Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В своей основе теорема Зйзенштейиа опирается на то, что равенство ) (к) = д (х) Й (х) превращается в сравнение по модулю р'-: )(х) юу(х) 6(х), а это последнее приводит к противоречию. В многочисленных других случаях оказывается в равной степени возможным доказать неразложимость переходом от равенств в данном кольце н сравяениям по модулю некоторого элемента д в кольце ж и выяснением, является ли данный многочлен разложнмым по модулю у. В частности, если Ж вЂ” кольцо целых чисел Х, то в кольце классов вьшетов по модулю целого числа з есть лишь конечное число многочленов заданной степени; поэтому есть лишь конечное число возможностей разложения многочлена )(х) по модулю у, которые легко проверить.
Если окажется, что )(к) неразложим по модулю д, то )(х) был неразложнм н в кольце Е(х), но в противном случае можно доказать неразложимость, если извлечь из разлогкимости многочлена по модулю д некоторую дополнительн>ю икформацию, причем, если в качестве д взять какое-либо простое число, та можно воспользоваться теоремой об однозначном разложении многочлепов по модулю этого простого числа (Э 18, задача 3).
Пр имер 4. С=Я; )(к)=кз — хз+!. Если многочлен )(х) разложим пзод (2). то один нз сомножителей должен быть линейным или квадратичным. По модулю 2 есть лишь два линейных многочлена к, х+! н лишь адин неразложимый квадратичный многочлен к'+ к+ 1.
Процесс деления показывает, что ха — к".+ ! не делится ни на один из этих многочленов (по модулю 2). Зто непосредственно усмзтривается из соотношений х', — хз+ ! =хз (ха — 1)+! = х' (х+!) (х'+х+!)+ !. Следовательно, ) (х) — неразложимый многочлен. ф 32. Разложение на множители в конечное число шагов Мы рассмотрели теоретическую возможность разложения наждого многочлеяа кольца 2, (х,, ..., х„) над полем 2; на простые множители и в некоторых случаях указалн средство выяснения того, возможно такое разложение или нет.
Однако у нас нет метода, ноторый позволял бы в любом случае решить вопрос о раалонсении многочлена в конечное число шагов Один из этих методон, который пригоден по крайней мере в случае, когда л — поле рациональных чисел, мы сейчас изложим. 123 (гл. у ЦЕЛЫЕ РЛЦИОИЛЛШ!ЫЕ СУИКИИИ Согласно б 30 любой многочлен с рациональными коэбьРициентамн можно считать многочленом с целыми коэффициентами и искать целочисленное разложение последнего. В кольце Е целых чисел разложение на простые множители проводится, очевидно, с помощью конечного числа проб; кроме того, в этом кольце есть лишь конечное множество обратимых элементов (+1 и — 1), а потому лишь конечное число возможных разложений.
В кольце многочленов Е [х,, ..., х„) число обратимых элементов тоже конечно: эти элементы суть 4-1 и — 1. Йндукцней по числу переменных и все сводится к следующей задзче; Пусть в кольце С разложение на л~ножители оеущесочвляетея в конечное число шагов, и пусть в Си суи(ествуегн лишь навечное множество обратил1мх элементов. Найти метод разложения произвольного мноеочлена из кольца С (х) на простые множив~ели. Решение этой задачи было дано Кронекером.
Пусть [(х) — многочлен п.й степени из Ж [х). Если [(х) разложим, то один из сомножителей будет иметь степень п)2; следовательно, если т — наибольшее целое число, не превосходящее и(2, то мы должны проверить, имеет лн [(х) наной.либо делитель у(х) степени ч-э. Найдем значения [(а„), [(а,), ..., [(аз) ьшогочлена [(х) в в+1 произвольно выбРанных Целочисленных точках ар, ам ..., ав. Если тепеРь [(х) делится на у(х), то обязательно [(аа) делится на у(аь), [(ай делится на у(ач) и т.
д, Но так как каждое целое число [ (аД в кольце сж имеет лишь конечное число делителей, для у(а;) имеется лишь конечное число возможных значений, поторые, согласно условйю, можно перебрать. Согласно теоремам из 3 29 для наждой возможной комбинации значений у(аю) д(а,), ..., у(ав) существует ровно один многочлен д(х), причем й(х) всегда может быть указан в явном виде. Тем самым мы нашли нонечное множество многочленов у(х), которые могут быть делителями данного многочлена. По поводу каждого конкретного многочлена у(х) с помощью алгоритма деления можно выяснить, является ли он в действительности делителем многочлена [(х) или нет. Если ни один из миогочленов у(х) нс окажется делителем многочлена [(х) (мы опускаем случаи обратимых делителей), то [ (х) неразложим; в противном же случае находим некоторое разложение и к каждому из полученных множителей можно приме- вить ту же процедуру и т.
д. В целочисленном случае (сж= Х) описанный метод можно сидьно сократить, Сначала нужно рассмотреть разложение данного многочлена по модулю 2 и, возможна, по модулю 3, чтобы понять, какие степени могли бы иметь его делители й (х) и каковы классы вычетов коэффициентов по модулю 2 и по модулю 3. Такие наблюдения значительно сократят число возможных претендентов иа роль делителей вида у (х). Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент Хв какого бы то нн было делителя является старшим коэффициентом многочлена [(х), а это вновь уменьшает число возможностей. Наконец, часто используется прием, при котором берется более в+ 1 точек ап Здесь нужно определить возможные значения у(аг), делящие те [(а;), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы огра. ннчнть число возможностей.
Для этого при вычислении каждого многочлена у(х) нужно сначала выяснить, являются ли его значевия в неучтенных еще точках а! делителями соответствующих чисел [(а!) или нет. 3 а д а ч а 1. Разложить многочлен [ (х) = ха + хл+ хэ + х + 2 в кольце Е [х) на простые множители 3 а д а ч а 2. Разложить многочлен [(х, у, г)= — хз — уа — гз+хэ(у+г)+уг(х-[-г)+г'(х+у) — 2хуг в кольце Х [х, у, г) на простые множители. 121 з зз1 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $ 33.
Симметрические функции Пусть ь — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Многочлен кольца о(х„ ..., Х„) называется (целой рациональной) симметрической функцией переменных х„, ..., хл, если он переходит в себя при любой перестановке переменных х„..., х,. Например, сумма, произведение, сумма степеней этих переменных — симметрические функции. С помощью новой переменной г построим многочлен 1(г) = (г Х1) (г — ХЗ) (г — Хл) = — гл 1тгл-1 ( игл З ) ( ()ла . (() тогда коэффициенты этого многочлена при степенях г таковы: о,=х,+х,+...+хл, 111 = ХЗХЗ+ ХГХЗ+ + ХЗХЗ+ + Хл-зхл ОЗ=ХТХЗХЗ+ХТХЗХЛ+...+Хл ЗХл 1Хл, Ол =ХЗХЗХЗ...
Хл. Очевидно, это — симметрические функции, так как левая часть равенства (1), как и его правая часть, не меняются при перестановках переменных х,. Функции о„..., ол называются элементарными симметрическими функциями от х„..., хл, КажДЫй МНОГОЧЛЕН ТР(О„..., Ол) ДаЕт СИММЕТРИЧЕСКУЮ ФУНК- цию от х„..., хл, если вместо о подставить соответствующие выражения через переменные х. Прц этом слагаемое вида сов ...
... ОР, В ВЫРажЕНИИ ДЛЯ 1Р (ОП ..., Ол) ОКажЕтСЯ ОДНОРОДНЫМ л многочленом от х, степени р,+2р,+...+прл, так как каждый многочлен о; является однородным многочленом степени 1. Сумму р, + 2р, +...+Прл МЫ НаЗЫВаЕМ ВЕСОМ СЛаГаЕМОГО СОР ... ОР,, а ПОд л ' весом многочлена 1р(о,, ..., о ) подразумевается наибольший вес из входящих в него слагаемых. Многочлены тр(о„..., ол) веса я дают тем самым симметрические многочлены от х; степени -=.й.. Так называемая основная теорема о симметрических функциях гласит: Каждая целая рациональная симметрическая функция из кольца ь(х„..., х„) может быть записана в виде многочлена 1Р(О„ ..., Ол), Доказательство. Упорядочим заданный симметрический многочлен словарно (как в словаре), т. е. таким образом, чтобы слагаемое х" ...х, предшествовало слагаемому х(з ...
хэ, в том л случае, если первая ненулевая разность а,— 'р1 положительна. !22 ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ~гл у Вместе со слагаемым ах" ...х" в выражение для данного много- члена входят также все слагаемые, показатели которых являются (в своем наборе) некоторой перестановкой показателей сз;; эти слагаемые мы записывать не будем, а воспользуемся записью а ~;х,".... х"„», в которую фактически входит лишь первое в словарном упорядочении слагаемое во всей сумме слагаемых.
Для такого слагаемого а, =»аз =-... ) Ез„. Пусть степень данного симметрического многочлена равна е, а первое в словарном упорядочении слагаемое есть ах, ...х" . » Составим произведение элементарных симметрических функций, в котором (после раскрытия скобок и приведения в словарный порядок) первое слагаемое будет таким же: ах" ...х",. Это произведение найти легко; вот оно: по"з»зззяз ~з и«». 1 Вычтем это произведение из данного многочлена, упорядочим разность словарно, найдем в ней старшее слагаемое и т.
д. Такая процедура должна будет в конце концов оборваться. Действительно, вычитаемое произведение имеет вес а, — сзз+ 2аз — 2аз+ Заз —... — (а — 1) а„+ п«з„= = зхз + яз + пз +... + а„== й поэтому, расписанное как многочлен от переменных х, это произведение приобретает степень ~е. Следовательно, степень данной симметрической функции при вычитании, описанном выше, не возрастает. Но при заданной степени е существует лишь конечное множество произведений степеней х",' ... х"„». Так как при каждом вычитании такое произведение исчезает, а остаются лишь следующие за ним в словарном упорядочении, процедура после конечного числа шагов должна оборваться: просто не остается больше слагаемых.
Такое доказательство одновременно дает средство выражения данной симметрической функции через элементарные функции оь Если данная функция имеет степень й, то найденное выражение «У(ои ..., о„) будет иметь вес й. Кроме того, из доказательства следует предложение: однородные симметрические функции степени й могут быть выражены «изобарически» через функции оь т. е. так, что слагаемые в полученной сумме все будут иметь вес е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
