Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть % и Я вЂ” векторные пространства. Линейное преобраэованив — это отображение А из % в Я со следующил[и свойствами: 91 ЛИНЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ а аз] Если 91 также имеет конечную размерность п, то в (5) можно слева и справа векторы у и Ар» выразить через базисные векторы дн ..., »7„пространства Я: у = ~х' фу', Ар»= У, у~а». Из (5) при сравнении коэффициентов получается у'= ~а,'х'. (8) то мы получим линейное преобразование С=ВА, отображающее Ч)1 в Ж в согласии со следующей формулой: а.» а» еа = 'У, '6; а»х = ~ с,х, а соответствующей матрицей будет матрица С= ВА, элементы которой таковы: а а ю с» = ~, '6;аа.
(12) Формула (12) определяет умножение матриц. Матрицы В и А можно перемножить и получить произведение ВА лишь тогда, когда в матрице В столько же столбцов, сколько в матрице А строк. Элемент с„" произведения матриц ВА получается по формуле (12), в которой элементы й-й строки матрицы В умножаются Следовательно, линейное преобразование А определяется некоторой мал»рацей А, т. е, прямоугольной таблицей, в которой в специальном порядке записаны тн элементов а' тела К: А=( ,ал ал ал ! а '' ш, Если базисы р„..., р и дн ..., ~у„фиксированы, то каждое линейное преобразование А однозначным образом определяет некоторую матрицу А, и наоборот.
Верхний индекс 1 является номером строки, а нижный индекс й — номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент а„'. Согласно (7) элементы й-го столбца — это координаты вектора Ар». Если, кроме преобразования А, задано второе преобразование В, отображающее векторное пространство 91 в векторное пространство 51 размерности г: га = 'У', Ь,"у', (9) ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА (гл 'л на элементы й-го столбца матрицы А и полученные произведения складываются. Разумеется, для умножения матриц, как и для умножения преобразований, выполняется закон ассоциативности: О(ВА) =(0В) А. По этой причине пишут просто 0ВА. Точно так же поступают в записи произведения более, чем трех сомножителей.
Каждому вектору х с координатами хх можно поставить в соответствии матрицу из одного столбца: (уЛЗ ( Эта матрица определяет вектор х=~р,хл однозначно, как только фиксированы базисные векторы р„..., Р . Равенство (8), определяющее преобразование, теперь можно записать как матричное равенство: У=АХ. Если И и 81 имеют одинаковые размерности, то А является квадратной матрицей. В частности, линейные преобразования векторного пространства И в себя задаются квадратными матрицами. Г1од рангом линейного преобразования А понимается размерность образа Ач)1, также являющегося векторным пространством, т. е.
максимальное число линейно независимых векторов среди образов Ах. Под столбцовым рангом матрицы А понимается число линейно независимых столбцов. Если А — матрица линейного преобразования А, то столбцы в А — это векторы Ар„ ..., Ар и мы имеем предложение: Ранг преобразования А равен столбцовому рангу матрицы А. Если ранг равен размерности т пространства %, то отображение А является взаимно однозначным.
Если, кроме того, размерность пространства 81 равна размерности пространства 181, то пространство-образ А%1 равно 81, и в этом случае налицо взаимно однозначное линейное отображение А пространства ?81 на пространство 8Е Такое преобразование А называется неособым; тем же термином характеризуется и матрица А — неособая, Таким образом, квадра~ная матрица является особой лишь тогда, когда ее столбцовый ранг меньше т. Являясь взаимно однозначным, неособое линейное преобразование А обладает обращением, т, е. преобразованием А-', действующим обратным по отношению к А способом и, следова- $231 линепные певовялзовлния тельно, удовлетворяющим равенству А-'А =У, где I — тождественное преобразование или тождество, которое переводит каждый вектор зс в себя.
Матрица этого преобразования единичная: 110...0~ 1 ~01" 0 ! ~00...1 Если осуществить сначала преобразование А-', а затем— преобразование А, то точно так же получится тождество АА '=У. (14) Равенства (13) и (14) можно записать и как матричные равенства: А-'А = А А- ' =!. (15) Чтобы вычислить матрицу А- ' эффективно, нужно решить систему уравнений (8) относительно неизвестных х" при известных у', лучше всего воспользоваться методом последовательного исключения (2 22). В качестве решения получается х' = ~ Ь',.у'. (16) Матрица В='16~,'~ является как раз искомой обратной матриией А-'. Выясним теперь, как меняется матрица А преобразования А, когда в пространствах 'Й и Я вводятся новые базисы.
Старые базисы обозначались через р„ ..., р„ и д„ ..., д ; новые обозначим через р'„ ..., р„' и (1',, ..., лу,'„. адовые базисы выражаются через старые так: Р; =~ Р(Гр (17) Ч~' = ~'„Юлей (18) Коэффициенты Д и д~ образуют неособые матрицы г" н 6. Пусть обратная к 6 матрица 6-' обозначена через Н. С помощью этой матрицы Н =(й' ~ можно разрешить равенства (18) относительно гуь. Чь=~,'ЧА' (1 9) Матрица А получается в соответствии с (7), когда Ар, выражаются через Чл.' АР,— -~Ьа,' (20) 94 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл гу Чтобы получить новую матрицу, выразим Арл через губ Ар =~к',(Ар,)), '= УеуааЯ = ,'Р цсйгааЯ, Следовательно, новая матрица такова: А' = НАР = 6-'АР.
(21) В частном случае И =Я, Р = б получается А' = Г-тАР, (22) 3 а да ч а !. Неособые линейные преобразования векторного пространства Дй в себя образуют группу относительно умножения. 3 а д а ч а 2. Если для двух линейных преобразований пространства % в пространство З! определить сумму А+В равенством (А+В) х= Ах+Вх, то А+В вновь будет линейным преобразованием.
Его матрица является суммоп матриц А и В, т. е. ее элементы таковы: с' =оа+Ье. Транспонированное преобразование А'. Каждому преобразованию А пространства чЛ в пространство 3! соответствует преобразование А', которое отображает двойственное пространство )!» в двойственное пространство %». Лействительно, если ез — фиксированный ковектор нз 9)» н х — переменный вектор из У(, то скалярное произведение является линейной формой по х, т. е.
скалярным произведением вектора х с некоторым ковектором и: п Ах=и х. (23) Этот ковектор и, очевидно, линейно связан с тг. Следовательно, можно положить и =Аьп, (24) и получить равенство и Ах=-Аоп х. (25) Определенное в (25) преобразование А' называется гпранспонированным по отношению к А. Равенство (23), переписанное в координатах, выглядит так: р» п,а„'х' = '5; и,х". Отсюда следует, что г и,=~ п,аа. Матричные элементы преобразования А' являются, таким образом, элементами а„', но теперь н означает номер строки, а !в тензоры я тя! номер столбца. Так получаемую матрицу называют транспонированной и обозначают через А'. 3 ада ч а 3.
Ранг преобразования А' равен рангу преобразования А. Зада ч а 4. Ранг преобразования А' равен также строчечному рангу матрицы Л, т. е. числу линейно независимых строк. При этом строки рассматри. вамтся как злементы некоторого левого векторного пространства, а столбцы— как элементы правого векторного пространства. Задач а 5. Из задач 3 и 4 следует, что строчечный ранг матрицы А равен ее столбцовому рангу.
3 24. Тензоры Пусть 3)! — некоторое и-мерное векторное пространство и р,, ..., р„ — его базис над по л е м К. Векторы пространства У! представляются, следовательно, в виде х =Р,х'+... +Р„х". Рассмотрим билинейнояе формы 7(х, у) со значениями в К, т. е. функции от двух векторов х, у со следующими свойствами: 7" (х+у, х)=7(х, е)+7(у, г), (2) 7(х, у+а)=7(х, у)+7(х, г), (3) 1(ха, у) =1(х, у)а, (4) 7 (х, уЬ) = 7 (х, у) Ь. (б) Билинейная форма ! (х, у) оказывается заданной, как только заданы значения гм = 7 (Р» Ре).
(б) Действительно, в этом случае )(х у) )(~ Р,хг ч,'Рыул) ~~,г х,уа (7) где суммирование ведется по всем я' и й от ! до и. Элементы (м называются координатами билинейной формы !'. Выберем гяа в основном поле К произвольно; тогда форма, определенная с помощью (7), обязательно обладает свойствами (2) — (б). Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и системамн из и' их координат (!!м)). Подобно рассмотренным в 3 2! линейным формам билинейные формы можно складывать и умножать на константы из К. Билинейные формы составляют векторное пространство размерности л'. Элементы этого векторного пространства называются также тензорами, а точнее, — ковариантными двухваленгпными тензорими. Мы обозначаем эти тензоры через Г и вместо Лх, у) пишем г ху. Согласно (7) в этом случае Г ху = ~ ягах'р ° 96 ВЕКТОРНЫЕ Н ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ.
1Р При желании разделительную точку можно отбросить и писать просто хху. Аналогично можно ввести в рассмотрения полилинейные формы или ковариантные тензоры произвольной валентности: )(х, у, г, ...)=г худ ..., причем эти формы линейны как по х, так и по у, г, ...Их коэффициенты таковы: й ... =)(Р(,Р», Рг, " ) =Е Р;РаР ". и г. худ ... =)(х, у, г, ...) = У ~гы, хгиьгг... Двойственным образом строятся контравариантные тензоры, т. е. полилинейные формы, аргументы которых являются ковек- торами и, т(, ...; например, г иота(=и(и, т(, тп)= ~ (гагипоакн Ковариантные одиовалентные тензоры — это в точности ковекторы, а контравариантные одновалентиые тензоры взаимно однозначно соответствуют векторам х пространства 3111 Г и=и х= Ух1и(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
