Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Максимальный элемент в подмножестве А множества Р— это такое множество п! из А, которое не содержится ни в каком другом множестве, являющемся элементом в А. Принцип максимума или лемма Цорна утверждает: Каждое замкнутое подмножество А в множестве Р содержит по меныией мере один максимальный эле,кент п!. Эту лемму можно сформулировать несколько более общим образом, следуя Бурбаки.
Вместо подмножества А из Р можно рассматривать произвольное полуупорядоченное множество М. Цепь К в М, как и прежде, определяется как линейно упорядоченное подмножество в М. Для любых двух элементов а и Ь некоторой цепи должно, следовательно, выполняться одно из соотношений: а(Ь или Ь~а или а=Ь. Множество М называется замкнутым, если вместе с каждой цепью оно содержит и ее верхнюю грань.
Принцип максимума тогда утверждает: Любое частично упорядоченное замкнутое множество М содержит максимальный элемент лп, 240 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА (гл !х Согласно К н е зе р у ') существование мвксимальиого элемента можно доказать при более слабых предположениях. Вместо требования о том, чтобы множество М содержало вместе с каждым своим линейно упорядоченным подмножест«ом К и его верхнюю грань, достаточно предположить, что М содерисит вместе с каждым своим вполне упорядоченным подмножеством К какую-либо его верхнюю границу Кроме того, как показал Киезер, при этом ослабленном предположении доказывается косновная лемма Бурбакиэ. Покажем, чтз принцип максичуиа следует из аксиомы выбора. Для этой цели докажем сначала, пе используя аксиому выбора, следующую ос и о в и у ю лемму Бурбаки: Пусть М вЂ” частично упорядоченное замкнутое множество, и пусть х«-ь г — ь (х — некоторое отображение множества М в себя, обладающее следую«Чан свойством: х ~ (х для всех х из М.
Тогда в М существует элгмгнт т со свойством: т=)т. Подмножество А частично упорядоченного множества М называется началом множества М, если вместе с каждым элементом у множество А содержит все х из М, предшествующие элементу у. Отрезок М„определенный в М элементом г, состоит из элементов х множества М, предшествующих элементу е. Каждый такой отрезок является нача. лом множества М. Кроме того, все множество М является началом себя самого, В частности, если М вполне упорядочено, то каждое начало множества М является либо отрезком М„либо всем М. ((ействвтетьно, если неноторсе начало А отлично от М и если х — первый из несодержащихся в А, то А— это в точности отрезок М,. Пусть теперь М вЂ” частично упорядоченное и занкнутое множество.
Каждая цепь К в М обладает тогда некоторой верхней гранью у(К) в М. Каждый отрезок Кг вновь является некоторой цепью и поэтому обладает верхней гранью й(КУ). Если подмножество К вполне упорядочено и для каждого у из К имеет место равенство у=(у(Кг), то К называется (д-цепью. Каждое начало любой )у-цепи вновь является )у-цепью. Пусть К и !.— некоторые (у-цепи.
Покажем, что если К не является началом мномсества Е, то Š— начало множества К. Начала множества К вЂ” это отрезки Ке и само множество К. Так как К вполне упорядочено отношением х(у, мйожество начал вполне упорядочивается отношением ~. Если К не является началом множества Е, то существует первое начало А множества К, не являющееся началом множества Е. Если бы в А не было последнего элемента, то для каждого х из А сушествовал бы у из А со свойством х(у, т. е.
А бьшо бы объединением собственных начал А„. Однако таковыми являются начала множества Е, и, следовательно, объединение этих частей было бы равно А и было бы началом в Е, что противоречит предположению. Следовательно, мы можем предположить, что А обладает некоторым последним элеменгом у. Начало А'=АУ является началом в !.. Если Е ~ А' и если е — первый элемент в Е, не принадлежащий множеству А', то Кв —— А'=!.е, следовательно у =(у (Ке) = !у (~.л) = а.
Теперь А состоит в точности из А' и у, т. е. А является началом в йв, что противоречит предположению. Остается лишь одна возможность: й= А' и Е является началом в К, Таким образом, из двух (у-цепей всегдз одна является началом другой. ') Кпезег Н. О)гесй(е А(г(е((ппй дез алого(зсйеп Еешщаз ацз децг йцзтчап(ах(ош.— А(а(п. Е„(950, 53, Б. ((О. 241 ТЕОРЕМЛ ИЕРМЕЛО 4 701 Построим теперь объединение У всех )йшепейг. Тогда: 1) множество У линейно упорядочено и, следовательно, является цепью; 2) множество У вполне упорядочено; 3) в множестве У имеет место равенство у гу(Уа) для каждого у, т. е. У является )й-цепью; 4) если к У добавить еше один элемент ьь то полученное множество (У, ш) не будет )у-цепью.
Положии ш=гу(У) Тан как у(У)~(у(У)=ш, то элемент ш является верхней границей множества У, Если бы ш не принадлежало множеству У, то множество (У, ш) было бы )й-цепью, что противоречит 4). Следовательно, ш принадлежит множеству У. Поэтому жиду(У). С другой стороны, было известно, что у(У) ( ш; следовательно, у(У)=ш =Ы(У)=)нь чем и тюказывастся основная лемма. Теперь мы предположим выполненной аксиому выбора н докажем принцип максимума. Пусть М вЂ” частично упорядоченное замкнутое множества. Если х †элеме из М, не являющийся максимальным, то множество тех элементов у, для которых у ) х, не пусто. Согласно аксиоме выбора каждому немакснмальному элементу х можно сопоставить некоторый гх ) х; для максимальнога х положим )х=х.
Согласно основной лемме существует элемент ш со свойством )ш и. Згат элемент ш маисимален, чем и доказывается принцип максимума. 70. Теорема Цермело Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о полном упорядочении: Каждое множество может быть вполне упорядочено. Церчело дая два доказательства этой теоремы '). Первое из ннх было упрощено Х.
Кнезером и состоит в следующем. Пусть М вЂ” некоторое множества. Каждое собственное подмножество У в М имеет непустое дополнение М', У. В силу аксиомы выбора существует функцня СР(дг), которая кагКдаиу собственному подмножеству Лг сопоставляет нЕКо- тарый элемент из М'~Л7. Под гр-пенью мы понимаем теперь любое подмножество К в М, вполне упорядоченное таким образам, что для каждого у из К имеет место соотношение у=ч (Ки) где К вЂ” отрезок множества К, состоящий из тех х, которые предшествуют у элементу у во вполне упорядоченном множестве К. Теперь нужно воспользоваться теми же рассуждениями, которые применялнсь в 9 69 прн доказательстве основной леммы, но вместо )9-цепей нужно брать гр-гьепи.
Итак, возьмем объединение У всех 97ньепей и заметим, что множество У вполне упорядочено, множество У является 47-цепью и если к У добавить еше один элемент ю, то полученное множество (У, ю) не будет й-цепью. Если У ~М, то в множестве М ' У можно взять отмеченный элемент ш=ф(У) и рассмотреть его как последний элемент в У. расширенное множество (У, ш) будет тогда вновь 47-цепью, что противоречит сказанному выше.
Тем самым остается одна воэможность: множество 17 совпадает со всем множеством М. Следовательно, множество М= У вполне упорядочено. '1 Мань Лпп., 1904, 69, Я, 514; 1906, 66, Я. 107, 242 упоялдоченные множествл ~гл. ~х Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода индукции, извес»ного нам по счетным множествам, в случае любых вполне упорядоченных множеств. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе. $ 71. Трансфинитная индукция Доказательство с помощью трансфинитной индукции. Чтобы доказать некоторое свойство Е для всех элементов вполне упорядоченного множества, можно рассуждать так; докажем, что свойством Е обладает любой элемент при условии, что им обладают все элементы, предшествующие этому элементу (в частности, и первый элемент множества). Тогда свойством Е должен обладать вообще каждый элемент множества.
Действительно, иначе был бы элемент, не обладающий свойством Е; но тогда существовал бы и первый элемент е среди не обладающих свойством Е. Все предшествующие элементы в этом случае обладали бы свойством Е, но тогда и элемент е обладал бы этим свойством, что и дает противоречие. Построение с помощью трансфинитной индукции. Предположим, что элементам х некоторого вполне упорядоченного множества М требуется сопоставить новые объекты ф(х), и предположим, что для этого мы располагаем «рекуррентным определяющим соотношением», которое связывает каждое значение ф(и) со значениями ф(Ь) (Ь(а). Предположим, что это соотношение определяет «р(а) однозначно, как только определены все «р(Ь) (Ь (и), которые между собой связаны тем же соотношением.
Вместо одного соотношения может быть задана также и система соотношений. Теореме. При сде.«анных предположениях суи(ествует одна и только одна функция ф (х), значения которой удовлетворяют заданному соотношению. Докажем сначала единственность, Предположим противное: существуют различные функции ф (х), »р (х), удовлетноряющие определяющему соотношению. Тогда должен существовать первый элемент а, для которого ср(а)Фф(а). Для всех Ь(а равенство ф (Ь) =- ф (Ь) оказывается выполненным. В силу предположения о том, что заданное соотношение определяет значение «р(а) однозначно по всем предыдущим «р(Ь), должно иметь место равенство ф(а) =ф(а), что противоречит предположению. Чтобы доказать существование, рассмотрим отрезки А множества М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
