является делителем многочлена х" — 1, который в силу равенства о" = ! обращается в нуль на всех элементах ~ Так же, как раньше й разлагалось в произведение простых множителей дп так теперь многочлен д (х)=х" — 1 в кольце Л (х) разлагается на простые множители аг(х). Так же, как раньше для каждого ( существовало число ап у которого (й/аг)-я степень была отлична от 1, так теперь существует элемент аг, который не является корнеле многочлеиа й/аг. Действительно, многочлен Ь/аг = аг имеет степень, не превосходящую числа л — 1, а автоморфизмы 1, о, ..., ов-т линейно независимы; следовательно, существует элемент ап который не является корнем многочлена яг (х) = се+с х+... + с„эха '.
умножим это аг на Ь/гп подобно тому, как раньше элемент а! возводился в (6/гг)-го степень; у нас получится элемент Ьп минимальный многочлен которого — зто в точности г;=дд. В предыдущем случае было показано, что произведение всех Ь! имеет порядок 6; точно так же сумма является корнем многочлена х" — 1.
Многочлен а(х) степени, меньшей чем не может иметь в качестве корней элементы Ь, следовательно, ~, о й, ..., о"-з à — линейно независимые элементы, и мы получили нормальный базис. 3 а д а ч а 1. Провести последнее доказательство во всех деталях. Задач а 2. Если умножать элементы группы о„...,о„на о слева, то они подвергнутся некоторой перестановке 5. Представление о - 5 называется регулярным представлением группы Ф. С другой стороны, если элементы нормалыюго базиса подвергаются некоторому автоморфизму о, то происходит некоторая перестановка 5' этих базисных элементов и оказывается заданным представление о 5' группы 9 подстановками. Показать, что мы имеем дело здесь с регулярным представлением.
Глава девятая УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 5 68. Упорядоченные множества Множество называется упорядоченным или линейно упорядоченным, если на его элементах определено отношение а .. Ь, подчиненное следуюшим условиям; 1. Для любых двух элементов а, Ь либо а(Ь, либо Ь(а, либо а =- Ь. 2. Для двух элементов а и Ь имеет место одно и только одно из соотнопгений: а(Ь, Ь(а, а=Ь.
3. Из а< Ь и Ь<с следует а<с. Если предполагаются выполненными лишь требования 2 и 3, то множество называется частично упорядоченным или полуупорядоченным. Один важный класс полуупорядоченных множеств изучается в теории структур. См. по этому поводу Б и р кгоф Г. Теория структур. — Мл ИЛ, 1952. Если а(Ь, то говорят, что а предгиествует Ь, а Ь следует за а или что а находится перед Ь, а Ь вЂ” после а. Из отношения а(Ь определяется несколько производных отношений: а- Ь означает, что Ь(а; а== Ь означает, что а(Ь или а=Ь; ать Ь означает, что а) Ь или а=Ь. В линейно упорядоченном множестве отношение а(Ь является отрицанием отношения а~ Ь и точно так же отношение а'= Ь вЂ” отрицанием отношения а(Ь.
Если некоторое множество упорядочено или частично упорядочено, то и каждое его подмножество упорядочено или соответственно частично упор ядочено тем же самым отношением. Может случиться, что упорядоченное или полуупорядоченное множество гИ обладает «первым элементом», который предшествует всем остальным. Например, таково число ! в ряду натуральных чисел. Упорядоченное множество называется вгголне упорядоченным, если каждое пепустое его подмножество имеет первый элемент.
Примеры. 1. Каждое упорядоченное конечное множество является вполне упорядоченным. упорядочпннып мпожествл (гл гх 2. Ряд натуральных чисел вполне упорядочен, потому что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется первый элемент. 3. Множество целых чисел ..., — 2, — 1, О, 1, 2, ... в «естественном» порядке пе является вполне упорядоченным, потому что в нем самом нет первого элемента. Однако его можно вполне упорядочить, если расположить его элементы, например, так: О, 1, — 1, 2, — 2, или, например, так: 1, 2, 3, ...; О, — 1, — 2, — 3, ..., где все положительные числа предшествуют остальным. Задач а (.
Определим на множестве пар натуральных чисел (а, Ь) отношение порядка следующим образом: пусть (а, Ь) < (а', Ь'), если либо а< а', либо а=а', Ь <Ь'. Доказать, что так определенное отношение превращает данное множество во вполне упорядоченное. Задач а 2. В любом вполне упорядоченном множестве каждый элемент а (за исключением, быть может, элемента, являющегося последнии) обладает «непосрелственно следующим за ним> элементом Ь) а, причем между Ь и а нет никаких других элементов х (т. е, элементов х со свойством а < к<Ь). Доказать это.
Имеется ли в этом случае для каждого элемента (за исключением первого) элемент, непосредственно предшествующий емуг Пусть М вЂ” подмножество частично упорядоченного множества Е. Если все элементы х из М удовлетворяют условию х ==. з, то а называется верхней границей множества М. Если в Е существует наименьшая верхняя граница д, так что для всех других верхних границ з выполнено условие и )д, то йг является однозначно определенной границей и называется верхней гранью множества М в Е. П р и м е р ы. 1. Верхняя грань множества отрицательных чисел в поле (ь) рациональных чисел равна нулю. 2. Множество натуральных чисел не имеет в Я верхней границы и, конечно, не имеет верхней грани. 3. Множество М рациональных чисел х со свойством хз < 2 имеет в Я верхнюю границу 2, но не имеет верхней грани. Однако, если присоединить к (с( вещественное число р'2, то множество М в (1(' (1/2) приобретает верхнюю грань $' 2.
$68. Аксиома выбора и лемма Цорна Цермело первым заметил, что многочисленные математические исследования опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал как аксиому выбора. Состоит она в следующем: 239 АКСА!ОЫА ВЫБОРЛ И ЛБММЛ ЦОРНА л 69! Если задано некоторое множество непустых множеств, то существует «функция выборал, т. е. функция, которая каждому из этих множеств сопоставляет какой-либо его элемент. Подчеркнем, что каждое отдельно взятое множество предполагается непустым и, следовательно, из каждого множества всегда можно выбрать некоторый его элемент. Аксиома утверждает, что из всех таких множеств можно одновременно выбрать по элементу.
Всюду в дальнейшем, где это будет нужно, мы предполагаем выполненной аксиому выбора. Важными следствиями из аксиомы выбора являются лемма Цорна и теорема о том, что каждое множес~во можно вполне упорядочить. В настоящем параграфе мы сформулируем и докажем лемму Цорна, а в следующем параграфе — теорему о полном упорядочении. Подмножества а, 6,... некоторого основного ллножества й в свою очередь составляют некоторое множество: спаепень Р мно жества й. Между двумя подмножествами а и 6 люжет иметь место соотношение а с: 6, означающее, что а — собственное подмножество множества 6.
С помощью этого соотношения множество Р оказывается полуупорядоченным. Линейно упорядоченное подмножество множества Р называется, в соответствии с терминологией Цорна, цепью. Для любых двух элементов а и 6 некоторой цепи К должно, следовательно, выполняться одно из соотношений: а ~ 6 или 6 с: а нли а = 6. Подмножество А в Р называется замкнутым по Цорну, если с каждой цепью оно содержит и объединение ее элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
