Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 41
Текст из файла (страница 41)
д а1 Через х(1) обозначим решение поставленной задачи оптимизации, существование которого предполагается. 1. Аппроксимация краевых условий. Замкнутое множество У, задающее ограничение на левый конец траектории, всегда может быть задано при помощи неравенства (3.3) 1)) = (х: 1((х! )))) < О), где О(х!1т') — евклидово,расстояние от точки х до )т', определенное в и.
3 $2 главы Ч. Согласно лемме У.2.3 п(хЬЧ) удовлетворяет условию Липшица, с константой, равной единице. В некоторых задачах множество )т' задается при помощи конечной системы неравенств и равенств 1рь (х) (О, 1 си Г; ~рь (х) = О, 1 си 1'. (3.4) Эти неравенства и равенства могут быть сведены к одному, если положить ~ рь (х) = шах ~шах <рь1 (х), шах ) д4 (х) ~). (1Н1 1Н1 Тогда множество )Ч может быть задано одним неравен- ством: )1' = (х: 1~~(х) ~ О). (3.5) В обоих случаях можно определить для 6 ~0 семейство множеств ))(а=(х: сйх!У) <сй, (3.6) пли Уо=(х: $ь(х) ~ей, (3.7) где константа с будет выбрана в дальнейшем.
Независимо от того, совпадает ли функция <р,(х) с Йх!)т') или нет, всегда будем предполагать, что <р,(х) удовлетворяет условию Липппща. Легко проверить, что если функции 18ь(х), входящие в формулы (3.4), удовлетворяют атому усло- 282 ГЛ. УЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ вию, то и функция ьр,(х), определенная выше, ему удовлетворяет.
Совершенно аналогично определяются множества Мь, б > 0 при помощи неравенства Мь = (х: ф,(х) < сб), (3.8) где ~р,(х) — функция, удовлетворяющая условию Лппши- ца и такая, что М=(х: р,(х) ( 0). В частности, в качестве ф,(х) может быть взята функция ьь(х) М). Предполоькение А. Множества )о' и М замкнуты. Множества ьт'ь, б > О, в каждой точке х обладают локальным шатром Кпо (х), причем, если последовательности хо ~ Хоо, хо ~ Ко (хо) сходятся к х, и х, соответственно, а б, — О, то хо ед Кй(хо). Аналогичным свойством обладают множества Ме Покажем, что предположение А достаточно естественно, и если )ь' — выпуклое множество, то оно выполняется.
Л е м м а ЗА. Если у(х) — непрерывная выпукл я функь(ия, и №=(х: ф(х)(сб), то множества )ьь удовлетворяют предположению А, если в качестве Кис(х) естественным образом взят конус Кис(х) = (х: х=у(х,— х), у>0, х,а=Хо). (3.9) Доказательство. По определению Кно(х) = (хо: (х, х~) ~ ~О, х ~ Кно(х)). Поэтому, если х*ее КА (х), то (хь — х, х*) ~ О, хь ьи Ко и, в частности, (хь — х, хо> > О, хььи № (3.10) так как Ф вЂ” ьо'ь.
Если теперь х -хо, х* — ~хо и б- О, то $ 3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 283 по непрерывности функции ф(х) иэ неравенства фх) < сб получаем, что ~р(хэ) -.= О, т. е. Хэ шЛ~, а неравенство (3.10) переходит в неравенство <х1 — хо, хо) Ъ О, х1 ен Л ° Но последнее неравенство эквивалентно включению хэ ~ Хй(х,), что легко усматривается из формулы (3.9). Согласно примеру Ч.1.5 конус, определенный формулой (3.9), есть локальный шатер.
Это завершает доказательство леммы. 2. Аппроксимация функционала. Предполоя'ение В. Функции я(х, т) и ф,(х), входящие в соотношение (2.2), непрерывны по х п ( н удовлетворяют условию Липшица ! И(х1, 1) — «(хэ, 1) ! ( ИХ1 — Х11, ! рэ(Х!) р(ХЭ) ! ( х 1Х1 Хз(! в любой ограниченной области пространства Х. Константа 1, может зависеть от этой области, но не зависит от тж [О, 1!. При этом «(х, 1) и 1(с(х) допускают в каждой точке (х, 1) верхнюю выпуклую аппроксимацию, а их субдифференциалы по х ду(х, 1) и 31ре(х) равномерно ограничены в каждой ограниченной области и полунепрерывно сверлу зависят от х и 1. Из предположения В вытекает, что соответствующая субдлфференциалу дь(х, 1) верхняя выпуклая аппроксимация й,(х, (х, г)), которая в силу формулы 'Ч.2.3 имеет ввд: Йз (х, (х, 1)) = зОР ((х, х*): х* ее дд (х, 1) ), х* непрерывно зависит от х. Действительно, дя(х, з) — ограниченное множество, и, значит, в.
в. а. й, определена п пренпмает конечное значение при всех х. Так как й,— выпуклая по х функция, определенная во всем пространстве Х, то в силу теоремы 11Л.4 она непрерывна и дош Ь,(, (х, 1)) = Х. 284 Гл. у1..3АЛАчи оптимАльного упРАВления Аналогичные рассуждения справедливы для верхней выпуклой аппроксимации, соответствующей функции 1рб. Лемма 3.2.
Если выполнено предположение В и последовательность непрерывных функций х1(С) равномерно сходится и непрерывной функции хб(С) на интервале Сы [О, 1], то 6д (хь ( С), С) -~ ) у (х„( С), С) г)С С=О,б,...,1-6 о при 6=2 "- 0 и йДоказательство. Так как функция у(хб(С), С) непрерывна на замкнутом интервале (О, 1), то она равномерно непрерывна на этом интервале. Поэтому для заданного е> 0 существует такое 6(е), что для 6 <6(е) выполняется неравенство )у(хо(С1), С1) — у(хо(Сз), Сз)! <е, (3.11) как только !С1 — Ст! <6(е). Далее, 1 О Р1)6 5 К(х (С), С) г)С = Х 1 [К(х (С), С)— б У=ел...,б"'-1 16 — у(хб(У6), 16))дС+» Х 6у(ха(у6), у6).
(ЗЛ2) У=О,1,...Л'А-1 Так как 2"6 = 1, то в силу неравенства (3 11) первая сумма меньше е при 6 < 6(е). Пусть уь= шах )хб(С) — хб(С)!. Щ0,1) Тогда ! ...., Х 6 (у(х (у6), у6) — у(х1 (16), у6)! 1( У= 6.1,..., 11з-1 ~(2 6Ьуб = Ьуд. Если й достаточно велико, то Ь'(1<в и поэтому вторая сумма в правой части формулы (3.12) отлпчается от Х 6у(хь(у6), у6) С=б,г,...,зе1-1 не больше чем на е.
Ь 3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 285 Итак, для малых 6 и болыпих й ! 1 (ь(*,о(ь(о — Е ьь(* о( ь(/<2, ь=о,ь, ...,ь-ь что завершает доказательство. 3. Аппроксимация дифферевщиального включения. Необходимые условия минимума для поставленной в начале параграфа задачи оптимизации будут получены путем предельного перехода от дискретной аппроксимации задачи к задаче с непрерывным временем. Поэтому необходимо наложить некоторые условия иа отображение а, которые бы гарантировали возможность такого перехода. Предположение С. Отображение а выпукловначно и замкнуто, удовлетворяет условию Липшица в е-трубке траектории х(г), ььв(0, 1), и множество а(х(0)) ограничено. Кроме того, конусы К.((х, у)) являются локальными шатрами и локально сопряженное отображение а*(уо; (х, у)) полунепрерывно сверху зависит от своих аргументов и равномерно ограничено для всех х из е-трубки траектории х( ) и у(и а(х).
Равномерная ограниченность а*(уо; (х, у)) означает, что существует такая константа с, для которой Па*(у*; (х, у))П ~ СПу*П (3 13) в указанной выше области изменения х и у. Рассмотрим теперь следующую аадачу оптимального управления с дискретным временем. Пусть, как и раньше, 6=2 ", где яь — целое число. Требуется минимизировать величину ьь(хь( )) = ~~'., бу(хь(г), г)+ ь=о,ь,...,х — ь + (ро (хь (1)) + 6 ~с'.~ П х(Ь) — хь (П) П' (3.14) ь=о,ь,...,ь при следующих условиях: хь(ь+ 6) ж хь(П) + ба(хь(Г)), Ф = О, 6, ..., 1 — 6, (3 15) хь(0) ж У„хь(1) ж Мь, (3.16) и хь(ь), П=О, 6, ..., 1, принадлежит з-трубке траектории х( ). 286 Гл. уь ЗАДАчи оптимального упРАВления Покажем, что решение задачи существует, если только константа с в неравенствах (3.7) и (3.8) выбрана правильно, а число 6 достаточно мало. Действительно, согласно предположению С и теореме 1.2 прп малом 6 существует траектория хь(1), удовлетворяющая включению (ЗЛ5) и лежащая в е-трубке.
При этом ~!Ъ) — хь(Ф)!! <сьб, 8=0, 6, ..., 1. Так как функции фь и ф, в з-трубке удовлетворяют условию Дипшица, то фь(хь(0)) < ьрь(х(0)) + Ых(0) — хь(0)(( < вью и, аналогично, ф~(хь(1)) < сьь 6. Поэтому, если в неравенствах (3.7) и (3.8) с= сьев, то хь(0) ьн)ь'„хь(1) ~Мь и построенная траектория удовлетворяет включениям (ЗЛ5), (ЗЛ6). Таким образом, множество допустимых траекторий дискретной оптимизационной задачи (ЗЛ4) †(ЗЛ6) не пусто. Так как все траектории этой задачи принадлежат ограниченному множеству — е-трубке, — а отображение а аамкнуто, то нетрудно убедиться, что множество таких траекторий компактно. Отсюда следует, что в дискретной задаче оптимизации ищется минимум непрерывной функции 1ь на компактном множестве и поэтому этот минимум достигается на некоторой траектории.
Обозначим через хь(~) решение дискретной задачи оптимизации. Оно определено для 1=0, 6, ..., 1. Доопределнм хьП) для всех 1 из [О, 1) путем линейной аппроксимации так, как это делалось в 3 1. Лемма 3.3. Если выполнено предположение С, то траектории х (ь) равномерно сходятся к х(ь) при 6- О. Доказательство. Допустим противное: 7(6) = шах )х(ь) — хь(ь)~!)Л) 0 (ЗЛ7) Ьвьвь при всех 6.
Так как в силу предположения С множества п(х) равномерно ограничены в е-трубке, то из соотношения (3.15) следует, что хь(П удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой, не зависящей от 6. 4 Э. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 2з7 Доказательство этого факта было намечено при доказательстве теоремы 1 1. Таким образом, все траектории х~(г) равномерно ограничены (они лежат в з-трубке) .и равностепенно непрерывны. Поэтому из них можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Без ограничения общности, можно считать, что л1(г) — хз(г), причем сходимость равномерная. Повторяя рассуждения, уже использованные при доказательстве теоремы 11, можно убедиться, что функция лз(г) удовлетворяет дифференциальному включению (3.1) н хо(0) ж У, ла(1) ж М, так как ха(0) ж Уь, хЛ) ев Ме. Отсюда следует, что хс(Г) удовлетворяет ограничениям поставленной в начале параграфа задачи оптимального управления. Из неравенства (3.17) следует,что гоах )х($) — л (Г)(>съ; е~м~г поэтому существует такой промежуток [а, Ь) ы (О, 1), что ~~.(г)- .(г)1>+ (' Ь). Так как последовательность лб(г) равномерно сходится к хз(Г), то при малых В !/х(Г) — хс(г))> —, г=дб~(а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
