Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Получить формулы для сумм ~З ~ю ~З ~т', я=о $ ЗО. Разложение на множители В З 18 мы уже видели, что в кольце многочленов К 1'х) над полел! К выполи яется теорема об однозначном разложении на простые множители. Сейчас мы докажем более общую основную теорему: Если Я вЂ” целостное кольцо с единицей и в Я илгеет места теорема об однозначном разложении на простые множители, та и в кольие лтогочленов Я (х) эта теорема оказывается выполненной. Приводимое здесь доказательство восходит к Гауссу. ') См., например, Ковалевский (Котти!еггв(г! 6.). 1п!егро1ицоп ппг) яепакег!е Опег(ги1пг.

— 1е!рт(ГЧЬ 1930. ))4 ЦГЛЫГ РЛЦПОПчяюи ГЕ ФУНКЦИИ )гл Пусть 1(х) =- ~",а;х' — произвольный ненулевой многочлеп из 0 С [х1. Наибольпшй общий делитель д коэффициентов а„..., а„ в кольце 4: (ср. 5 18, задача 7) назовем содержанием многочлена [(х). Если вынести д за скобки, то получится равенство ) (х) =. дд (х), в котором и(х) является многочленом с содержанием 1. Много- член и(х) и скаляр й определены однозначно с точностью до обратимых множителей.

Лемма 1. Произведение двух миогочлгнов с содсрясиниел~ 1 вновь являгщся многочленом с содгрхсанием 1. Дока за тельство. Пусть 1(х) =-алла,х+ ., и(х) =Ь„+Ь,х+... — данные многочлены с содержанием 1. Допустим, что наибольший общий делитель коэффициентов многочлена )'(х)и(х) равен д и необратим. Если р — произвольный простой делитель элемента д, то р должен быть делителем всех коэффициентов произведения [(х)8(х). Пусть а„— первый из коэффициентов многочлеиа )(х), который не делится на р, и Ь,,— коэффициент мпогочлена и(х) с аналогичным свойством. Коэффициент при хоы в произведении [(х)д(х) выглядит так: а,Ь,+а„,Ь,,+а„,Ь,,+...-)-а, Ь„,,+а,,Ь,,+... Эта сумма должна делиться па р.

Все ее слагаемые, за исключением первого, должны делиться на р. Следователыю, а,Ь, также должно делиться на р, так что а, или Ь, должно делиться на р, что противоречит предположению. Пусть л' — поле частных кольца Я (з ! 3). Тогда каждый многочлен кольца Х [х) разлагается на простые множители однозначно 8 18). Чтобы перейти от разложения в Х)х] к разложению в Я [х), воспользуемся следующей процедурой: каждый много- член ср(х) кольца Х [х) хюжно представить в виде — „(где г" (х) Г (к) принадлежит кольцу сл[х), а Ь вЂ” кольцу С), причем Ь является произведением знаменателей коэффициентов многочнена ~р (х). Многочлен же Г(х) можно записать в виде произведения его "одержания на многочлен с содержанием 1) р(х) =аг'(х) РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ Ь(ы утверждаем зеперь следующее; Лемма 2.

Укаэанный в равенстве (1) многочлен !" (х) с содержанием ! определяепгся многочленом ~»(х) однозначно с точностью до обратимых в Я элементов. Обратно, многочлен с»(х) определяется многочленом !'(х) однозначно с точностью до обратимых в Х (х] элеменпюв. Если таким способом сопоставить каждому <»(х) из Х(х] многочлен 1(х) с содержанием 1, то произведению двух А(ногочленов ~р (х) 1» (х) будет соотвеп|ствсиать с гпочностью до обрапигмых множителеи произведенпе соотвеп1ствуюи)их много- членов с содержанием 1 (и обратно). Если многочлен»(х) неразложим в Х (х], то и . ~ногочлен 1 (х) неразложим в Г (х] (и обратно).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны два различиых предста влепия многочлеиа ~»(х): <»(х) = — ', ~(х) = ~у(х). Тогда (2) аа» (х) = оба (х). Содержание левой части равно ад, а содержание правой равно сЬ, следовательно, ас( = есЬ, где е — обратимый элемент кольца Я.

Подсгавим это в (2) и сократим иа сЬ: е) (х) =а(х). Таким образом, миогочлеиы 1(х) и д(х) отличаются друг от друга обратимым в Г миожителем. Для пропзведеиия двух миогочлепов г»(х) = — 1(х), ф (х) = — а(х) мы немедленно получаем Ф (х) 1» (х) = ьс 1 (х) к (х) и согласно лемме 1 произведение )(х)д(х) вновь является много- членом с содержанием 1. Следовательно, произведеиию г»(х) $(х) соогветствует произведение 1(х) д(х). Наконец, если г»(х) — неразложимый миогочлен, го таким же будет и 1(х), потому что любое разложение» (х) = д (х) Ь (х) сразу же приводит к разложению <» (х) = -- 1 (х) = —,.

а (х) Ь (х). Обратное утверждение получается точно эак же. 116 1гл ч ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Лемма 2 доказана. С помощью леммы 2 однозначность разложения многочленов немедленно переносится на соответствующие многочлены с содержанием 1. Итак: ллногочлены с содержанием 1 разлагаются на простые множители однозначно с точностью до обратил1ых элеиентов, причем эот проплыв множчилели снова явлтотся лшогочленами с содержанием 1. Рассмотрим теперь разчожение на множители произвольного многочлена в Я [х1. Неразложимые многочлены обязательно являются или неразложимыми коистантамп нли неразложимыми многочленами с содержанием 1, потому что любой другой много- член разложим в произведение своего содержания и мяогочлгна с содержанием 1.

Следовательно, чгобм разложить какой-либо многочлен 1(х), нужно сначала разложить 1(х) в произведение его содержания и ьпюгочлена с содержанием 1, а потом каждый из этих сомножителей разлагать на простые множители. В силу предпосылок основной теоремы разложение содержания осуществить можно, и притом однозначно с точносгьо до обратимых элементов; разложение же на простые множители многочлена с содержанием 1 также возможно в силу доказанного выше.

Тем самым основная теорема доказана. Попутно мы получили следующий важный резульчат: Если многочлен Е(х) из Ж[х) разложим в л. [х), то он разложим уже в С [х]. Действительно, в силу того, что Е(х) = дГ(х), многочлену Е(х) соответствует некоторый многочлен ) (х) с содержанием 1, а согласно лемме 2 разложение многочлена г (х) в Е [х) приводит к разложению многочлена Г(х) в Я[х), но если 1(х) неразложим, чо неразложим н г (х).

Например, любой многочлен с целыми рациональными коэффициентами, который разлагается над рациональными числами, оказывается разложимым уже над целыми числами. И.ак: если целочисленньш" многочлен неразложил~ над целыми числами, то он неразложим и над рациональными числами. С помощью индукции из основной теоремы получается следующий результат; Если Я вЂ” целостное кольцо с единицей и в Я имеет л1есто теорема об однозначном разложении на множиоыли, ою она справедлива и в кольце многочленов Я [х„..., х,). Отсюда, среди прочего, получается однозначность разложения для целочисленных многочленов (от произвольного числа переменных), для многочленов с коэффициентами из произвольного поля и т.

д. Понятие многочлена с содержанием 1, фигурирующее в приведенных выше леммах Гаусса, в особенности используется при исследовании колец многочленов от большого числа переменных. 117 пРизнАки нвРАзложимости 4 зп Если К вЂ” поле, то ыногочлен [ из К[хо ..., х„1 называетсЯ мнагочленам с содержанием 1 относительно х„..., х„„если его содержание как ыногочлена с коэффициентами нз целостного кольца К[х„..., х„г[ равно 1, т.

е. если он не имеет делителей, отличных от констант и зависящих лишь от х„..., хь ы Зада ч а 1. Обратимымк элементамн кольца ге [х[ являются лишь обратнмыс элементы кольца Я. 3 а д а ч а 2. Доказать, что в разложении на множителя произвольного однорг1дного многочлена участвуют лишь однородные иного|лены. 3 а д а ч а 3 Доказать, по определитель ХП ... Хоч Л= перазложим в кольце многочленов е [хы, ..., х„„), (Фиксировать произвольную переменную, скажем, хы, и поквзать, что многочлен Л имеет содержание ! огносителыю остальных переменных.) 3 а да ч а 4.

Указать способ, который позволил бы выяснить, обладает ли произвольно заданный целочисленный мпогочлен дсянтелямн первой степени нлн нет. Задач а 5. Доказать неразложимость многочленв х' — х'+! в кольце многочленов от одной переменной х с целыми коэффициентами. Разложим лн этот мкогочлен над полем рациональных чисел? Разложим ли он над кольцом целых гауссовых чисел? $31. Признаки неразложимости Пусть Я вЂ” целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначаом разложении на множители, и пусть [(х) =по+а,х+...+а„хч — произвольный многочлен из кольца ю [х). Нижеследующая теорема позволяет во многих случаях выяснить вопрос о неразложимости [(х): Теор ем а Э й зе н ште й на.

Если в Я существует простой элемент р, для которого ач ИЫО (р), а, =0 (р) для всех 1(п, ао ф 0 (рз), то многочлеи [(х) нероаложим е кольце й [х) с точносгггьго до постоянных мио- жппмлей; другими слогани, многочлен [(х) игразложим о кольце Е [х1, где й— поле ~астных кольца гв. Доказательство. Если [(х) разложим, то [ (х) = д (х) й (х), г д (х) ~З~ Ьтхэ, о й(х)=~ с хт, о г)0, з)0, г-[-з=п, Пй НЕЛЫЕ РДЦИОНДЛЬНЫЕ фкинннн (гл.

ч и тогда по= — Ьосо ао = — О (Р). Отсюда либо Ьо сн 0 (р), либо со ю 0 (р), Пусть, скажем, Ьо = 0 (р). Тогда со еь 0 (р), так как иначе ао = Ьосо = =0 (р'). Не все коэффициенты многочлена п(х) делятся на р, потому что в противном случае произведение ((х)=я(х) Ь(х) делилось бы на р и все коэффицнеп ы, в частности а„, делились бы на р, что противоречит условию. Пусть Ь; —.первый коэффициент в п(х), который не делится на р (0((сыт ..

и). Тогда а« = Ьосо + Ь, ,с, + ... + Ьоср а!= 0(р), ь,,=о(р). ь,=-о(р), н, следовательно, Ьосо = — О (р), соцйо(р), ь,=о(р), что противоречит условию. Таким образом, миогачлен )(х) является неразложимым с точностью до постояннык множителей П р и м е р 1. Многочлен хм — р (р — простое число) в кольце целочисленных многочлгнов (и тем самым в кольце многочленов с рациональными коэффициентами) неразложим. Следовательно, у' р (и 1, р — простое число)— иррациональное число. П р и мер 2. Многачлен ) (х)=хр '+хр о+...+1 при простом числе р является левой частью «уравнения деления круга>.

Поставкм и здесь вопрос о разло»,имасти над целыми (илн, что по существу то же самое, над рапиональными) числами. Признак Эйзенштейна применить непосредственно здесь нельзя, но можно поступить следующим образом. Если бы многочлен ) (х) бьш разложим, то таким же был бы и миогочлен ) (х+1). Имеем ха ! хг>, ( х (х+1)я — 1 " (1) ''' (р — 1) )(х+1) ('„1) 1 =хя з+( ) хя о+,,-(-( ). Все коэффициенты, кроме коэффициента при хя, делятся на р, потому что в формуле для биномиального коэффициента при > ( р числитель делится на р, а знаменатель нет, Кроме того, постоянный член ~ ) не делится на р'.

Следовательно, )(х+1) — неразложимый много- Р (р член, а потому неразлажим и ) (х). П р и не р 3. То же самое преобразование приводит многочлен ) (х)=хо+1 к виду ) (х+1)=хо+2х+2 и тем самым приводит к решению вопроса а разложимости. а за! ~лзложнннг. нл множитглн в конгчног. число шагов 113 3 а д а ч а ! Г.оказать иррациональность числа 1' рьоз.,. р„где рх гяр,— различные простые целые числа и ш ) 1.

3 а д а ч а 2. Показать неразложимасть многочлена х'+ уз — ! в кольце Р (х, у), где Р является произвольным полем, в котором +1 Ф вЂ” 1. Задач а 3. Показать неразложнмость многочленов ка+ 1, хз+ ха+! в кольце целочисленных многочленов.

Характеристики

Список файлов книги