Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тихомирова [1], а также в статье А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [Ц. Использование идей выпуклого программирования применительно к решению проблемы моментов, близко свяаанной с теорией аппроксимации, рассматривалось в книгах М. Г. Крейна и А. А. Нудельмана [Ц, Б. Н. Пшеничного [Ц.
Многочисленные связи между общей теорией выпуклого программирования и методами стохастического программирования отражены в монографии Ю.М. Ермольева [Ц. Математическим моделям зкономической динамики посвшцена обширная литература. Укажем здесь лшпь на монографии Х. Никайдо [Ц и В. Л. Макарова и А.
М. Рубинова [2], где читатель найдет дальнейшие ссылки. Побудительной причиной современного развития общей теории необходимых условий экстремума было соадаиие математической теории оптимального управления, нашедшее свое первое законченное изложение в монографии ее создателей Л. С.
Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко [Ц. Современной теории оптимального управления посвящена обширная монографическая литература, среди которой отметим 20з 308 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОЫЪ|ЕИТАРИЙ здесь книги Дж. Варги,[Ц, Н. Н. Красовского [Ц, Н. Н. Моисеева [Ц. В первой рассмотрены различные обобщения задачи оптимального управления. В третьей уделено большое внимание численным методам расчета и проблеме оптимального управления. В книге Н. Н. Красовского [Ц проведен глубокий анализ линейных систем управления.
Связь между классическим вариационпым исчислением и теорией оптимального управления подробно рассматривается в книгах М. Хестена [Ц и Л. Янга [Ц. Конус касательных направлений является одним из основных объектов в теории необходимых условий экстремума. Различные определения конуса касательных направлений, часто эквивалентные или близкие, можно найти в монографиях Н. В. Гирсанова [Ц, В. Ф.
Демьянова и А. М. Рубинова [Ц, П. Ж. Лорана [Ц . Однако этого понятия часто бывает не достаточно при рассмотрении задач вариациопного исчисления. В связи с этим Л. Нейштадтом [4], М. Хестенсом [Ц были введены конусы касательных направлений, обладающие более тонкими свойствами.
Близкое к их определениям понятие используется в 4 4 главы Ч этой книги. Понятие локального шатра было введено В. Г. Болтянским [1 — 3]. Он исследовал основные свойства шатров и интенсивно использовал его для решения различных экстремальных задач. Свойства негладких функций применительно к экстремальным задачам изучались в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина [Ц, А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [2], Ф. Кларка [Ц, [2], Е. А.
Нурминского [Ц, Б. Н. Пшеничного [1, 4]. Содержание 4 2 главы т' основывается на статье Б. Н. Пшейичного [Ц. Следует отметить, что понятия, аналогичные понятию функции, допускающей верхнюю выпуклую аппроксимацию, по существу уже содержались в работах Л. Нейштадта [1, 2] и Г. Халкипа и Л. Нейштадта [Ц. Детально дифференциальные свойства негладких функций применительно к задачам оптимизации рассмотрены в монстра~ни Л. Нейштадта [3]. Однако понлтие субдифференциала им не оыло введено. Для так называемых квазидифференцируемых функций оно было введено Б. Н. Пшеничным [Ц, для функций, удовлетворяющих условию Липшица,— Ф. Кларком [1 — 3], а для функций, допускающих верхнюю выпуклую аппроксимацию,— Б.
Н. Пшеничным '[4]. Различные общие схемы получения необходимых условий экстремума были развиты Р. В. Гамкрелндэе [1, 2], Р. В. Гамкрелидае и Г. Л, Харатишвили [Ц, А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным [Ц, Л. Нейштадтом [3], Г. Халкнпым и Л. Нейштадтом [Ц. Обратим также внимание на близкие к указанным работы Г. Халкипа [1, 2]. В работе И. Екелана [Ц приводится интересная теорема, при помощи которой удается охарактеризовать точки, близкие к экстремальным.
Используя эту теорему, Ф. Кларк [3] сформулировал необходимые условия экстремума для задач, в которых имеются ограничения типа равенства, задаваемые негладкими функциями и множеством, для которого не предполагается существование конуса касательных направлений. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОЫМЕИТАРИП 309 Дифференциальные включения з последние годы привлекают к себе внимание многих математиков.
В настоящее время получены тонкие результаты по теоремам существования решений для дифференциальных включений. Ряд таких теорем содержится в работах А. Ф. Филиппова [1 — 3]. Подробный обзор полученных результатов можно найти в статье В. И. Благодатских [2]. Задачам оптимального управления, когда имеются ограничения, связывающие в один и тот же момент времени фазовые координаты и управление, посвящена значительная литература. Решению этой задачи в различных постановнах посвящены работы А. Я.
Дубовицкого и А. А. Милютина [2, 3], А. Н. Дюкалова [Ц, А. Н. Дюкалова и А. Е. Илютовича [Ц, К. Маковского и Л. Йейпггадта [Ц, Л. Нейштадта [3]. В работах Р. Т, Рокафеллара [1 — 3] подробно исследован случай, когда задача выпуклая. А. М.
Тер-Крикоров [Ц исследовал задачу при линейных ограничениях. Зкстремальные задачи для дифференциальных включений, тесно связанные с задачами оптимального управления со смешаппымн ограничениями, научались в работах В. И. Благодатсккх [Ц, В. Г. Болтянского [3], Ф. Кларка [1, 4], Б. Н. Пшеничного [3], Р. П.
Федоренко [Ц . Задачи с дисйретным временем подробно рассмотрены В. Г. Болтянским [1, 3], Л. Нейштадтом [3], А. Н. Пропоем [Ц. Изложенные вьппе указания должны дать читателю возможность ориентироваться в современной литературе по оптимизации п ни в коей мере не рретецдуют иа полноту или историческую последовательность. Болев полные обзоры литературы с осве1цением истории вопроса можно найти в книгах А. Д. Иоффе и В. М.
Тихомирова (2], Л. Нейштадта [3], Р. Т. Рокафеллара [4]. ЛИТЕРАТУРА Аркин В. И., Левин В. Л. 1. Выпуклость виачекий векторвых интегралов, теоремы измеримого выбора и вариациовкые задачи. — УМН, 1972, 27, 3, с. 21 — 77. Береснев В. В. 1. Об отображениях, сопряженных к выпуклым многозначным отображеииям.— Кибернетика, 1973, № 5, с. 79 — 83. 2. О необходимых условиях оптимальности для систем дискретных включений.— Кибернетика, 1977, № 2, с. 58 — 64.
Бе ре сиз в В. В., Пшеничный Б. Н. 1. О дифференциальных свойствах функции мивимума. ЖВМ и МФ, 1974, 14, 3, с. 639 — 651. Благодатских В. И. 1. Достаточные условия оптимальности для диффереициалькых включений.— Иэв. АН СССР, сер. матем., 1974, 33, 3, с. 615— 624. 2. Некоторые результаты по теории диффереициалькых включений.— Эпшшег ЯсЬоо1 оэ Ог61пагу В1Йегеп11а1 ЕцпаИопз, Впю, Рагс 1 Н975), 29 — 67. Болтянский В. Г. 1.
Оптимальное управление дискретными системами.— Мл Наука, 1973. 2. О пересечении локальных шатров.— ДАН СССР, 1974, 219, 5, с. 1042 — 1044. 3. Метод шатров в теории экстремальных аадач.— УМН, 1975, 30, 3, с. 1 — 55. Бурбаки Н. 1. Топологические векторвые пространства.— Мл ИЛ, 1959. Варга Дж. 1. Оптимальное управлеиие дифферепцкалькыми и функциональными управлениями.— Мл Наука, 1977, с. 624.
Гамкрелидзе Р. В. 1. Бхггеша1 ргоЫешэ 1п Нш1ечНшепыопа1 врасез.— У. Орт. Тйеогу Арр!., 1967 1, р. 173 — 193. 2. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика эксттремалькых задач.— Труды МИАН СССР, 1971, 112, с. 152— 180. Га икр елидзе Р. В., Харатишвили Г. Л. 1. Экстремальвые задачи в линейных топологических простраяствах.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, 33, 4, с.
781 — 839. Гейл Д. 1. Теория линейных экономических моделей.— Мл ИЛ, 1963. ЛИТЕРАТУРА ЗИ Гир санов И. В. 1. Математическая теория экстремальных задач.— Мл Изд-во МГУ, 1970. Гольштейн Е. Г. 1. Выпуклое программирование. Элементы теории.— Мл Наука, 1970. 2. Теория двойственности в математическом нрограммированни.— Мл Наука, 1971. Дан форд Й., Шварц Дж. Т. 1, Лпкейные операторы. Общая теория.— Мс ИЛ, 1964.
Д а н ц и г Дж. Б. 1. Линейное программирование, его приложения н обобщения.— М., Прогресс, 1966. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. 1. Приближенные методы решения экстремальных задач.— Лл Изд-во ЛГУ, 1968. Демьянов В. Ф., Маловемов В. Н. 1. Введение в мннимакс.— Мл Наука, 19?2. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. 1. Задачи на экстремум при наличии ограничений.— ЖВМ н МФ, 1965, 5, 3, с. 395 — 453. 2. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями тяпа неравенств.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, 4, с. 725 — 770.
3. Необходимые условия экстремума в общей задаче оптимального управления.— Мл Наука, 1971. Дюкалов А. Н. 1. Прканак оптимальности в линейных динамических задачах оптимального управления со смешанными ограничениями.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, 4, с. 856 — 873. Дюка лов А. Н., Илюто вич А. Е. 1. Признак оптимальности в нелинейных задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. 1, Н.— Автоматика и телемеханнка, 1977, Уй 3, с. 96 †1; 1977, 14 5, с. 11 — 20.
Дьед он не Ж. 1. Основы современного анализа.— Мл Мир, 1964. Екелан И. (Еле1ап61.) 1. Оп 15е Чаг1а11опа! Рппс1р!е.— Х. Ма1Ь. Апа1. Арр1., 1974, 47, 2, р. 324 — 353. Ериольев Ю. М. 1. Методы стохастнческого программирования.— Мл Наука, 1976. Иоффе А. Д., Левин В. Л, 1. Субдифференцяалы выпуклых функцнй, Труды ММО, 1972, 26, с. 3 — 73. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. 1. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи.— УМН, 1968, 23, 6, с.
51 — 116. 2. Теория экстремальных аадач.— Мл Наука, 1974. Караян С. 1. Математические методы в теории нгр, программировании и экономике.— Мл ИЛ, 1964. 312 ЛИТЕРАТУРА Кларк Ф. (С1агйе Р. Н.) 1. Кесеззагу сопй!!юпз 1ог попзшоогЬ ргоЫешз ш ор!ква! соль го1 апй 1Ье со!сп!вз о1 чаг!аг!опж РЬ. В. 1Ьез!з.— ЯеаЫ!е, ЧразЬ!пйшп! СшчегзНу о1 ЧЧазЫп8юп, 1973. 2. Сепега!!зей ЯгасНепгз апй арр!!са!юпз.— Тгапз.
Ашег. Ма!Ь. Яос., 1975, 205, р. 247 — 262. 3. А пеи арргоасЬ !о 1,а8гап8е шп1!!рНегз.— Ма!Ьешайсз о1 орегаНопз гезеагсЬ, 1976, 1, 2, р. 165 — 174. 4. ТЬе 8епега!!зей ргоЫеш о( Во!эа.— 81АМ Л Соп!го! аш! орНш!за!!оп, 1976, 14, 4, р.
682 — 699. Красовский Н. Н. 1. Теория управления движением.— Мл Наука, 1968. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. 1. Элементы теории функций и функциональный анализ.— Мл Наука, 1968. Крейн М. Г., Нудельман А. А. 1. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи.— Мл Наука, 1973. Лоран П. Ж. 1. Аппроггсимация и оптимизация.— Мл Мир, 1975. Кун Г., Таккер А. (ред.) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
