Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть хь(П) удовлетворяет соотношению И.4). Заметим, что тогда хь(ь) определено только для П= йб, й= О, 1, ... ..., (2" — 1). Доопределнм хь(П) для всех Пш (0,1), положив для с ьн Иб, (й+ 1)6) *о (()ь + 1) 6) — *о (Эб) хо (П) = хо (Н) + (П вЂ” йб) 267 5 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ Так как а(х) — ограниченное отображение, то Па(х1(1) ) П ( сИ + Пх1(1)(1) ~ сИ + г) = 1; поэтому (!хднф+ б) — х1(т)П ~ и для всех с =О, б, ... Отсюда уже нетрудно получить, что Пх,(т ) — х1(т )П « 1г — МЬ для любых Пь Пз 1в [0,1) . Устремим теперь Ь = 2 " к нулю и рассмотрим любую последовательность х1( ), удовлетворяющую включению И.4). Так как все эти.функции равномерно ограничены одной и той же константой Ь, то к ним применима лемма Арцела, из которой следует, что из последовательности функций х1( ) можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности можно предполагать, что сама последовательность х1( ) сходится к некоторой функции хс(.), причем у(6) = шах ( ха(П) — х,(1) П вЂ” 1-0.
(1.9) Ол1И1 Функция хс(1) удовлетворяет условию Липшнца с константой Ь. В самом деле, Пхо(11) — хо(тз) П ~ Пхо(11) — х1(11) П + + Пх1(т~) — х1(П1) П + Пх1((з) — хс(11)П ИП ~7(б) +! 21 — ПзЮ+ 7(б). Устремляя б к нулю, получаем требуемый результат. Итак, хс(1) удовлетворяет условию Липщица и, аначнт почти всюДУ ДиффеРенЦиРУема.
Покажем, что хэ(1) удовлетворяет выражению ИИ). Действительно, пусть тю 1н (0,1) — точка, в которой существует производная хс(1). Тогда для е ) 0 найдется А такое, что — хо (8о) — е ',э 1 ( е, (1ИО) л *.(1)-*.«1) П 3 1 как только (11 — Пз( ( 11. Так как Пх1(() — ходус) П ~ ~(хь (т) — х1(то) П + + Пха(зо) — хс(тз)<( ~ ИП вЂ” тз(+ 7(В), 266 Гл. уг. 3АЛАчп Оптпмьльного упРАВления то в силу полунепрерывности сверху отображения а спра- ведливо включение а(хо(»)) ы а(хо(»о)) + еВ (1Л1) (напомним, что  — единичный шар в йг), как только разность (» — »о) и 6 достаточно малы. Допустим, что вкл»о- чение (1.11) выполняется, если выполнены следующие условия: (» — »01<61, 6<60.
(1Л2) *о(1) хь(»1) ~< 1 *о(»3) хь(»г) -е (113) 2 1 3 1 Теперь хь (»,) — хь (»,) чгг 6 хь(»+ 61 — хь (») 6 2 1 »=»„»,+Ь,...,»,-Ь 1 Тогда в силу включений (1.4) и (1Л1) выполняется соот- ношение о (»3) ь (»1) ~~~)~~ 6 ( ( (» )) + В) 3' 1 »=»„»,+Ь,...,», Ь 3 1 нли, так как а(хо(»о)) — выпуклое множество, ' ~ (а(хо(» ))+ еВ). (1.14) 2 1 Из очевидного соотношения хо(»2) хо( 1) 3 1 » О 2 Ь 2+ 3 1+ *о (»2) *о ( г) *ь (»г) хь (»1) *ь (» ) (» ) 3 1 2 1 2 1 (1.15) Пусть»1 и»3 — фиксированные точки, имеющие вид »1 = й»бь»3 = йгбь 61 < бо, причем»1 <»0<»2, )»» — »2! < <»31. Так как 6 = 2-", то при 6 < 6~ точки»1 и»2 будут входить в разбиение отрезка н будут иметь аналогичный вид при всяком 6.
Выберем 6 настолько малым, чтобы были справедливы неравенства 269 т ь диефвткнцилльныв включвния н формул ИЛО), И.13), И.14) вытекает, что — „, хо(Со) еи а(хо(Со)) +4еВ. Так как е) 0 произвольно, то из последнего включения получаем — х, (С,) ен а (х„(С,)), откуда вытекает, что хо(С) есть решение включения ИЛ). Выше было доказано, что хо(С) удовлетворяет условию Лнпшпца. Наконец, предельный переход в неравенстве И.7) дает оценку )!хо(С)!! ( е" И + !!хо!И вЂ” 1. Теорема 1Л показывает, что некоторые траектории дифференциального включения ИЛ) могут быть аппроксимнрованы решением разностного включения 1.4.
Следугощая теорема утверждает, что при дополнительных предположениях любое решение ИЛ) допускает такую аппроксимацию. Определение 1.1. Если х(С) он К", Сш(0,1),— произвольная кривая, то ее е-трубной называется множество точеь х таких, что (!х — х(С)!! ( е при некотором С он (0,1). Теорема 1.2. Пусть а — выпунлозначное гамннутое отображение, а(х) — ограничено и х(С), С он (0,1),— решение дифференциального включения ИЛ).
Пусть, далее, отображение а удовлетворяет условию Липшица в неяоторой е-трубке траектории х(С). Тогда существует такое решение хо(С) рагностного включения И.4), что !!х(С) — хо(С)!! ( с~б, С =О, 6, ..., 1, и константа с~ не зависит от 6. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пололгпы и(С) = — х(С) ен а(х(С)). Тогда ыо х(С+6) — х(С) = ( и(С)дС. 1 270 ГЛ. ЧЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Поэтому для любого хо си К" выполняется соотношение (х(с+ 6) — х(ь), хо) = с+о с+ь ~ (и(т), хо) с(т) ~ И',(х(т), хо)с(т. (116) Так как отображение а удовлетворяет условию Липшпца, то по лемме т'.3.2 имеем 1И а(хс~ х*) И' (хо х ) ) «( Хьхс хсПх~~) (1,1 7) для хс и хо из е-трубки траектории хП).
По предположению а удовлетворяет условию Липшица в е-трубке и так как а(хо) ограничено, то все множества а(х(ь)) ограничены в совокупности. Значит, для сс ( сз выполняется неравенство »х (~с) х (1о)» 1с, сс = »~ и(с) с(Г»( ~ »и(с)»с(с< Хо) Фс — то) (1 18) где Х,с = епр»а(х(с))», т. е.
Х(с) удовлетворяет услоо<с<с впю Липшица с константой Х с. Из соотношений (1.18) — (1.18) вытекают неравенства (х(Г + 6) — х(т), хо) Ъ с+ь .=: ) [И~,(х(т), хо) — И",(х(Ф), хо)»сст+ 6И',(х(1), хо) Ъ с+ь ) 6И',(х(с), хо) — Х»х*» ~ »х(т) — х(Ф)»Ыт~ с с+ь ) 6И о(х(Ю), хь) — Х Х~с»хо» ~ (т — () с(т = = 6И'о(х(1), хв) — — ХХс»хо»6'. (119) Согласно формуле Ч.8.1 И', (х, уо) = (п1 ((у, у*): у ~ а(х)), $ Ь. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 271 и поэтому легко проверить, что ЬЬ 6Игь (х(С), х*) — — )) хе Ц 62— Ы,62 = (п1 <у, хе): р ~ ба (х(С)) + — ' В, хй+ 6) ш х(С) + ба(х(С)) + Й262В, 1 где 2" 2 = —.бЬ2.
2 Построим теперь траекторию хь(С). Пусть 6( —. 28 Еоьс ' И.202 Положим х,(0) =хо. Дальнейшие точки строятся рекуррентно. Если точки хь(С), С О, б, ..., йб, уже построены, то в качестве хьИй+ 1)б) выбирается точка из множества хьйб) + ба(хьйб)), ближайшая к хИ)о+ 1)б). При этом, в силу включения (1.20) выполняются соотношенля хИй+ 1)б) ш хйб) + ба(хйб)) + Й262В, (1.21) хьИЙ+ 1)б) ьи хь(йб) + ба(хьйбП. Так как а удовлетворяет условию Липшица в е-трубке решения х(С), а х(йб), как будет показано ниже, не выходит за е-трубку, то а(хйЫ) ш айь(йб)) + 1Ах(йЫ вЂ” хьйб)СВ.
Из соотношений (1.21) и выбора хьИй+ 1)6) следует, что Аьь2 ~ ПхИЙ+ 1)б) — хьИЙ+ 1)6)2 ~ 1х(йб) - хь(йб)1+ К61х(йб) — ь(йб)С+ К262- = (1+ И)Ь вЂ” С 262, где, как обычно,  — единичный шар в К". Аналогично доказательству теоремы 1.2.7 в силу замкнутости а(х(С)), можно показать, что выполнение неравенства И.19) при всех х* означает, что х(С+ 6) — х(С) ш ба(хй)) + Ь262В, 272 гл.
ъь зьдлчн оптимального упэлвлкния Итак, Лам < (1+Хб)бь+Ьзб~, В=О, 1, ° ° ., 2 — 1~ откуда с учетом того, что Аз = О, получаем неравенство Ль =1х(йб) — хз(йб)~~< < 2 Хч(1+ Хб)" 6< — Хг(1+ Хб)изб. (1.22) Так как (1+ Хб)"' ( е', то Ль к — Хчсьб ( з, и построенная траектория не выходит за е-трубки решения х(г), так что приведенные рассуждения были правомочны. $ Если обозначить с, = — Хгеь, то неравенство (1.22) показывает, что Л,(с~б, й= О, 1, ..., 2", 1х(С) — х,(С)1 ~ с,б, с=0,6, ...,1, что и требовалось доказать.
$2. Задача оптимального управления с дискретным временем В $6 главы 1Ч была рассмотрена задача оптимального управления моделью зкономической динамики. В этом параграфе будет рассмотрена аналогичная задача, однако уже без предположения о выпуклости входящих в задачу функций и множеств. Поскольку рассуждения, используемые ниже, в существенном аналогичны рассуждениям 3 б главы 1Ч, то читателю рекомендуется еще раз ознакомиться с материалом этого параграфа. Пусть Х = У= И" и а — некоторое многозначное отображение. рассмотрим систему включений х+,ыа(х,), г=О, 1, ..., Т вЂ” 1, (21) где Т вЂ” фиксированное целое число. Всякую последовательность векторов (х,), з,„„т, удовлетворяющих включению (2.1), назовем траекторией. Среди всех траекторий 5 2. ЗАцАчА с дискРетным ВРеменем а7З требуется выбрать такую, которая начинается на множестве )ч' и оканчивается на множестве М, где )и' и М— заданные множества, т.
е. хеенУ, хееиМ, н минимизирует сумму т ~б(, о 2). (2.2) Поскольку в этой книге проблемы существования решеняя не рассматриваются, будем предполагать, что оптимальная траектория (хд -О...; существует и наша задача состоит в том, чтобы охарактеризовать ее, т. е. написать необходимые условия минимума. Сформулируем явно предположения, при которых будет решаться задача.
Основное предположение. 1. Отображение а таково, что конусы касательных направлений К,(хо х,,1), 8=0, 1, ..., Т вЂ” 1, являются локальными шатрами. 2. Конусы касательных направлений Кн(хе) и Кы(хг) являются локальными шатрами. 3. Функции б(х, 2), 2=0, ..., Т, в точках х, допускают верхнюю выпуклую аппроксимацию й,(х, х,), которая непрерывна по х. Таким образом, определены субдифференцналы дя(х„2) = дй,(0, х,). В дальнейшем будем следовать схеме исследования, рассмотренной в $6 главы 1У. При этом в основу рассуждений будет положена теорема Ч.4.2, Рассмотрим пространство траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
