Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда для того, чтобы траектория х мин мигировала фо(х(1)) среди всех траекторий, удовлетворяющих соотношению ф(х(г), х(г)) ~0 и краевым условиям х(0) ои)о, х(1) жЛг, необходимо существование функции Л(г), числа Ло и вектора х1,не равных нулю одновременно и таких, что х, — Л(1) р„(, (1),. (1)) = Л,ф,( (1)), (3.45) — фо(х(0), х(0)) я Кк(х(0)), хю еи Км(х(1))„ и выполнены соотношения (3.44). Заметим, что соотношения (3.45) есть просто утверждение 1 теоремы 3.2, переписанное с использованием соотношения (3.43). Пример 3.2. Пусть ф(х, у) непрерывная функция, выпуклая по совокупности аргументов. Тогда отображение а(х) = (у: ф(х, у) < О) (3.46) выпукло и замкнуто.
Если хотя бы для одного х множество а(х) ограничено, то отобран;ение а ограничено согласно лемме 111.1 1. Если траектория х(г), о ~е (О, 11, целиком лежит в 1п$ йоша, то применима теорема 3.3. Чтобы записать конкретный вид необходимых условий, надо вычислить локально сопряженное отображение к отображению а.
Но согласно теореме 1П.3.2 ао (у*; г) = = [Лхоо: у" = — Луг| (хо уо) епдф(г), Л~)0, Лф(г) =0)о если только существует такая точка ги что ф(г1) ~0. 302 ГЛ. Чь ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Поэтому условие 2 теоремы 3.3 может быть записано в виде — х (1) = Л(1) х,(й); х*(й) = — Лу, (1); (хо (1) уо (1)) ~ дф (х(1) х(1)) и прп этом Л(г)ф(х(1), х(1)) =О, Л(г) >О, илн, по-иному, — (хвП), хв(г)) ~ИЛ(1)дф(х(Ф), х(г)). Таким образом, применение теоремы З.З для случая, когда отображение а задается при помощи формулы (3.46), приводит к следующему результату. Теорема 3.6.
Пусть ф(х, у) — непрерывная выпуклая по совокупности аргументов функция, множество а(х) ограничено хотя бы для одного значения х, и существует такая точка г1 =(хь у1), что ф(хк у1) (О. Тогда для того, чтобы траектория х(1), )~и(0, 1), целиком лежащая в )п( допт а, минимизировала фз(х(1)) среди всех траекторий, удовлетворяющих неравенству ф(х(1), х(1)) 0 и краевым условиям х(0) ~ИХ, х(1) шЛз, необходимо, чтобы нашлась абсолютно непрерывная функция хв(1), функция Л(1), вектор х1 и число Лз Р- 0 такие, что — (х*(С), хв(1)) <ж Л(1)дф(х(С), х(8)), Л(г) ~0, Л(г)ф(х(г), х(г)) =О, хв (0) ен Кк (х (0)), хю ее Км (х (1)), х*(1)+ х1 = Л ф (х(1)). При етом хв( ° ), х~ и Ль одновременно в нуль не обращаются.
Пример 3.3. Пусть а(х) =згх+ У, З 3. НЕОБХОДИМЫЕ КСЛОБИЯ МИНИМУЫА ЗОЗ г де,зу — пХ п-матрица, а У вЂ” выпуклое замкнутое множество в й". Многозначное отобра~кение а очевидным образом выпукло, замкнуто и ограничено. Согласно примеру 111.3.2, если з = (х, у) и у =.Фх+ и, то ,те*у*, если ув ~ [соп (у — и)[з, я, если у* ф [соо (у — и)')з. Поэтому условие 2 теоремы 3.3 з1ожет быть переписано в следующем виде: (3.47> — х*(з) = Ф*хвО), х(г) = яра(г) + иО), хзИ) ы (соп (У вЂ” и(з)))*, (3.48) где использован тот факт, что выполнение дифференциального включения хана(х(()) в рассматриваемом случае означает, что х =.~ух(г) + и(1), и(1) ы У. Заметим теперь, что согласно определению сопряженного конуса и того, что соп(У вЂ” и(1)) =(Ци — и(1)): и~НУ, Л~О), соотношение (3.48) эквивалентно неравенству (и — и((), хз(1)> ~0, игв У.
(3.49) Из полученных результатов и теоремы 3.3 вытекает справедливость следующей теоремы. Теорема 3.6. Для того, чтобы траектория хИ) и соответствующее ей управление и(() минимизировали <рз(х(1)) среди всех траекторий и управлений, удовлетворяющих уравнению хЮ =,Фх(() + и(1), и(1) ги У, и краевым условиям х(0) ги У, х(1) я М, необходимо, чтобы существов ла (бункция хз(1), вектор х~ и число Лз ~ 0 304 гл. уь зАЛАчи ОптимАльного упРАВления такие, что — хе(г) = лу'*х" (г), <и, хе(()> ) <и((), х*(() >, и ж П, х*(0) ее Кк(х(0))г х~ ИКМ(х(1)), хе (1) + хю = Л,фв (х (1)). Пример 3.4. Допустим, что многозначное отображение а задается выпуклым конусом Кжй" ><К": а(х) (у: (х, у) жК). (3.50) Если а(х) =(0), то согласно лемме Ш.1.2 а — ограниченное отображение, так что при исследовании оптимизационных задач для дифференциального включения х(с) ж а(х(()), где а задается формулой (3.50), или, что то же самое, формулой (хИ), х(()) жК, (3.51) применима теорема 3.3.
В соответствии с примером П1.3.8 а*(у*; г) = (хе: ( — х*, у*) ш К*, <х, хе> = <у, уе>). Отсюда вытекает, что условие 2 теоремы 3.3 можно в данном случае записать в виде (хеИ), х*И)) ж Ке, (3.52) '<х(Ф), хе(Й> ° <хИ), хе9)>. Сформулируем полученный результат. Теорема 3.7. Пусть К вЂ” выпуклый вомкнутый конус и не существует утьО такого, что (О, у) шК. Тогда для того, чтобы траектория х((), гж (О, 11, целиком лежащая в шсдож а, минимизировало фс(х(1)) среди всех траекторий, удовлетворяющих соотношению (хИ), х(1)) жХ $3. НБОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 305 и краевым условиям х(0) еи )е, хИ) ш М, необходимо, чтобы нашлись абсолютно непрерывная функиия хн(с), вектор х~ и число Ле ~ О, не равные одновременно нулю и такие, что (хе(С), хе(с)) ш Ке, <х(с), х*(Е)> = <х(Е), хе(С)> х*(0) е= Кк(х(0)), х~' ен Кщ (х(()), (1)+ х," = Лее0е(х(()) Б.
Н. Навеянный ча БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ Список литературы по линейному программированню, выпуклому анализу, общему математическому программированию, теории оптимального управления и их применения насчитывает сотни наименований. Обаор всей этой литературы сам по себе должен был бы составить целую книгу. Поэтому вдесь мы ограничимся только указаниями монографий и статей обаорного характера, в которых можно найти тот или иной результат, приведенный в этой книге. Такие указания дадут возможность читателю в случае необходимости более детально ознакомиться с реаультатом и рассмотреть его обобщении и применения в различных вадачах.
Эти монографии содержат также дополнительные ссылки на литературу. Ссылки на статьи, не носящие обаорного характера, даются только в случае, если рассматриваемый результат нельая найти в монографической литературе. Исчерпывающему наложению теории выпуклых множеств для коиечномерных пространств посвящена книга Р. Т. Рокафеллара [4]. Книга содержит также большой список литературы, посвященной выпуклому апаливу. Равличные свойства выпуклых множеств ассматривались также в книгах И.
В. Гирсанова [Ц, А. Д. Иофе и В. М. Тихомирова [2], С. Карлииа [Ц, П. Ж. Лорана [Ц, К.— Г. Эльстера, Р. Рейнхардта, М. Шойбле, Г. Доната [Ц. Общие теоремы отделимости и их связь с теоремой Хана — Банаха наложены в книге Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [Ц. Теоремы отделимости для общей системы конусов в конечномерном пространстве получены В. Г, Болтянским [3]. Теория многогранных множеств и систем линейных неравенств подробно рассмотрена в книгах Д. Гейла [Ц, Дж. Данцига [Ц, Г. Куна и А. Таккера (редакторы) [Ц, Р. Т.
Рокафеллара [4]. Выпуклые функции детально изучались в книге Р. Т. Рокафеллара [4]. Двойственность выпуклых функций и свойства субднфференциалов наиболее часто испольауются в вопросах оптимизации. Двойственности выпуклых функций и ее применениям посвящена статья А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [Ц. Рааличные теоремы о свойствах субдиффе енциалов и способах их вычисления приведены в книгах И.
В. санова [Ц, Е. Г. Гольштейна [2], А. Д. Иоффе и В. Л. Левина Ц, А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [1 2], Б. Н. Пшеничного [й, Р. Т. Рокафеллара [4]. 1[рупиый вклад в теорию выпуклых множеств и функций внес французский математик Моро (Могеап О. О.). Подробные ссылки на его работы и труды руководимого им семинара можно найти в монографиях А. Д.
Иоффе н В. М. Тихомирова [2], П. )К. Лорана [Ц, Р. Т. Рокафеллара [4]. БиплиОГРАФичнспип НОммнптАРий Многоаначные отображения стали в последние годы предметом интенсивного изучения. Различные аналитические свойства многозначных отображений и их связь с теорией оптимизации рассмотрены в книге А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [2] и в статье В. И.
Аркина и В. Л. Левина [Ц. Там же имеются ссылки на многочисленные работы французских математиков, прсвященные этим вопросам, в частности, на работы Валадье (Уо)абйег М.) и Кастена (Созгыпб С)ь). В связи с теорией экономических моделей многозначные отображения и связанные с ними экстремальные задачи исследовалнсь в работах В. Л. Макарова и А. М. Рубннова [1, 2]. В статье А.
М. Рубанова [Ц рассмотрена связь многоаначных отображений с различными вопросами $ункционального анализа. Изложение теории многозначных ото ражений, приведенное в главе П1 данной книги, основано на работах В. В. Берсенева [Ц, В. В. Береснева и Б. Н. Пшеничного [Ц. Некоторые нз приведенных в главе П1 результатов ранее не публиковались. Теория линейного программирования и его приложений пзлоясена в многочисленных 'монографиях, в частности, в книгах Д. Гэйла [1], Дж. Б. Данцига [Ц, С. Карлина [Ц, Г. Куйа и А.
Танкера (редакторы) [1]. Различные вопросы выпуклого программирования, в частности необходимые условия экстремума, содержатся в монографиях Е. Г. Голыптейна [1, 2], К. Карлина [Ц, Б. Н. Пшеничного [Ц, Р. Т. Рокафеллара [4]. Много места проблемам двойственности в выпуклом программировании уделено в книгах Е. Г. Гольдштейна [1, 2], Р. Т. Рокафеллара [4] и в статье А.
Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [Ц. Теория наилучшего приближения функции уже стала классическим объектом применения выпуклого программирования. Эти применения к самым различным вопросам теории аппроксимации можно найти в книгах Е. Г. Гольштейна [2], В. Ф. Демьянова и В. Н. Малоземова [Ц, П. Ж. Лорана [Ц, Б. Н. Пшеничного [Ц, В. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
