Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ких других подстановок нз (г) не выдерживает. Тогда элемент х(0) принадлежит полю Л, но не принадлежит никакому собственному подполю поля Л; тем самым этот элемент порождает Л. С помощью основной теоремы Теории Галуа получается пол нос описание промежуточных между К н Х полей, когда известна гр)ппа Галуа. Очевидно, число таких полей конечно, по. тому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп. Об отношении включения между различныкги полями также можно судить ио соответствующим группам; точнее, имеет место георема: Еслгг Л,— ггодгголе поля Л, то группа Ом соответствующая полю Л,, содеРжит гРУЯпУ г)г, соответствУюЩУю полю Л,, и наобоРопг. Доказательство.
Пусть сначала Л, =Л,. Тогда каждая подстановка, оставляющая на месте элементы из Лм оставляет на месте и элементы из Л,. ПУсть, далее, йг = йм Тогда каждый элемент полЯ, котоРый выдерживает все подстановки из О„выдерживает н все полста. новки из й,. В заключение выясним следующий вопрос: что происходит с группой Галуа поля К(6) над полем К, когда основное поле К расширяется до некоторого поля Л и соответственно расширение К (6) — до расширения Л(0)? (Конечно, мы предполагаем, чго символ Л(9) имеет смысл, т. е. как Л, так и 0 содержатся в некотором общеги поле Й ) Подстановки 9 О„которые после продолжения становятся аатоморфизмами поля Л (6), дают также изоморфизмы поля К(9); но так как К(6) нормально над К, эти изочорфизмы являются и автоморфиз лами расширения К (6).
Поэтому группа подогнано. вок, получающаяся после расширения основного поля, являегпся подгруппой исходной группы подспгаяовок. То, что эта подгруппа может быть собственной, сразу усматривается в частном случае выбора Л как промежуточного поля между К и К(9).
Но описанная подгруппа может и совпадать с первоначальной; тогда теория ГАлуА (гл уп! говорят, что расширение основного поля не редуцирует группу поля К (6). Задача 1. Пересечение двух подгрупп группы Галуа 6 соответствует объединению полей, соответствующих этим подгруппам, а объединению подгрупп соответствует пересечение полей х). 3 ада ч а 2. Если Х вЂ” циклическое расширение поля К степени и, то для каждого делителя г( числа и существует ровно одно промежуточное расширение Л степени г( и лва таких промежуточных поля содержатся друг в друге тогда н только тогда, ногда степень одного нз них делится на степень другого. 3 а д а ч а 3. С помощью теории Галуа заново определить подпола в 0Р' (р") (( 43). Задач а 4.
Пусть К ы Л и К(О) — нормальное расширение поля К. Показать, что группаполя Н (О) над К тогда и только тогда равна группе поля Л (О) над Л, когда К (О) ЕЛ=К. Задач а 5. С помощью теорем 4 56 доказтть утверждение: поле К(а,), которое получается прнссединением корня некоторого неразложимого алгебраического уравнения, тогда и только тогда обладает подполем Л, удовлетворяющим условию К~А~К(аг), когда группа Галуа этого уравнения как группа подстанавок корнея импримитивна.
В частности, поле Л можно определить так, чтобы степень расширения (Л: К) была равна числу областей импримитивности. 3 а да ч а 6. Показать, что основная теорема верна и для несепарабельных расширений (характеристики р) при следующей модификации. Утверждение 2 принимает вид: совокупность элементов нз Х, выдерживающих подстановки из О, является »полем корней поля Л в поле Х», т. е. совокупность тех элементов поля Х, некоторан рпя степень которых принадлежит Л. Утверждение 3 принимает такой вид: для каждой подгруппы О можно найти ровна одно поле Л, которое инвариантно относительно операции извлечения корней р-в степени и выдерживает подстановки из О и только из 4. Утверждение 4 формулируется для редуцированных степеней.
9 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля Пусть опять Š— группа Галуа поля л над Н и пусть ()— некоторый элемент из Х. Подгруппа й, соответствующая промежуточному полю )((р), состоит из подстановок, которые оставляют элемент )) неподвижным. Остальные подстановки из Е переводят в сопряженные элементы и каждый сопряженный с й элемент можно получить таким способом (9 57). В этой ситуации имеет место следующее предложение: Подстановки группы 9, которые переводят элемент () в некоторый сопряженный с ним элемент, сосгпавляют смежный класс тй подгруппы 9 и каждьгй смежный класс переводит элемент р в одинединственный сопряженный с ним элемент.
г) Объединение двух подгрупп некоторой группы-это подгруппа, порожденная объединением упомянутых подгрупп как множеств, Аналогично определяется объединение палей, т 59! сопгяжвнныя и уппы. поля и элементы поля го1 Из доказанного факта заново следует, что степень элемента )~ (т. е, число сопряженных с ним элементов) равна индексу подгруппы й (т. е.
числу смежных классов). Автоморфигм т, который переводит () в тр, переводит поле К(р) в сопряженное поле К(тр), Оказывается верным следующее утверждение: поле К(тр) соответствует подгруппе т)т '. Действительно, подгруппа, соответствующая полю К (т))), состоит из подстановок о', которые оставляют неподвижным элемент тр; следовательно, для них имеет место равенство а'тр =тр, или т-'а'т() = р, т 1а'т=-а в а, или или а = — тат т. е, это элементы группы тйт-'. Таким образом, сопряженным полям соответствуют сопряженные группы. Согласно ~ 57 поле Л нормально над К тогда и только тогда, когда оно совпадает со всеми сопряженными с ним полями.
Отсюда следует: Поле Л, К == Л ~ Х, нормально тогда и только тогда, когда соотвепютвующая группа й совпадает со всеми сопряэтенными с ней подгрупполт тЧт ' внутри Ф, т. е. лвляется в (М нормальной подгруппой. Если Л вЂ” нормальное поле, то возникает вопрос: какова группа поля Л над полем КУ Каждый автоморфизм из 9 переводит Л в себя и, следовательно, задает некоторый автоморфизм искомой группы поля Л над К. Произведению двух автоморфизмов из Я соответствует прн этом произведение соответствующих автоморфизмов поля Л, г, е.
9 гомоморфно отображается на группу автоморфизмов Д о к а з а т е л ь с т в о, Если р и т — подстановки, которые переводят () в один и тот же элемент: р(р) =т(1) то 'рФ)= лтФ)=В следовательно, т 'р= а — элемент подгруппы й и поэтому р =то; таким образом, р и т лежат в одном и том же смежном классе та. Обратно, если р и т лежат в одном и том же смежном классе— в классе тй, то р= та, где а — элемент подгруппы й, и р (()) =та(р) т(а(р)) =-т(()). 202 теория гллул сгл уссс поли Л. Элементы пз Ф, которые переходят в единичную подстановку поля Л, — это в точности элементы из подгруппы й; отсюда следует, по теореме о гомоморфизме (2 10), что искомая группа изоморфна факторгруппе 9!!.
Следовательно, Группа Галуа поля Л над К изоморфна факспоргруппе Сй). Зада ч а !. Все подполя абелевн поля нормальны и сами являются айелевыми. Все подполя циклического поля цикличны. Задач а 2. Если Н «Л «2 и Л вЂ” наименьшее нормальное иад Н поле, содержащее Л, то группа, соответствующая полю Л, является пересечением группы, соответствующей полю Л, и сопряженных с ней групп. Зада ч а 3. Каноны подпола поля 6 (р, ~г'2), где Я вЂ” поле рациональ— ! — У:з ных чисел рассматриваемое как основное, р= — прииитнвнын ко- 2 рень третьей степени из единицы' Каковы степени полезу Какие подпола являются сопряженными, какие нормальными? 3 ад а ч а 4.
Те же вопросы относительно поля Я (гг2, гг5). 5 60. Поля деления круга Пусть Я вЂ” поле рациональных чисел, т. е. простое попе характеристики нуль. Уравнение, имеющее своими корнямн только примитивные корни Ьй степени из единицы и притом каждый из них однократно: Фа(х) =О, называется (ср. 5 42) уравнением деления круга, а поле корней й-й степени из единицы называется полем деления круга или кругапьсм полем. В 3 42 мы уже видели, чсо корни )нй степени из единицы в поле комплексных чисел делят единичную окружность на й равных дуг.
Покажем теперь, что уравнение (!) неразложимо в поле Я. Пусть ! (х) = 0 — неразложимое уравнение, которому удовлетворяет произвольно выбранный примитивный корень из единицы й. При этом Т(х) можно рассматривать как целочисленный ыногочлен с содержанием 1. Нужно показать, что Т(х) =с!ть(х). Пусть р — простое число, на которое не делится число й. Тогда вместе с Е также и ьг является примитивным корнем й-й степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому целочисленному неразложимому уравнению д(„"") .=О, левая часть которого имеет содержание 1.
Прежде всего покажем, что Т(х) =- = ед(х), где в=:ь. 1 — обратимый элемент в кольце целых чисел. Многочлен х' — 1 вместе с ! (х) имеет корнем элемент а вместе с д(т) — корень ья; следовательно, этот многочлен делится как на )с(х), так и на д(х). Если бы Т" (х) и йс(х) были существенно различными мпогочленами (т. е. отличались бы друг от д!суга не только обратимыч посгоянньсьс множителем), со хл — 1 поля деления кРуГл аоз должен был бы делиться на произведение )(х)д(х): х" — 1 =- ) (х) д (х) й (х), (2) где согласно ч 30 многочлен 6(х) тоже должен быть целочисленным. Далее, многочлен д(хя) имеет с своим корнем, а потому должен делиться на Г(х): д (хя) = 7" 1х) й (х), (3) причем опять-таки Й(х) — целочисленный миогочлен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
