Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Получающееся таким способом поле разложения Е называется полем деления круга или полем корней й-й сп1епени из единицы над простым полем П. Многочлеи г(х) распадается в этом случае на различные линейные множители; действительно, производная Г(х) =йхл1 обращается в нуль лишь при х=О, так как й не делится на характеристику поля; следовательно, !'(х) не имеет общих корней с г(х). Поэтому в В содержится ровно й корней й-й степени из единицы. Разложим теперь число й в произведение степеней простых чисел: й = Ц ц'.1 = Ц г; (г1 = ц",1) 1==1 В группе корней й-й степени из единицы существует не более ййй элементов а, для которых а ' ' =1, потому что многочлен а,д х""1 — 1 имеет самое большее й!д1 корней. Следовательно, в группе есть элемент аь для которого а,лл1 Ф! Элемент й1 =а.

лн 1 имеет порядок го (Так как ггя степень этого элемента равна 1, его порядок является делителем числа г;; но его (г1)ц1)-я степень озлична от 1 и поэтому его порядок является несобственным делителем числа г,.) П)оизведение т ~= Цйь 1 !53 ч 421 копни из единицы будучи произведением элементов взаимно простых порядков г„ ..., г, имеет порядок и г4 =Ь. 4 Корень из единицы, порядок которого равен в точности Ь, мы называем примитивным корнем Ь-й степени из единицы. Степени 1, Ь, Ьа, ..., Ьа-2 примитивного корня из единицы различны; так как вся группа имеет лишь Ь элементов, все ее элементы являются степенями элемента ь. Итак: Группа корней Ь-й сте4гени из единицы циклична и погтождается любым примитивным корнем из единицы ь.

Число примитивных корней Ь-й степени из единицы теперь легко определить. Для начала обозначим его через ф(Ь). Число ф(Ь) равно числу элел4ентов порядка Ь в циклическои группе порядка Ь'). Во-первых, если Ь вЂ” степень простого числа, Ь=дч, то ут степеней элемента ь, за исключением дч ' степеней элемента ьв, являются элементами Ь-го порядка; следовательно, ф(у)=у у- =у - (у-1)=у (1--'). (1) Далее, если Ь разлагается в произведение двух взаямно простых множителей, Ь=гэ, то каждый элемент Ь-го порядка однозначно представим в виде произведения некоторого элемента г-го порядка и некоторого элемента э-го порядка (Ь! 7, задача 2); обратно, каждое такое произведение является элементом Ь-го порядка. Элементы г-го порядка принадлежат циклической группе г-го порядка, порожденной элементом ь41 число этих элементов равно, следовательно, ф(г).

Точно так же число элементов з-го порядка равно ф (э); следовательно, для числа произведений имеет место равенство ф (Ь) = ф ( ) ф (э) Если Ь = Ц г,— разложение числа Ь на взаимно простые мно- 4 жители, то последовательным применением этого рассуждения из полученной формулы выводим равенство: гр(Ь) =гр(г,) гр(гз)...гр(г ), т, е.

в соответствии с (1) ф(Ь) — у 4 (у — !)д 2 (д 1) д л4 (у — 1)— ') Согласно задаче 3 из 3 17 число ф ()4) равно количеству натуральных чисел, взаимно простых с А и не превосходящих й. Функцию ф (6) называют вйлеровой фчфункцнвй. 154 !гл. щ ТЕОРИЯ ПОЛЕЛ Мы получили: Число примитивных корней й-й степет« из единицы равно Положим д=тр()т). Примитивные корни й-й степени из единицы обозначим через с„..., ~г. Они являются корнями много- члена (х — ьт) (х — 1.,)... (х — с ) = Ф„(х).

Имеем ха — 1 = И Фл (х), (2) где й пробегает положительные делители числа й'). Действительно, каждый корень )т-й степени из единицы является примитивным корнем й-й степени из единицы для Одного и только для одного положительного делителя й числа й, так что каждый линейный множитель многочлена х" — 1 входит в один и только в один из многочленов Ф„(х). Формула (2) определяет многочлен Фл(х) одозпачно, потому что из нее прежде всего следует, что Ф,(х) =-х — 1, и если Ф„известен для всех положительных с(~й, то Фа определяется с помощью деления из (2).

Поскольку такие деления осуществляются с помощью алгоритма деления в кольце целочисленных многочленов одной переменной х, имеет место следующее утверждение: Каждый многочлен Фа(х) является цело'шсленным многсчленсм и не зависит от характеристики поля П (если пчально й не делится на вазу характеристику). Многочлены Фа(х) называются много««ленами деления круга. Примеры. Для каждого простого числа д хч — 1 =(х — 1) (х' '+хч '+ ... +х+1) и, следовательно, Фч(х) =хч '+хч '+...

+х+1 Более общо„ Ф он (х) = хч« — П«+ хы в~ч +... + хч + 1. Точно так же х' — 1 = — (х — 1) (хв+х+1) (х+1) (х' — х+1), ') Символ о ( Ь означает, что о являстсв делителем числа Ь (чвтается «а делит Ьз). 1йй ПОЛЯ ГАЛУА 4 зз1 н, следовательно, Фа (Х) = Х вЂ” Х+ 1. Многочлен Ф„(х) может оказаться разложимым, например, в произвольном поле характеристшси 3 имеет место разложение: Ф,(х) =ха+! =(х' — х — !) (х'+х — 1).

Позднее, однако, мы видим (й 58), что в простом иоле характеристики нуль многочлен ФА (х) неразложим, в силу чего все примитивные корни й-й степени из единицы сопряжены. В 3 31 на основе теоремы Эйзенштейна мы выяснили, что такая ситуация складывается всякий раз, когда й — простое число; для Фа =ха+1 и Фм =х' — х'+1 зто утверждение составляло содержание задачи 3 из 3 31 и задачи 5 из 3 30. Часто оказывается полезной следующая теорема: Если й — корень и-й сгпепени из единица, тс Доказательство получается немедленно из формулы суммы геометрической прогрессии: для Ь Ф 1 имеем ( =О.

! — ~ Зада ч а 1. Поле корней Л-й степени из единицы для нечетного Ь совпа. дает с полем корней 26-й степени нз единицы. Задача 2. Поле корней третьей и четвертой степени из единицы над полем рациональных чисел квадратично. Выразить эти корни нз единицы через квадратные корпи. 3 а д а ч а 3. Поле корней восьмой степени из единицы квадратнчно над полем гауссовых чисел 6 (!). Выразить примитивный корень восьмой степени из единицы с памоньью квадратного корня из какого-либо элемента из й((1).

Зада ч а 4. Корни а.й степени нз единицы в произвольном поле К образуют циклическую группу, порядок которой делит и. й 43. Поля Галуа (конечные коммутативиые тела) Среди простых полей характеристики р мы уже встречали поля из конечного числа элементов. Конечные поля называются гтолями Галуа по имени их первого исследователя Энарнста Галуа. Прежде всего, мы установим несколько общих свойств.

Пусть Л вЂ” поле Галуа и д — число его элементов. Характеристика поля Л не может быть равна нулю, потому что иначе в Л содержалось бы простое поле П характеристики нуль, состоящее из бесконечного числа элементов. Пусть р— характеристика данного конечного поля. Простое поле П изоморфно тогда кольцу классов вычетов кольца целых чисел по модулю р и поэтому содержит р элементов, ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ !Гл. ч! Так как в Л вообще есть лишь конечное число элементов, в этом поле существует наибольшая система из линейно независимых над П элементов а„..., а„.

Тогда и — степень расширения (Л: П) н каждый элемент из Л приобретает вид с„а, + ... +с„а„, где коэффициенты с! из поля П однозначно определены. Для каждого коэффициента с! есть р возможных значений; следовательно, имеется в точности р" выражений вида (1).

Так как эти выражения и дают элементы поля, о котором идет речь, мы получаем равенство ч=р" Итак, доказано: число элементов конечного поля является степенью характеристики р; показатель этой степени равен степени расишрения (Л: П). Любое тело после отбрасывания нуля превращается в некоторую мультипликативную группу. В случае поля Галуа эта группа абелева и имеет порядок д — 1. Но порядок произвольного элемента а тогда должен быть делителем числа д — 1; следовательно, ач '=1 для каждого а~О. В этом случае уравнение ач — а=О имеет корпел! и а=О. Следовательно, все элементы поля являются корнями многочлена х' — х.

Если а„ ..., ае — элементы поля, то хе — х делится на П (х — а!). ! В силу равенства степеней получается, что хч — х = П (х — а!). ! Следовательно, Л состоит из всех корней одного-единственного многочлена хч — х, которые присоединяю!ся к полю П. Эгик!и условиями поле Л определяется однозначно с точностью до изоморфизма (5 40).

Следовательно, При заданных числах р и и все поля из р" элементов изоморфны. Мы покажем теперь, что для каждого п)0 и для каждого р действительно существует поле из д=р" элементов. Будем исходить из простого поля П характеристики р и построим над П поле, в котором многочлен х" — х полностью разлагается на линейные множители, В этом поле рассмотрим мня. 157 ПОЛЯ ГАЛУА 5 м1 жество корней многочлена хч — х. Последнее является полем, 1ютому что из хе" =х и ул" = у согласно задаче 1 из $ 41 следует, что (х — у)ь" =- хе" — уь, а в случае у ~= 0 так что разность и отношение двух корней рассматриваемого многочлена вновь являются его корнями.

Многочлен хч — х имеет только простые корни, потому что его производная, ввиду сравнения у=в 0(р), равна Чхд-1 — 1 = — 1, а — 1 не есть нуль. Множество корней является, следовательно„ множеством элементов поля из д элементов. Мы доказали: Для каждой тпепени простого числа о=р" (и О) существует одно и с точностью до изол1орфизма только одно поле Галуа из д элементов. Эти элементь1 являются корчями многочлена хч — х. Поле Галуа вз р" элементов в последующем будет обозначаться через бр(р"), Положим д — 1 =й и заметим, что все отличные от нуля элементы поля Галуа являются корнями многочлена х" — 1, т, е.

корнями й-й степени из единицы. Так как и и р взаимно просты, для этих корней из единицы имеет место все сказанное в предыдущем параграфе: Все отличные оп1 нуля элементь1 поля являются степенялш некоп1орого примитивного корня й-й степени из единицьь Или: мультипликативная группа поля Галуа циклична. Если с — примитивный корень 6-й степени из единицы в Л =- =- ВГ(р"), то все ненулевые элементы из Л являются с~сиенами элемента ~. Отсюда следует, что Л=П(ч) и Л является простым расширением поля П. Степень элемента ~ над П равна, конечно, степени расширения и.

Этой теоремой строение конечных полей описывается полностью. В дальнейшем нам понадобится следующая теорема: Поле Галуа характеристики р содержит вместе с каждым своим элементом а ровно один корень р-й степени из а. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого элемента х в поле существует его р-я степень хе. Различные элементы имеют различные р-е степени, так как хе — уе = (х — у)е. )58 (гл.

Характеристики

Список файлов книги