Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Следствие. Если о„..., а„— различные изоморфные отображения поля К' в поле К, то все они линейно независимы. Действительно, можно рассматривать о„..., сг„как характеры мультипликативной группы поля К' в поле К. Особенно важны характеры абелевых групп. П ример !. Пусть Ж вЂ” циклическая группа порядка и, Опишем характеры группы Ц) в поле К. 186 1Гл Уп пРОдОлжение теОРПН ГРупп Гели а — образующий элемент группы Е и Х вЂ” произвольный характер, то положим Х(а) =-~.
(6) Произвольный элемент из 01 является некоторой степенью х = а' (г = О, 1, ..., и — 1). Из (б) следует, что определяет характер о и все характеры Х» являются степенями характера О: Хь =- оь (й = О, 1, ..., и — 1). Следовательно Хь (а') = 11~'. (8) При фиксированном й характер Х, можно рассматривать как функцию от г, а при фиксированном г — как функцию от й. Так получаются все характеры из И'. Следовательно, опять группа характеров %' аэоморфна группе Е. В конце 5 42 было доказано, что +~+ +~ 0 п и к 1 для любого корня п-й степени из единицы ь. Отсюда в силу (8) следует, что (п, г=О, ~', Хь(а') = (О, г~О, (9) Х(х) =Х(а') =Р.
(7) Далее, а" = е; следовательно, Х (а") = к" = 1, а потому корень и-й степени из единицы. Обратно„каждому корню и-й степени из единицы ь в поле К соответствует некоторый характер х, определяемый равенством (7). Согласно задаче 4 из 5 42 корни и-й степени из единицы образуют в поле К циклическую группу, порядок и' которой является делителем числа и. Следовательно, характеры Х образуют циклическую группу порядка и', где п' ~п. Предположим, что К содержит все корни п-й степени из единицы и п не делится на характеристику поля К; тогда и'=и и, следовательно, группа характеров Я' группы Я изоморфна самой группе (ь).
Пусть, скажем, 11 — примитивный корень и-й степени пз единицы в поле К. Тогда равенство а (аг) т1г 187 ГРуппОВые хАРАктееы или, записывая иначе х=е, (11) х~е, К=1, ХВА1. (12) Из (!1) следует, если х заменить на хд, что :Ек( )х Ы=~ "' ! О в остальных случаях. Точно так же из (12) следует: ( и, если 7! =!! ', ( О в остальных случаях. Введем матрицу А с элементами а„= УА (а') (г, й = О, 1, ..., а — 1) и матрицу В с элементами ! 0А, = — У„(а-'); (! 3) (! 4) (15) (16) тогда равенство (13) можно записать в виде АВ =1, а равенство (14) — в виде ВА =1. Оба равенства говорят о том, что  — обратная матрипа для матрицы А.
Функции ) (х), которые отображают группу О) в поле К, определяются п значениями )(е), !(а), )(а'), ..., 1(а"-') ) (х) = ~„ сА7!А (х). (17) Положим 7'(х) =!(а') =д(г); тогда вместо (17) можно записать и (г) = ~~ с„а,А = ~ сА11А'. (18) Решение этой системы уравнений с учетом того, что матрица В— и, следовательно, образуют п-мерное векторное пространство над К. Согласно теореме о независимости а характеров 71,(х) линейно независимы. Следовательно, каждую функцию 7(х) можно выра- зить через хА(х): ~гл уп пРодолжение теОРии ГРупп обратная для А, выглядит так: с = ~~62,а(г) = — „~~Ч-"а(г).
г г (! 9) В частности, возьмем в качестве К поле комплексных чисел и положим 2ж 21 сг ° тогда (18) превратится в конечный ряд Фурье д (г) = ~ ', сге 2=2 (20) где г — ! г 1 ъг — 2гг — г с„= — г е " д(г). (21) Каждый элемент х из Е однозначно представляется в виде г г х=а, а ...а, 2 х(х) =Х(аг)"...2(а,)" =Ч',"'Ч',"г" Ч,'" . В качестве ег можно взять любое из чисел О, 1, ..., и,— 1; следовательно, имеется и = п,...п, характеров. Выберем одно из й, равным 1, а все остальные равными О; в результате получится характер Оь Произвольный характер представляется в виде = ог' о, ...
о~' г,...,г 1 2 Группа характеров Е' является, следовательно, прямым произведением циклических групп порядков и„..., п„т. е. изоморфна группе Е. Вновь оказалось так, что О)' и О) изоморфны, П р и м е р 2. Пусть Š— прямое произведение циклических ГРУПП 32, ..., 3, ПОРЯДКОВ 22„..., и,. БУДЕТ ПРЕДПОЛаГатЬСЯ, Чта наименьшее общее кратное о порядков п„..., и, не делится на характеристику поля К, а само поле К содержит корни с-й степени из единицы.
Определим все характеры группы М в поле К, Пусть а„..., а,— порождающие элементы групп Д„..., Д, и 21, (1=1, ..., Г) — примитивный корень псй степени из единицы. Если у.— произвольный характер группы И, то у(а2) для каждого 1 является корнем л„й степени из единицы н х(а,)=ч",. 189 ПРОСТОТА ЗНАКОПЕРЕМЕИНОЙ ГРУППЫ Э м1 Точно так же, как раньше, доказываются равенства (1!) и (12) и из них выводятся (13) — (19), В равенстве (15) нужно, конечно, вместо а' писать а*'...а'.
1 ''' г »,4, »,», 1 а в (!8) вместо 11»'— Позднее мы докажем основную теорему об абеле- в ы х группах, которая утверждает, что любая абелева группа с конечным множеством порождающих эле»иентов, в частности, любая конечная абелева группа, является прямым произведением циклических групп.
Следовательно, доказанные выше формулы выполняются в любой конечной абелевой группе. Теория характеров может быть перенесена и на бесконечные абелевн группы. Двойственность между Сб и (»у является важным вспомогательным средством в изучении бесконечных абелевых групп. См. По и т р я г и н Л. С. — Апп. о! МаФ. 1934, 35, р. 361, и ван Кампен (уап Кашреп Е.
К.).— Апп. о! Ма!)1., 1935, 36, р. 448. $ 55. Простота знакопеременной группы В 9 51 мы видели, что симметрические группы С» и ю4 разрешил»ы. В противоположность -этолп, все последующие симметрические группы Я„разрешимыми не являются. Правда, в них всегда есть нормальная подгруппа индекса 2 — знакоперемениая группа 21»; однако композиционный ряд каждой из них переходит от Я„сразу к (э, в соо1ветствии со следующей теорел1ой1 Тео р ем а.
Зникопеременная группо Я„(п > 4) проста. Нам понадобится Лемма. Если нормальная подгруппа Я группы 21„(п)2) содержит цикл из трех элементов, то Я =Я„. Доказательство леммы. Пусть Я содержит цикл (1 2 3). Тогда в Я должен содержаться и квадрат этого цикла (2 ! 3) и все трансформированные из этого цикла элементы: о (2 ! 3) о-' (а в=21„). Возьмем о=(1 2) (3 й), где н- 3; тогда а (2 1 3) о 1 = (1 2 й). Таким образом, подгруппа Я содержит все циклы вида (1 2 й). Но такие циклы порождают всю группу '5„5 10, задача 4). Следовательно, Я = Я„.
Док аз ател ьство теоремы. Пусть Я вЂ” произвольная отличная от К нормальная подгруппа в Я„. Мы должны доказать, что Я =$„. шо пРОдолжеиие теОРии ГРупп !ГЛ. УИ Выберелг в % подстановку т, которая, будучи отличной от 1, оставляет неподвижныл1и наибольшее возможное количество чисел из тех, на которые действуют подстановки из данной симметрической группы, Покажем, что т переставляет в точности три числа, а остальные не сдвигает с места. Сначала предположим, что т переставляет в точности 4 элемента.
Тогда т является произведением двух транспозиций, потому что просто нет другого способа построить четную подстановку, которая переставляет в точности 4 элемента. Следовательно, пусть т=(1 2) (3 4). По условию и) 4, поэтому подстановку т можно трансформировать с помощью подстановки а=(3 4 5) и получи1ь т, =ото-'=(1 2) (4 5).
Произведение тт, является тройным циклом (3 4 5) и, следовательно, переставляет меньше чисел, чем т, что противоречит выбору т. Предположим далее, что т переставляет более 4 чисел. Вновь запишем т в виде произведения циклов, причем начнем с наиболее длинного; например, т=(1 2 3 4 ...)..., или, если самый длинный цикл состоит из трех чисел, т = (1 2 3)(4 5 ...)..., или, если в подстановку входят лишь двойные циклы, т = (1 2) (3 4)(5 6)... Трансформируем т с помощью подстановки а=(2 3 4); получим подстановку т =.Ото', 1— которая в каждом из трех названных случаев ил1еет такой вид: т, = (1 3 4 2 ...)..., т, =(1 3 4) (2 5 ...)..., т, =(1 3)(4 2) (5 6)... Во всех этих случаях тг~т, так что т-'т,чь!.
Подстановка т-'т, в первом и третьем случаях оставляет неподвижными все числа й) 4, потому что для них т,й=тй. Во втором же случае т = (1 2 3)(4 5 ...) и т-'т, оставляет неподвижным все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 5; 191 ТРЛНЗИТИВНОСТЬ И ПРИМИТИВНОСТЬ $56. Транзитивность и примитивность Группа подстановок некоторого множества уо1 называется транзитивной над йт1, если некоторый элемент а из 9)1 с помощью подстановок нз этой группы может быть переведен во все элементы х нз з)1.
Если выполнено это условие, то для любых двух элементов х, у существует подстановка из группы, которая переводит х в у, потому что из ра=-х, па =у (пр-') х = у. следует, что Следовательно, в вопросе о транзитпвности безразлично, какой исходный элемент выбираешься в качестве а. Если группа 9 не является транзитивной над М1(интранзитпвная группа), то множество э)1 распадается на области гпранзитивногти, т. е. на такие подмножества, которые группа переводит в себя и на которых она является транзитивной. В основе разбиения на такие подмножества лежит следующее отношение: два элемента а, Ь из М тогда и только тогда включаются в одно подмножество, когда в 9 существует элемент о, переводящий а в Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
