Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Когда указанные корни из единипы будут присоединены, присоединение каждого РГа согласно Э 61, либо не даст никакого расширения, либо даст циклическое расширение степени р, Следовательно, вместе с уРГа к полю присоединяются все сопряженные с этим корнем р-й степени из а элементы; поскольку так получаются лишь пиклические расширения простой степени, в итоге получается нормальное над К поле.
Таким образом, в конце концов мы придем к ряду циклических расширений К сЛ, сЛ,с...сЛьи (2) которая приводит к нормальному расширению Л„=ь), содержащему корень (!) многочлена ((х). Так как ь) — нормальное расширение, оно содержит все корни многочлена 1(х), т. е. содержит поле разложения Х многочлена ) (х).
Пусть (й — группа Галуа расширения ь! над К. Тогда ряду полей (2) соответствует ряд подгрупп группы М: ь>):з Яг:з Жв ~...:з Фг, — — 6, (3) ') Если допустить, чгобы в формулу решения входили, кролге радикалов описанного вида, корни из еднпипы, то последнее условие а!омно ослабить потребовав, чтобы среди горядков композиционных факторов нс было характеристики поля К. 2!4 тяолия гклух !гл щи и каждая из этих подгрупп является нормальной в предыду>цей, причем факторгруппы являются циклическими группами простых порядков. Это означает, что группа !)1 разрешима и (3) — ее композиционный ряд, Полю Х соответс>вует некоторая подгруппа ь>, нормальная в Ж; согласно з 51 мы можем построить композиционный ряд, проходящий через !З, композиционные факторы которого с точностью до изоморфизма будут теми же, что и у ряда (3), но, возможно, расположенными в другом порядке: б)~Зр,:>9з-> ...:>Зр~ ... ~К.
(4) Группа Галуа поля Х над полем К вЂ” это группа 9>З>; для нее мы имеем композиционный ряд факторы которого согласно второй теореме об изоморфизме Я 50) изоморфны соответс>вующпм факторам ряда (4), а потому снова циклпчны и простых порядков. Утверждение ! доказано. Для утверждения 2 мы докажем сначала следующую лемму: Л ем м а. Корни д-й степени из единицы (д — простое число) предспшвимы чнеразложимыми радикаламиь (т. е, корнями неразложил>ых уравнений х" — а =-О), если считать, что характеристика поля К равно нулю или больше числа д. Так как утвер>кдение тривиально для случая д= — 2 (корни второй степени из единицы рациональны — это числа -~ 1), мы можем считать, что лемма доказана для всех простых чисел, меньших у.
Поле корней д-й степени из единицы циклично в соответствии с З 60, и его степень является делителем числа д — 1. Если, таким образом, разложить д — 1 на простые множители: о — 1 = р~ ... рь ', то указанное поле можно построить с помощью последовательных циклических расширений степеней р,. Присоединим корни р;й, р;й, ..., р;й степеней из единицы; согласно предполо>кению индукции они представляются неразложимыми радикалами. После этого мы можем применить теорему пз 2 61 к циклическим расширениям степеней р„., утверждающую представимость в радикалах последовательных образующих элементов полей. Участвующие в рассмотрениях уравнения х" — а =0 должны быть неразложимыми, потому что в противном случае числа р, не могли бы быть степенями соответствующих полей.
Теперь мы можем доказать утверждение 2. Пусть Х вЂ” поле разложения многочлена ((х) и Я:> 01,:з ...:з М> = Ж вЂ” композиционный ряд группы Галуа поля Х над полем К. Этому ряду групп соответствует ряд полей: Л> ~ ~ >к> Ху 215 % м1 огшгг. лчвпглше .» степени в котором каждое поле — нормальное циклическое расширение предшествующего. Если д„д„... — относительные степени этих полей, то сначала мы присоединяем к К корни из единицы степени дь затем — степени д» и т, д,, что согласно лемме возможно сделать присоединением неразложимых радикалов. Согласно теореме из 6 61 порождающие элементы полей Л,, Л.„..., Л, можно выразить через радикалы, причем всякий раз очередное уравнение х»» — а = О будет или неразложимым илн полностью разлагающимся Я 61, конец).
В последнем случае присоединение радикала излишне. Тем самым доказано и утверждение 2. То, что утверждение 2 оказывается неверным, когда одна из степеней д» равна характеристике поля р, показывает следующий пример: «общее уравнение второй степени» х'„'-их+о=О (и, о— переменные, присоеднпеннгае к простому полю характерис»ики 2) неразложимо и сепарабельно и остается неразложимым при присоединении всех корней из единицы. Присоединение корня неразложимого двучленцого уравнения нечетной степени не может привести к разложению рассматриваемого уравнения, так как такое присоединение порождает поле нечетной степени, Но и присоединение квадратного корня не дает разложения уравнения, потому что при этом не меняется редуцированная степень поля.
Следовательно, уравнение ни одним способом не решается в радикалах. Применение. Симметрические группы второй, третьей и четвертой степеней (и их подгруппы) разрешимы; этим объясняется возможность получения формул решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней (вывод дается в Э 64). Симметрические группы пятой и более высоких степеней разрешимыми не являются 8 55) и, как мы скоро увидим, для каждой степени существует уравнение, группа которого есть симметрическая группа этой степени. Следовательно, не существует общей формулы решения для уравнений пятой и более высоких степеней.
Лишь частные виды таких уравнений (например, уравнение деления круга) могут быть решены в радикалах. $ 63. Общее уравнение п-й степени Под общил» уравнением а-й степени понимается уравнение а» и ап-»+ и зп-2 1 ( 1)пи О (1) с неопределенными коэффицнентами и„..., и„которые присоединяются к основному полю Н. Если о„..., о„— корни этого уравнения, то и,=о„+ ... +о„, и»=-о»о»+о»о»+ +о» 1о„, и» = о»о» 2!6 ТЕОРИЯ ГАЛУА [Гл У[П Сравним общее уравнение (4) с другим уравнением, корни х„ ..., х„ которого являются неопределенными величинзми и коэф- фициенты которого выражаются просто как элементарные сим- метрические функции этих величин: г» о[г» + о«г»- + ( 1)» а» =(г — х,)(г — х,) ...
(г — х„)=0; (2) а,=х,+ ... +х„, о,=х,х,+х,хь+... +х„,х„, о„=х,х, ... х„. Уравнение (2) сепарабельно и имеет в качестве группы Галуа над К(о„..., о„) симметрическую группу всех подстановок эле- ментов х,, потому что каждая такая подстановка представляет некоторый автоморфизм поля К (х„ ..., х„), оставляющий инва- риантными симметрические функции от о„ ..., о„, а потому и все элементы поля К (о,, , о„). Каждая функция от х„ ..., х„, инвариантная относительно подстановок из группы, принадлежит, следовательно, полю К(о,, ..., о„), т.
е, каждая симметрическая функция от х, может быть рационально Гыражена через и„..., о„. Тем самым мы заноса доказали часзь основной теоремы о сим- метрических функцпях из 2 33 с помощью теории Галуа. Кроме того, мы без труда получаем теперь «теорему един- ственностиь из 5 33, т. е, следу[ощее утверждение: соотношение ~(оп ..., о„)=0 люжет иметь место лиань тогда, когда много- член 1 яелясп[ся тождественным нулем. Действительно, в противном случае 1(оо ..., о»)==((~;хь Ь х,х„..., х,х«х»1=0, и это соотношение оставалось бы выполненным после замены х, на ои Таким образом, мы получили бы [', ~' „ои ~' о~ам ..., о,а« ... о„1 = О, или ((ии ..., и„) =0; следовательно, многозлен 1 оказался бы тождественным нулем.
Из теоремы единственности следует, что сопоставление [ (и„..., и») ) (о„..., о„) является не только гомоморфизмом, но даже и изоморфизмом колец К [и„..., и„) и Н [о„..., о„). Этот изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма полей частных К (и„..., и„) и К(о, ..., о„) н, согласно 2 41, до изоморфизма полей корней К (оь ..., о,) и К (х„..., х,). Символы о; переходят ах, в каком-то порядке; так как х» перестановочны, мы можем переводить каж- дый о; в соответствующий х[.
Итак, доказано следующее; овщвв эелвнвниа л а ствпнни Сущесгпвует изоморфизлг Н(оь ..., х„)=Н(х„, ..., х„), который переводит каждый элемент ог в хо а каждый и; в ог. С помощью этого изоморфизма можно перенести все теоремы об уравнении (2) на уравнение (!). В частности, Общее ураенение (!) сепарабелгно и имеет грутгой Галуа над полем своих коэффициентов Н (и„..., и„) симметрическую группу. Стеггень поля разложения этого многочлена ровни п1. Положим Н(ии ..., и„) =Л, Н(о„..., о„)=Х, и обозначим через Я„сим«гетрическую группу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
