Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Лт!н любых двух многочленов второй степени снраиедлино равенство 4(Х =- (2арЬа -- о,Ь, + 2паЬ,)з — (4а„аа — н,')(4ЬеЬа — Ь') $ 35. Результант как симметрическая функция корней Предположим теперь, что оба многочлена ((х) и д(х) полностью разлагаются на линейные множители: ((х) = а, (х — х,) (х — хв)... (х — х„), д (х) =- Ь, (х — у,) (х — у,)... (х — у„). Тогда коэффициенты а„многочлена ) (х) являются произведениями аа и элементарных сймыетрических функций корней х„..., х„; равным образом, коэффициенты Ь, являются произведениями Ь, и элементарных симметрических функций корней у,, Результант К является однородным степени гп по а„и однородным степени и по Ь;, следовательно, резулщант )с равен произведению а„Ь," на некоторую симметрическую функцию от х! и у,.
Пусть корни х, и уь рассматриваются сначала как переменные. Многочлен )х обращается в нуль при х, =у„так как в этом случае многочлены ('(х) и д(х) имеют общий линейный множитель. Г!оэтому )х' дели~ся на х,— уа (9 28). Так как линейные формы х; — у„попарно взаимно просты, результант )с делится на произведение 5 = а,'"Ь," Ц Ц (х! — уа). а Это произведение можно преобразовать двумя способами. Первый получается из равенства д(х) =Ь„Ц(х — у,) подстановкой х = х, и составлением произведения Цу(х!) =Ь;ЦЦ(х! — у.); ') См.
задачу 9 в й 25.— Прим, ред. а) длв форм Г и 6 соответствующее тождество таково: и( ф Вб — х',е'и — 'а РЕЗУЛЬТАНТ КАК СИММЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КОРНЕЙ !29 таким образом, 5 = а", Ц йг (х,). с Второй способ получается нз равенства г' (х) =- а„Ц (х — х,) = ( — 1)"а, Ц (х, — х) (2) и точно так же приводит к 5=( — 1) Ь;Ц)(д,), (3, Таким образом, для )с получены три представления (!), (2) и (3), В силу теоремы единственности из 9 33 равенство (2) выполняется тождественно по Ь„а (3) тождественно по а„, т. е. (2) имеет место и тогда, когда д(х) не разлагается на линеиные множители, а (3) справедливо и тогда, когда на линейные множители не разлагается ((х).
Отсюда легко следует и неразложимость результанта как многочлена от а„, ..., Ь, причем неразложимость не только в смысле целочисленных многочлепов, а неразложимость абсолютная, т. е. неразложимость в кольце многочлеиов над любым полем. Действительно, если бы тс' разлагался на два множителя А, В, то А н В можно было бы вновь рассматривать как симметрические функции корней '). Так как )с делится на х, — у„то А или  — пусть А — делится на эту же разность. Но как симметрическая функция, многочлен А должен (если он делится на х, — р,) делиться н на все остальные хг — уь, а потому и на произведение Ц Ц (хг -у,). е Так как )Э амЬиЦЦ(х р) ') В ятом месте неявно используется теореме о суШествовании нория про.
извольного многочленя в нядлежяшем расширении поля нозффичиентов, о иоторой речь впереди (Е 39).— Прим ред. Из (2) усматривается, что 5 является целым и однородным степени п по переменным Ь, а из (3) видно, что 5 является целым и однородным с~сцепи т по переменным а. Результант В имеет, однако, те же степени по тем же переменным и делится на 5; следона1ельно, )с и 5 совпадают с точностью до некоторого целочисленного множителя. Сравнение слагаемых, которые содержат наивысшую степень элемента Ь, дает слагаемое +ад Ь' как в В, так и в 5; поэтому целочисленный множитель равен 1 и К=5. 13О ЦЕЛЫЕ РАЦГ<ОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (гл и для другого множителя В остается лишь одна возможность: В = =ааЬчч.
Но В как мпогочлен от а и Ь делится либо на а„либо на Ь;1 поэтому для В осгается возможным лишь равенсгво В =1. Тем самым перазложнмость многочлена )<' доказана. Другое доказательство дается а книге М а к о л е й (Масан1ау Р 3 ). Л!йеьгагс 1йсогу о1 щобп(аг ауз1епв — СагпЬ<н(е, 1916, 4 3.
Существует интересная связь между результантом двух много- членов и дискриминантом многочлена. Именно, построим результант Й(1, 1') для данного многочлена ) (х) = а„х" + а„х" '+... + а„== а„(х — х,) (х — х„)... (х — хл) и его производной )'(х); тогда согласно (2) Й ((, 1') = а," — ' П )' (х,). (4) По формуле производной произведения имеем )'(х) = ,У,' а, (х — х,)...(х — х,,) (х — х„ч).. (х — х„), 1' (х,) =- а, (х, — х,) ...(х, — х, ,) (х, — х...) ... (х, — х„). Подставим это в (4); тогда получится равенство )с ((, (') = а'„" — ' И (х, — х ), или, если через О обозначить днскрнминант многочлена у(х), )< ((, (') = :г а,0 .
(5) Если записать )г (1, 1') как определитель из 3 34, то из первого столбца можно будет вынести множитель а,; тем самым 0 становится многочленом от а„..., а„. Равенство (5) выполняется, конечно, тождественно по а„, ..., а„и не зависит от того, разлагается ли ((х) на линейные множители или нет 3 а д а ч а 1. Результаит многочлсиов 1 и и является ичобарическим веса глп по коэффициентам а и Ь (й 33) Задач а 2.
Если рг,, у„г являются корнями производной Д(х), то Зада ч а 3. Дискриминант Р обращается в нуль тогда и только тогда, когда 1(х) и Д (х) имеют общий множитель. Если такой множитель существует, то в р,<злом<енин многочлеиа / (х) на простые множители существуег либо кратный множитель, либо множитель с тождественно равной нулю производной. )з( РАзложениГ нА пРОст«5ипзие дРОБи б Зб! $36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби Разложение рациональных функций на простейшие дроби опирается на следующую теорему о целых рациональных функциях: Если д (х) и й (х) — два взаимно простьчх многочлена над полем К, если а — степень лбногочлена д(х), Ь вЂ” степень многочлена й (х) и если 1(х) — произвольный многочлен, степень которого меньибе а+Ь„ то имеет место тождество (' (х) =- «(х) д (х) + 5 (х) й (х), (1) в котором «(х) имеет степень, меньшую Ь, а 5(х) имеет степень, меньшую а.
Доказательство. По условию, наибольший общий делитель многочленов д(х) и й(х) равен 1; поэтому справедливо тождество 1 =с (х) д(х)+д (х) й (х). Если это умножить на ((х), то получится ("(х) =('(х) с(х)д(х)+((х) б((х) й(х). (2) Чтобы сделать степень ((х)с(х) меньшей Ь, разделим этот многочлен на й(х): ( (х) с(х) =- д(х) й (х)+ «(х), (3) где степень многочлена «(х) меньше степени многочлена й(х) и, следовательно, меньше Ь. Подставим (3) в (2): ( (х) = «(х) д (х) -'; (( (х) б( (х) + д (х) д (х) ) й (х) = «(х) д (х) + з (х) й (х). При этом степень левой части и первого слагаеьюго справа меныпе а + Ь; следовательно, и последнее слагаемое справа имеет степень, меньшую а + Ь, так что степень миогочлена 5(х) меньше а.
Тем самым сформулированная выше теорема доказана. Разделим тождество (1) на д(х) й (х); тогда получи~ся разложение дроби , на две дроби: ) (Х) / (Х) Г (Х) 5 (Х) Р (Х) А (Х) й (Х) Р (Х) ' В левой части, по условию, степень числителя меньше степени знаменателя. В каждой из дробей справа имеет место то же самое. Если в одной из этих дробей вновь можно разложить знаменатель в произведение двух взаимно простых многочленов, то эту дробь можно будет в свою очередь разложить в сумму двух других дробей.
Так можно продолжать до тех пор, пока знаменатели не превратятся в степени простых многочленов. Это доказывает теорему о разложении рациональных функций на простейшие дроби: 132 [гл у ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ Каждая дробь 1(х)(я (х), знаменатель которой имеет степень, болыиую степени числителя, является суммой простейших дробей, знаменатели которых являются степенями простых многочленов, на которые разлагается знаменатель й(х).
Получаемые таким способом дроби г(х)(д(х) со знамена~елями а(х) = р(х)' можно разлагать дальше, Действнэельпо, если многочлен р(х) имеет степень 1, то д(х) имеет степень Й и числитель г(х), степень которого меньше 11, можно сначала разделить на р (х)'-', получив некоторый остаток степени, меньшей 1 (1 — 1); затем этот остаток поделить на р(х)' ', получив остаток степени, меньшей 1(1 — 2), и т.
дл г (х) = з, (х) р (х)'-'+ г, (х), Г1 (Х) = Зх (Х) Р (Х) + Гх (Х), г,,(х) =з,,(х) р(х)+г,,(х), г,, (х) =-з,(х). При этом частные з„..., з„имеют степень, меньшую 1. Из всех этих равенств в совокупности следует, что г(х) =з,(х) р(х)'-'+з,(х) р(х)'-'+...+з,,(х) р(х)+з,(х), г (х] хч (х) х,(х) + г,, (х) х,(х) р (х)' р (х) р (х)~ р (х)~ 1 р (х)~ Так получается вторая формулировка теоремы о разложении в сумму элементарных дробей. Пусть 1'(х))к (х) — дробь, числитель которой имеет степень, меньшую степени знаменателя, и знаменатель которой разлагается на простые множители следующим образом: й(х) = р,(х) 'р,(х) ...р„(х) А; тогда )*(х)/й(х) является суммой простейших дробей, знаменатели которых представляют собой степени р,(х)"'(р, 1,), а числители которых имеют степень, меныиую степени входящего в знаменатель неразложимого многочлена р, (х).
Если, в частности, все простые множители рч (х) линейны, то все числители являются константами. В этом важном частном случае разложение в сумму простейших дробей осушествляется очень простым способом: нужно всякий раз отделять дробь с наибольшей возможной степенью знаменателя, и степень знаменателя тем самым будет понижаться.
Действительно, запишем знаменатель в виде я(х) =(х — а)'д(х), где д(х) не делится на х — а; тогда 1(х) 1 (х) Ь 1 (х) — Ья (х) (5) А (х) (х — а)' Е (х) (х — Щ' (х — а)' Е (х) РАзлОжение нА пРОстенн!Не дРОБи ~зз где константу Ь всегда можно определить так, чтобы числитель второй дроби обращался в нуль при х=а и, следовательно, делился на х — а: ~(а) — Ьд(а) =О, ! (х) — Ьд(х) =(х — а)),(х). Вторую дробь в (5) можно теперь сократить на х — а и, продолжая тем же способом, прийти к полному разложению на простейшие дроби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
