Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Мы можем предположить, что поле Л бесконечно; в противном случае поле Л(а, р) также было бы конечным, а для конечных полей существование примитивного элемента (даже примитивного корня из единицы, степенями которого являются все ненулевые элементы поля) уже было доказано в 0 43. Для й~! имеет место неравенство р»Ф р„поэтому уравнение а, + хг3» = и, + х() г при каждом г и каждом )г~! имеет самое болыпее один корень х в Л.
Выберем элемент с отличным от всех корней этих линейных уравнений; тогда для всех г и 6~=1 аг+ср» =~ и, +срм Положим 6 =а,+срг =а+ср. Тогда 6 является элементом поля Л (а, р). Докажем, что 6 обла- дает свойством искомого примитивного элемента: Л(и, р) =Л(8), Элемент р удовлетворяет уравнениям д(б) =О, г' (6 — с()) = 1 (и) = О, коэффициенты которых лежат в Л (8). Многочлены д(х), Г (8 — сх) имеют общим лишь корень р, потому что для остальных корней ()» (гг~!) первого уравнения имеем 0 — ср»~иг (г =1, ..., г) и, следовательно, )(6 — й,) ~О.
Элемент () является простым корнем многочлена п(х); следова- тельно, д(х) и г (Π— сх) имеют общим лишь один линейный лгножитель х — й. Коэффицггенты этого наибольшего обгцего де- лителя должны лежать в Л(0); следовательно, )) лежит в Л(0), ») Является лв и, в гем самым все поле сепврабельвым, несущественно, ногмы и следы $4н Из равенства а=9 — ср то же самое следует для а, так что, действителыю, Л(а, р) =Л(8).
Тем самым наша теорема доказана для а=2. Если считать ее доказанной для и — 1, то Л(а» ", аи-) =Л(Ч) и, следовательно, Л(а» ..., аи) =Л(тн аи) =Л(8) в соответствии с уже доказанной частью теоремы; тем самым теорема получается и для и. С л е де т в и е. Каждое конечное сепарабельное расширение является простым. Эта теорема существенно упрощает изучение конечных сепарабельных расширений, потому что строение и изоморфизмы этих расширений очень легко описываются через представление базисов л — 1 аиби. о Например, мы имеем теперь новое доказательство утверждения из 4 44 (петит), доказанного там посредством последовательного продолжения изоморфизмов: конечное сепарабельное расширение Х поля Л имеепи спюлько же изоморфизмов над Л, какова степень (Х: Л). Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в ~ 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым.
$47. Нормы и следы Пусть Х вЂ” конечное расширение поля Л или, более общо, некоторое кольцо, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над Л. Тогда элементы кольца Х могут быть выражены через и базисных элементов и» ..., и„с коэффициентами из Л: и = и,с, +... + и„с„. Для произвольных й и, о из Е имеют место соотношения: 1(и+о) =(и+~о, ( (ис) = ((и) с (с е- =Л). Таким образом, умножение слева на ( является линейным преобразованием пространства Х в себя. Матрица Т этого линейного преобразования в базисе и» ..., и„определяется условиями йии = ~ иАи (1) 168 ТЕОРИЯ ПОЛЕН 1гл.
ш Определитель |)(Т) этой матрицы, который согласно ~ 25 не зависит от выбора базиса, называется регулярной нормой нли просто нормой элемента 1 в расширении Х поля Л: У (1) = 0 (Т) = ОЕ1;:Д~). (2) В силу (1) норму можно определить как определитель векторов 1ил относительно базиса и„..., и„: У(1) =0(1и„..., ги„). (3) След 3(Т) матрицы Т согласно й 25 тоже не зависит от выбора базиса; этот элемент основного поля называется регуллрныи следом или просто следом элемента 1 расширения г, над полем Л: Я(1)=Я(Т)= У,'1„,.
(4) Если элементу 1 соответствует матрица Т, а элементу 1'— матрица Т', то произведению 1У соответс1вует матрица ТТ', а сумме 1+1' — сумма Т+ Т'. Следовательно„ У(11') = Ж (1) 1У (У), (5) О (1 + у) = — о (1) + 8 (у). (6) Начиная с этого места, мы будем прсдполагать, что Х является некоторым телом, в центре которого содержится поле Л, т. е. всегда си=ис для сенЛ, иен Х.
Каждый элемент 1 из г. содержится в некотором коммутативном теле Л(1) и сущес1вует минимальный многочлен ~Р (г) = г"'+а,г"-'+... +а со свойством ~р(1) =-О. Строение простого расширения Л(1) полностью определяется минимальным многочленом и, следовательно, норму и след элемента 1 в расширении Л (1) можно вычислить через коэффициенты минимального многочлена. В качестве базиса и„ ..., и„ расширения Л (1) выберем набор 1 1 1г 1~~~- г (7) Если базисные векторы умножить на 1, то получится набор: Гг гз гль (8) Теперь, в соответствии с (1), выразим векторы (8) через базисные векторы (7), тогда: 12 рл-1 гт — г г" = — а 1 — а Д вЂ” а г1г —...— а,1 ''.
!бз $4У! ногмы и слгды Сумма диагональных элементов матрицы преобразования равна — а,; следовательно, след элемента ! в расширении Л(1) равен а(1) = — а,. (9) Норма элемента 1 в расширении Л(1) является определителем векторов (8); 44) (! 42 144) Изменим этот определитель в соответствии с правилами действий над определителями. Прежде всего переставим векторы: п(1)=( — 1) -1!1(Р", 1, 12, ...,1 '). (1О) После этого выразим 1'" через 1, 1, ...,г" '.
1" = — а 1 — а,! — а 2Р— ... — а,!"-'. (1 1) Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, поэтому из всех слагаемых в правой части (11) мы должны принять во внимание лишь первое. Тогда получится равенство: п(1) =( — !) -10( — а„, 1, 12, ..., !"-1) = — ( 1)44а Д (1 ! 12 и2 — 1) илн, так как определитель из базисных векторов равен единице, п (1) =( — 1)'"а . (12) След и норма элемента ! в поле Л(1) являются, таким образом, с точностью до знака вторым и последним коэффициентами в минимальном многочлене 1р(г).
В некотором подходящим образом выбранном расширении поля Л (1) минимальный многочлен 41(г) разлагается на линейные множители: Ч(а) =(г — 11) ". (а — 1) (11=1) (13) Тогда и (1) ( 1) а 1112 ' К а(1) = — а, =11+12+ ... +1 . (14) (15) Следовательно, норма и след элемента 1 в расширении Л(1) над Л оказываются равными произведению и сумме элементов 1,, ..., 1, сопряженных с 1 в поле разложения многочлена 4р(г), причем каждый сопряженный элемент й берется столько раз, сколько раз соответствующий множитель с 1; входит в разложение (13).
Если элемент 1 сепарабелен над~ Л, то каждый сопряженный элемент берется один раз. Тем же самым методом, но только с несколько большими вычислениями, мы можем получить норму Л'(1) и след Я(1) элемента 1 в расширении Х. Если вновь и — степень расширения Л(1) над 170 1гл, ш ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ д и д — степень расширения Х над Л(г), то п =та — степень расширения Х над Л, Базис расширения Л(1) поля Л составляют степени (6).
Пусть о„..., ое — некоторый базис расширения Х поля Л (1), Тогда произведения 1ог ~от ~ ох 1ое1 1ое 1 ое составляют некоторый базис поля Х над полем Л. Если умножить базисные элементы слева на 1 и выразить произведения вновь через этот базис, то сумма диагональных элементов окажется равной 5 (1) = ( — а,)+ ... +( — а,) = у ( — ат), или (16) Определитель базисных элементов, умноженных на 1, равен ЛГ (г) г7 (го )эо ььо ° го Рло )— ( 1)е(м-г) Р Рто (о (эо ° ° )ыо го ггь-хо ) Вновь выразим )м через 1, 1, ..., 1"-' и воспользуемся теоремами об определителях; тогда получим У (1) = ( — ))е"аа = (( — 1) а )е или Лг (1) = и (1)е.
(17) Следовательно, Норма и расширении Х является р-й степенью нормы в рас- ширении Л (гу, а след является р-кратнгям следа в Л (1). В силу (14) и (15) этп выводы можно записать и так: М (1) = (1т)х " 1 )', ~(1)=к(1 +1э+ " +)м). Задача 1. Норма комплексного числа а+И равна Ф (а+Ье) =а'+Ь', а след равен 3 (а+ Ьг) = 2а. 3 ад а ~ а 2.
Вычислить норму элемента а+Ь)г В в квадратичном расширений Л(УЛ) 3 а д а ч а 3. Норма матрицы 1о Ь1 в кольце всех двухстрочных матриц над основным полем д является квадратом определителя: Ь1 (А) = (агХ вЂ” Ьс)ь. Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП Содержа н ие. В И 48, 49 обсуждается некоторое обобщение понятия группы. И 59 — 52 содержат важные общие теоремы о нормальных подгруппах и «композиционных рядах», а Я 53, 54 — специальные теоремы о группах под.
становок, которые в дальнейшем потребуются лишь при изложении теории Галуа. й 48. Группы с операторами В этом параграфе будет расширено понятие группы, благодаря чему все рассмотрения получат ббльшую общность, нужную для дальнейших приложений (главы 17 — 19). Читатель, интересующийся лишь теорией Галуа, может спокойно пропустить ближайшие два параграфа; под группами (например, конечными группами) он может в дальнейшем подразумевать группы в прежнем смысле.
Пусть даны; во-не р вы х, некоторая группа (в обычном смысле) 1»д с элементами а, Ь, ...; в о-в т о р ы х, некоторое множество П новых объектов »1, 9, ..., которые мы называем оператора.ии. Пусть каждому 9 и каждому а соответствует некоторое «произведение» Оа («значение оператора 9, примененного к эле»1енту а»); предполагается, что это произведение вновь принадлежит группе Я. Далее предполагается, чго каждый оператор 0 «дистрибутивен», т. е. О (аЬ) =- Оа ОЬ.
(1) Иначе говоря; «умножение» на оператор О должно быть эндоморфизмолю группы Я"). Если выполнены все эти условия, то ($ называется группой с опеоаторами, а П вЂ” областью операторов. Допустимая подгруппа группы Г») (относительно области операторов Й) — это такая подгруппа 44, которая в свою очередь допускает П в качестве области операторов, т. е.
если а принадлежит йт, то каждый элемент Оа также должен лежать в лх Если допустимая подгруппа является нормальной, то говорят о допустил«ой нсрл«альной подгруппе. Примеры. 1. Пусть операторами служат внутренние автоморфизмы группы Ф Оа =. сас-'. ') Отсюда следует, что при «умножения» на й единичный элемент переходит а единичный, а обратный — в обратный. !72 пьодолжвнив твогии ггэпп 1гл. чп Допустимыми являются те подгруппы, которые вместе с каждым своим элементом а содержат также и все элементы сас-', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
