Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В качестве а выберем многочлен наименьшей степени из содержащихся в а. Так как и в кольце многочленов существует алгоритм деления, произвольный многочлен Ь идеала можно представить в виде Ь = оа+г; если г Ф О, то степень многочлена г меньше, чем степень а. Дальше доказательство проходит аналогично предыдущему. Целостное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцол! главных идеилов. Как было сейчас показано, кольцо Е целых чисел и кольцо многочленов Р [х] являются кольцами главных идеалов. Каждое поле тривиальным образом является кольцом главных идеалов, потому что если а — произвольный ненулевой идеал в поле Р, то вместе с любым элементом а~О он содержит н произведение а-'а=1, т. е.
и =(1) — единственный ненулевой идеал поля. (Ср. й 15, задача 7.) Примененный в обоих приведенных выше доказательствах метод можно обобщить следующим образом. Пусть М вЂ” произвольное целостное кольцо, в котором каждому ненулевому элементу а сопоставлено целое неотрицательное число и(а) со следующими свойствами: 1. Для а ФО и Ь 4:0 справедлиио д(аЬ) гьд(а). 2. (Алгоритм деления.) Для любых двух элементов а, Ь, где а 4: О, существует представление Ь= да+ г, в котором с=О или с(г) (д(а).
В случае О(=л". полагаем д(а)=!'а!, в случае И=Р(х1 числом д(а) служит степень многочлена а. Кольцо с такими свойствами называется евклидовым. Применяя без каких бы то ни было изменений метод, который использовался в случаях колец О(=л. и Я =Р[х1, мы получаем следующую теорему: В любом евклидовом кольце каждый идеал является главнь!м и все элементы идеала являются кратнылги да порождающего его элемента а. Если эту теорему применить к единичному идеалу, т.
е. ко всему кольцу, то получится, что в кольце есть такой элемент а, что все элементы кольца суть кратные да этого элемента а. В частности. сам элемент а представляется в виде э л еаклидоаы кольцл и кольца глланых идвллоэ 7З Для Ь=с)а отсюда следует: ва=с)ав, в силу чего Ь=Ьв. Мы доказали следующее утверждение: Евклидвво кольцо обязательно содержит единицу. Два ненулевых элемента а, Ь произвольного кольца главных идеалов порождают идеал (а, 6), который состоит из всех выражений вида га+зЬ и который тоже является главным идеалом, т.
е. порождается некоторым элементом й. Следовательно, й = га+зЬ, (1) < а =ссй, Ь=йй. (2) Согласно (2) элемент й является общим делителем а и Ь. В силу (1) элемент 51 является нассбольшим общим делителем, т. е. все общие делители элементов а и Ь являются делителями и элемента й. Итак: в кольце главных идеалов любые два элемента а, Ь имеют наибольший юби1ссй делитель й, который представляется в виде (1). Обычно наибольший общий делитель обозначают через й = =(а, 6). Правильнее было бы писать (й)=(а, 6), потому что элементами а и Ь однозначно определяется лишь идеал (й), а не сам элемент й.
Если (а, Ь) =1, то элементы а и Ь называются взаимно простыми, Приведенное выше доказательство существования НОД не дает средства для вычисления этого объекта. В евклидовых кольцах такое вычисление осуществляется с помощью предложенного Евклидом ') способа последовательного деления (алгоритма Евклиди, по которому еаклидовы кольца и получили свое наименование).
Пусть заданы два элемента кольца а„а, и пусть д(ас) «фае). В соответствии с алгоритмом деления положим а, = дса1+ а„й(ае) «й(ас), а =уеае+аз, а(ае).=И(ае), а5 1 ссса5' Все элементы аеь а„ае, ..., а, имеют виД га,+1а,. КажДый делитель элемента а, (в частности, сам а,) согласно последнему равенству является делителем элемента а, „а потому, согласно предпоследнему равенству, — делителем элемента а,, и т. д.
и„ Ч Н в к л и л. Невеле, книга 7, теоремы 1 и 2. и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при од- ном из делений нулевой остаток: (гл. гп кольца, тнлд и поля наконец, элементов ах н вш Следовательно, а, равен НОД элементов аз и вм Проведенные до сих пор рассуждения проходят и в случае некоммутативных колец, нужно лишь потребовать существования как левого, так н правого алгоритма деления: Ь=я,о+г, ай,+г„д(гД(я(п), й(г») (й(а). Тогда получится, что каждый левый идеал содержит неноторый элемент а, все левые кратные оа которого н составляют данный левый идеал; то же верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными по некоторого элемента о.
)[вусторонний же идеал содержит порождающий его элемент о, на который все остальные элементы идеала делятся как слеза, так и справа. Если этот вывод применить, в часгности, н единичному идеалу, то отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы.
Наконец, как и выше, доказывается существование левого и правого наи. больших общих делителей двух элементов а, Ь. Важнейшим примером некоммутативного евклидова кольца является кольцо ьщогочленов Р [х) над телом Р. 3 а да ч а 1. Отношение(и, Ь)=(«() остается верным при расширении кольца » до произвольного содержащего его кольца». 3 а д а ч а 2. Каждый элемент а порядка гз в произвольной группе СЬ является произведением однозначно определяемого элемента а ' порядка г и однозначно определяемого элемента и"' порядка з в предположении, чточнслз г и з взаимно просты: (г, з) = 1. 3 а д а ч а 3.
Циклическая группа порядка и, порождаемая элементом а, порождается каждым элементом ои, где (р, п)=1. Еще один пример евклидова кольца. Комплексные числа а+Ь( (о и Ь— обычвые целые числа) образуют кольцо целых гарссовых чисел. Если определить «норму» числа а=п+Ы равенством Лг (а) =(о+ЬН) (а — Ь«) =и'+Ь', то из определения произведения (и+ Ь«) (с+ пт) = (пс — Ь«)) + (а«(+ Ьс) «' легко будет следовать равенство Лг (а[)) = Лг(а) Л( ([$). (3) Норма Л'(а) является обычным целым числом, которое (как сумма двух квадратов] обращается в нуль лишь тогда, когда само а равно ну.тю, а з остальных случаях положительно. Из (3) следует, что произведение а6 обращается в нудь лишь тогда, когда а или [) равно нулю.
Следовательно, мы имеем дело с целостным кольцом. Согласно б 13 существует поле частных этого кольца. Если а=а+Ь« ~ О, а — Ь«' то ам= —. числа поля частных можно, следовательно, представить в виде У (а) ' а с. — + — «(а, с, п — целые числа). Эти «дробные числа» составляют «поле гауси п совых чисел». Определение нормы и равенство (3) дословно сохраняются и для этого поля.
75 РАзлОжение нА множители 4 »В! Чтобы получить ал»орит»» деления в кольце целых гауссовых чисет, поставим перед собой задачу найти для заданных а и рчьо число а — )«(), норма которого меньше нормы элемента р Сначала определим дробное число Х'=а'+ -! Ь'«, для которого а — А'р=о, затем заменим а' и Ь' на ближайшие и ним целые чнсла а и Ь и положкн 1=а ЬЬ«, Х' — А=-е Тогда а — Ар = а — Х'() + е() = а(), А» (а — а()) = А»(в) ЬГ (р), А»(ь) = А'(Х' — А) = (а' — а)' +(Ь' — Ь)' - ~ — ) + ! — ~ ( 1, А» (а — Х))) ~ А» (Р). Тем самым найден «алгоритм деления», и мы видим, что кольцо целых гауссовых чисел евклидова Л и те р а т у р а По вопросу о том, существует ли в произвольном кольце главных идеа»ов алгоритм Евклида или его обобщение, см Х а с с е (Наззе Н ) -— гете нпб апйе«ч Май, 1028, 159, 8 3-12 Вопрос о существовании алга.
ритма Евклида в тех илп иных кольцах алгебраических чисел изучался в работах Пе р ран (Реггоп О ) — Мань Апп, 107, 8 489, О п не иге й м(Орреп!»е»ш А ).— Мара Апп, 109, 8 349. Бе р г (Веги Е ) — КЕ! Гуыоаг Ба!1«карсы! ппб Рогйапб), 5, № 8, Х офр а й те р (Но1«е»(ег Ы ) — Мопа(ВЬ Ма1!» Р1»уз, 42, 8 397, Бе р бом, Р е де и (Веьгьоьгп Н., Ребе~ 1. ) — 3. ге»пе пп«1 апае»«" Май, 174.
8 !08 В 18. Разложение на множители В этом параграфе мы будем рассматривать лишь целостные кольца с единицей Прежде всего выясним, какие элементы в таких кольцах следует считать простыми или неразложимыми. При этом мы будем рассматривать, даже если это специально и не оговорено, лишь ненулевые элементы, Обычное простое число в кольце целых чисел всегда можно разложить на множители и даже двумя способами: Р=р 1=( — р) ( — 1).
Однако в такой ситуации один из сомножителей обязательно является «обратимыл!» '), т. е. таким числом е, обратное к которому е ' снова принадлежит данному кольцу. Числа + 1 и — ! являются обратимь»ми целыми числами. Если, более общо, задано целостное кольцо с единичным элементом, то под обратимым элементом, или под делил!едем единицы, или просто под единицей ') подразумевается такой элемент е, для которого в кольце существует обратный е-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
