Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 54
Текст из файла (страница 54)
См. Цор н (согп М.).— Вп!!. Агпег. Маги. Еос., 1935, 41, р. 667. $ 73. Простые трансцендентные расширения Каждое простое трансцендентное расширение поля гз, как мы знаем, эквивалентно полю частных гг(х) кольца многочленов гз)х). Поэтому мы изучим это поле частных Р = гз (х). Элементами поля П служат рациональные функции 1 (х) т) = е(х) ' Это представление можно считать несократимым () и у взаимно просты).
Наибольшая из степеней многочленов Г(х) и д(х) называется спгепенью функции т). Теорема. Каждый отличный огп константы элемент т) степени гг трансг(ендентен над Л и поле гг(х) — алгебраическое расширение поля гз(т)) степени и. Доказательство. Представление т)=Г(х))д(х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению д(х).т) — Г(х) =О с коэффициентами из А(т)). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равна.лись нулю и а„был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициен- 251 пгостыв тглпсцснпантные Рлс!ПИРГчия Ь гя том многочлена д(х), а Ьь — ненулевым коэффициентом многочлена ((х), то должно было бы иметь место равенство алт) — Ь„= О, откуда л) = Ь„(аь = сопз1, что противоречит предположению.
Следовательно, элемент х алгебраичеп над Л(л)). Если бы элемент т1 был алгебраическим над Л, то и х был бы алгебраическим над Л, что, однако, ие так. Следовательно, элемент л) трансцендептен над Л. Элемент х является корнем многочлена степени и д(г) т1 — 1(г) в кольце Л(и)(г).
Этот многочлен неразложим в Л(ч) [г], потому что иначе он был бы разложим и в кольце Л[Ч, г], и, так как он линеен по л1, один из множителей должен был бы зависеть не от пь а лишь от г. Но такого множителя не может быть, потому что д(г) и 1(г) взаимно просты. Следовательно, элемент х является алгебраическим степени и над полем Л(т1). Отсюда следует утверждение о том, что (Л(х): : Л (т~)) = п.
Для дальнейшего отметим, что многочлен д'(г) т1 — ((г) не имеет множителей, зависящих только от г (т. е. лежащих в Л[г]). Это утверждение остается верным, когда и заменяется своим значением ) (х)1д(х) и умножается на знаменатель д(х); тем самым миогочлен у (г) ) (х) — ) (г) а (х) кольца Л[х, г] не имеет множителей, зависящих только от г.
Из доказанной теоремы вытекают три с л е д с т в и я . 1. Степень функции т1=1(х)!д(х) зависит лишь от полей Л(т1) и Л(х), а не от того или иного выбора порождающего элемента х. 2. Равенство Л(Ч)=Л(х) имеет место тогда и только тогда, когда ц имеет степень 1, т. е, является дробно-линейной функцией. Это означает; порождаюьцим элемента,и поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от х и только такая функция. 3.
Любой автоморфизм поля Л (х), оставляющий на месте каждый элемент поля Л, должен переводить элемент х в какой- либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится ах-1- Ь в какой-либо порождающий элемент х= е и каждая функсх+ е ция Чл (х) — в функцию ср (х), то получается автоморфизм, при котором все элементы из Л остаются на месте, Следовательно, БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕН )гл. х Все автоморфизмы поля б(х) над полем б являются дробно- линейными подстановками Важной для некоторых геометрических исследований является Теорема Лю рота. Каждое промежуточное поле г., для которого Ь с: г: — б(х), является простым трансцендентным расширением: г =Л(0).
Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над г., потому что если т) — любой элемент из г,, не принадлежащий полю Л, то, как было показано, элемент х является алгебраическим над Л(»1) и тем более алгебраическим над г,. Пусть неразложимый в кольце многочленов г, [г1 многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем х имеет вид ) (г) =г" +а,г""1+...+а„. (1) Выясним строение этого многочлена. Элементы а, являются рациональными функциями от х. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно х с содержанием 1 (ср.
з 30): ) (х, г) = Ь» (х) г" + Ь1 (х) г" г + + Ьл (х) Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по г— через и. Коэффициенты а; = ЬуЬ, из (1) не могут все быть независимымн от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элемен1ом над Л; поэтому один из них, скажем, з=а =— Ь, (х) в» (х) ' должен фактически зависеть от х; запишем его в несократимом виде: э=а —. й (х) ' Степени многочленов д(х) и й(х) не превосходят т. Многочлен а (2) — эй (г) = а (г) — — Ь (г) е (х) А (х) (не являющийся тождественным нулем) имеет корень г=х, а потому он делится на г»(г) в кольце г [г].
Согласно й 30, если перейти о1 этих рациональных по х многочленов к целых1 по х многочлепам с содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим 6(х)д(г) — й(х) Ь(г) =д(х, г))(х, г). й 73) ПРОСТЫЕ ТРАНГЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую пг. Но справа уже многочлен 1 имеет степень и; следовательно, степень левой части в точности равна гп и г)(х, г) не зависит от х. Однако зависящий лишь от г множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому г) (х, г) является константой: Й(х)К(г) — йг(х)й(г) =д )(х, г).
Так как присутствие константы д роли ие играет, строение миогочлена ) (х, г) описано полностью. Степень многочлена 1(х, г) по х равна гп; следовательно (по соображениям симметрии), и степень по г равна и, так что гп=п, По меньшей мере одна из степеней многочленов д(х) и Й(х) должна фактически достигать значения и; следовательно, и функция 9 должна иметь степень т по х.
Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство (Ь(х): гз (О)) =т, а с другой — равенство (Ь(х): Х) =лт; то, поскольку Х содержит гх(8), (Х: Л(9)) =1, Х =ст(9). Теорема Люрота имеет следующее значение для геометрии. Плоская (неприводимая) алгебраическая кривая г (й, т))=0 называется Рапиональногк если ее точки, за иснлючением некоторого конечного числа из ннх, представляются рациональными параметрическими уравнениями я=1(1) Ч=ь (1). Может оказаться так, что каждая точка ириной (за исключением конечного числа) получается при нескольких значениях параметра 1.
(Например: хь — 12 т) =1э+ (; для 1 и — 1 получается одна и та же точка.) В силу теоремы Люрота с помощью Удачного выбора параметра это явление всегда мохгно обойти, Действительно, пусть б — иоле, которое содержит коэффициенты функций й л, н 1 — какая- нибудь переменная. Тогда Т =- б (), д) является подполем поля Ь (1). Если 1'— примитивный элемент поля В, то )(1)=й (1') (рациональная функция), я(1)=яг (1') (рацио~гальная функция), 1'=ф(1 а)=чб )) и легко проверить, что новое паралгетрическое предсгавление й=гг (1') Ч=аг (1') 254 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕИ (ГЛ Х дает ту же нривую; в то же время знаменатель функции ы(х, у) обращается в нуль лишь в конечном числе точек кривой, так что всем точкам кривой (за исключением конечного числа) соответствует лишь о д н о значение параметра р.
Задача. Если поле Л(х) нормально над некоторым подполем Л(т(), то многочлен (!) разлагается в нем на линейные множители. Все эти линейные множители получаются из одного из них какай-либо дробно-линейной подста. нонкой от х; например, из множителя х — х. Зги дробно-ливейные преобразования составляют конечную группу, оставляют инвариантной функцию 6= =я(х)/и(х) и этим определяются однозначно.
5 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость Пусть ь) — расширение заданного поля Р. Элемент о из ь1 называется алгебраически зависимым от и„..., и„, если о алгебранчен над полем Р(и„..., и„), т. е. если о удовлетворяет алгебраическому уравнению а„(и) из+а, (и) ое-'+...+аа(и) =О, коэффициенты а,(и), ..., ае(и) которого являются многочленами от и„..., и„с коэффициентами из Р и не все равны нулю. Отношение алгебраической зависимости обладает следующими основными свойствами, аналогичными основным свойствам отношения линейной зависимости (см. 2 20): Ос нонна я теорема 1.
Каждый элемент и, ((=1, ..., н) алгебраически зависит ои1 элементов и,,, и„. Основная теорема 2. Если о алгебриически зависит от и„..., иго но не ст и„..., и„н то и„алгебраически зависит от и„..., и„„о. Доказательство. Будем считать, что и„..., и„, присоединены к основному полю.
Тогда о алгебраически зависит от и„, т. е. имеет место алгебраическое соотношение а, (и„)е о+а, (и„) ог-'+... + аз (и„) =О. (1) Расположим это уравнение по степеням элемента и„; тогда Ьз(о) и„"+Ь, (и) и" — '+ ..+Ьл(о) =О. (2) Согласно условию элемент о трансцендентен над полем Р (и„ ... и„,). Многочлены Ь„(о), ..., Ь„(о) по этой причине либо тождественно равны нулю как многочлены от и или отличны от нуля. Все они, однако, не могут быть тождественно равны нулю по и, так как иначе левая часть в (1) были бы тождественным нулем по о, т. е.
выполнялись бы равенства а,(и,) = а,(и„) = ... ...=а (и„) = О, что противоречит условию. Следовательно, не все входящие в (2) коэффициенты Ь„(о) равны нулю; тем самым, в силу (2) элемент и, алгебраически зависит от о над полем Р(и„..., и„ь). АлгеБРАическАя зАВисимость А т41 О с нови а я теорема 3. Если элемент ю алгебраически зависит от и„..., о,, и каждый о; (1=-1, ...,З) алгебраически зависит ол~ и„..., и„то ю алгебраически зависит ст и„..., и„. Л о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
