Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В рассматриваемой задаче у(х, ~) =О. По предположению теоремы х(г) ш(п1 бош а н поэтому эта функция принадлежит (псбош а вместе с некоторой е-трубкой. По лемме ЗА предположение А выполнено в силу выпуклости множеств )т' и М и того, что семейства №, Мг можно определить при помощи выпуклых неравенств № — — (х: Жх)У) ~ об)$ М,=(х: с)(х!М) (сб). По теореме Ш.1.2 условия доказываемой теоремы гарантпруют то, что а(х) удовлетворяет условию Липшнца. Теоремы 1Н.2.3 и 1П.2.4 обеспечивают выполнение условий предположения С. Наконец, субднфференциал дахре(х) непрерывной выпуклой функции равномерно ограничен и полунепрерывен сверху по включению.
Этот факт легко устанавливается из определения субдифференцпала и того, что непрерывная выпуклая функция удовлетворяет условию Липшица. Доказательство оставляем читателю в качестве простого упражнения. Таким образои, выполнено и предположение В. Применим теорему 3.2. Ее утверждения 1 и 3 сразу же обеспечивают выполнение условий 1 и 3 теоремы 3.3. Кроме того, в силу леммы У.3.4 справедливо равенство А"(ув; х) =ав(у*; (х, у)), где у — любая точка из а(х; у*).
Поэтому Ав(хв(1); х(г)) = ив(х*(г); (х(г) х(г))), 296 Гл. уь ЗАдАчи ОптимАльнОГО упРАВления и утверждение 2 теоремы 3.2 обеспечивает выполнение условия 2 теоремы 3.3. Следствие. Если выполнены предположения предыдущей теоремы, то условия 2 и 3 можно переписать в виде — х*(Ф) ж д„И'.(х(г), х*(Г)), х(Г) 1я дуеИ'.(хЮ, х*(8)), (3.36) (3.37) где д,И',(х, уе) = = (х : И'„(х1, у*) — И',(х, у*) ~ ~<х1 — х, х >), д„*И', (х, уе) = = (и: Ит,(х, у,) — Ит,(х, у*)((и, уг — уе>). Действительно, согласно теореме 111.2Л справедливо равенство ае(у*; з) =д„И',(х, уе), если г=(х, у), у1иа(х; ув).
Кроме того, при доказательстве теоремы 1У'.6.3 было показано, что де*а,(х, ув) = а(х; у*). Поэтому утверждения 2 и 3 теоремы эквивалентны включениям (3.36) и (3.37). Теорема 3.4. Если выполнень1 предположения теоремь1 3.3 и Хо) О, то условия 1 — 3 теоремы 3.3 являются достаточными. Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности можно считать, что Хо *= 1. Пусть х(1) — произвольная траектория, удовлетворяющая дифференциальному включению и краевым условиям. Тогда <х(Г), х*(Г)> Р- Ит.(х(Г), хзП)) > > Ит.(х(г), х*(8))+ <хЯ-х((), — х*(г)>, так как — х*(г) жд„Ит,(х(с), х*(8)) согласно следствию теоремы 3.3. Поэтому — (х(1), х*(8)) = (х(1), х* (г)) + (х(х), хе (1)) ) т з.
нвовходимын головня минимтма 2эт ~И~.(х(т),х (С))+<х(с), х (г)) = = (х(г), х*(г))+ <х(й), х*(г)) = — „<х(й), х*(8)>. где использовано условие 3 теоремы 3.3. Проинтегрировав предыдущее неравенство, получим <хИ), хеИ)> — <х(0), хе(0)> ~ '- <хИ), хе(Ю вЂ” <х(0), х*(0)>. Но х*(0) ~ Кя (х(0)), так что <х(0), хе(0)> ) <х(0), хе(0)>. Отсюда и из предыдущего неравенства вытекает, что <хИ), х*И)> ~ <хИ), х*И)>. (3.38) В В силу условия 1 теоремы 3.3 х~ ен Км (хИ)), т.
е. выполняется неравенство (х(1), х~>)(х(1), х~>, (3.39) так как хИ) ~нМ. Кроме того, теорема 3.3 показывает, что хе (1) + х~ ен дауа (х(1)). ПоэтомУ с использованием неравенств (3.38) и (3.39) получаем <ре(х(1)) — <р (х(1)) ) (х(1) — х(1), х~(1)+ х;> = = <х(1) — х(1), х*(1)) + <х(1) — х(1), х~>)0. Итак, для любой допустимой траектории, удовлетворяющей дифференциальному включению и краевым условиям, справедливо неравенство <ро(хИ)) > <рс(хИ)), что и доказывает оптимальность траектории х( ° ).
6. Примеры. Проиллюстрируем применение теорем 3.2 и 3.3 на некоторых конкретных задачах. Так как основную сложность, как правило, составляет вычисление сопряженного отображения Ае и проверка предположения С, то допустим, что множества Л и М выпуклы, функция я(х, Г) тождественно равна нулю, а функция ~рс(х) непрерывно дифференцируема. Таким образом, 298 ГЛ. У1. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ предположения А 'и В во всех нижеследующих примерах выполнены. При проверке того факта, что отображение а удовлетворяет условию Липшица, будет полезна следующая лемма.
Лемма 3.5. Пусть ф(х, у) — непрерывная функция, выпуклая по у при фиксированном х и удовлетворяющая условию Липшица по х: ~ф(х„у) -ф(х„уи «Ы)х1- х21. Пусть, крол1е того, для каждого х существует такое у(х), что ф(х, у(х)) =Ю(х) «О и х (х) — непрерывная функция. Если множества а(х) = (у: ф(х, у) «0) равномерно ограничены на некотором связном компакте, то отображение а(х) удовлетворяет на нем условию Липшица. Доказательство. Если у,2ва(х,), т, е.
ф(х„у1) « «О, то при Лш(0, 1) получаем ф(хг, (1 — Л)у~+Лу(хг)) «. «(1 Л)ф(х2з у!) +Лф(хг~ у(х2)) = (1 — Л)ф(х1, у1) + (1 — Л)(ф(х„у,) — ф(х„у1П + Лд'(хг) « «Ихг х!Ц + иГ(хг) Если теперь положить Ь Л = — — (хд — хг'1, ~ (*2) (3.40) то из предыдущего неравенства вытекает соотношение ф(х„у1 — — ))х, — х, ( (у(х ) — ул))(0. д'( ) Таким образом, любой точке у1ш а(х1) можно поставить в соответствие точку узша(х2) по следующей формуле: Ь у = у — — $ — хЯ(у(хг) — у) ( 2) $ а неОБхОдимые услОВия минимума 299 Так как Ю(хг) (О, а а(х) ограничены на компакте, то )) Уг — Уг (~( т ) ~У (хг) — Уг ~)) хг — хг ~/( Ь11х1 — хг $ Ь (3.41) для некоторого Ль Кроме того, если норма 1х, — хг1 достаточно мала, то Л, определяемое формулой (3.40), лежит в промежутке (О, 1), так что проведенные выкладки законны.
Итак, если только разность х1 — хг достаточно мала, то каждой точке у~ ш а(х1) можно поставить в соответствие точку уз~а(хг), так что будет выполнено неравенство (3.41). Если учесть полную равноправность х1 и хг, то формула (3.41) показывает, что расстояние между множествами а(х~) н а(хг) не превосходит ь|1х, — хг1, т. е.
отображение а удовлетворяет локальному условию Липшица. Из локального условия Липшица с одной и той же константой Ь| следует глобальное условие на всем связном компакте. Пример 31. Пусть ~р(х,' у) — непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям леммы 3.5. Так 'как у(а=(г: <р(й) -=0), а ~р(г), г= (х, у),— гладкая функция, то в соответствии с формулой (2.20) предыдущего параграфа получаем ах (у~; г) = = [Л~р„(г): у* =- — Ьр„(г), Л) О, Ьр(г) = О) (3.42) и прп етом конусы ((г: (г, <р,(г))(0), если ~р(г) = О, (2, если ~р (г) (0 являются локальными шатрами к ура в точке г. Рассмотрим зависимость локально сопряженного отображеяия от аргументов.
Так как ах(у*; г) не пусто лишь, если у~ = / = — Л~рт(г), то требование ограниченности а* эквивалентно тому, что существует такая константа с, что. ~ фх (г) ~ ~~ с ~ грт (г) ~. 300 Гл. тх зАдАчи ОптимАльнОГО упРАВлнния Ф Если фт(г) ЧЬО в некотором компактном множестве, то в Ф силу непрерывности ф„(г) и фэ(г) отношение ~ ф„(г) ) ГГф,'тй7 ограничено. Таким образом, если фэ(г) чьО, то аэ — равномерно ограниченное отображение.
Нетрудно проверить, что при этом условии оно полунепрерывно сверху (даже непрерывно) зависит от своих аргументов. Таким образом, предположение С выполнено. Допустим, что множество а(х; уэ) состоит из одной точки. Это будет справедливо, если функция ф(х, у) строго выпукла по у, т. е. ф(х, Л~у~ + Лгут) ( Л1ф(х, у1) + Лгф(х, рг), ЛЬЛЗ~О, Л~+Лг=1. При таком предположении Аэ(х*; х) = а(хэ; (х, х)), так как в силу утверждения 3 теоремы 3.2 х и есть тот единственный элемент из а(х), который минимизирует <у, хэ>. Теперь утверждение 2.теоремы 3.2 можно переписать в виде — хэ ~ю аэ(х»; (х, х)) или, учитывая выражение (3.42), — хе(й) = Л(г) ф„(х(й), х(Ю)), (3.43) хе (Ю) = — Л (г) фз (х (С), х (г)), Л(8) ф(х(ю), х(г)) = О. Из этих соотношений следует — „Л($) ф,(7(г), А(г)) = Л Р) ф.
(Р(г), х(г)), (3.44) Л (г) ф (х(Ю), хх(1)) = О. Подведем некоторые итоги. 1 3. неовходимые услОВия минимумА ЗО1 Теорема 3.5. Пусть ф(х, у) — непрерывно дифференцируемая функция, строго выпуклая по у, и множества (у: ф(х, у) (О) равномерно ограничены в е-трубке траектории х(о), гон (О, 1). Кроме того, существует такой вектор у(х) для х иг е-трубки, что Ю(х) ==ф(х, у(х)) — непрерывная строго отрицательная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
