Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(3.35) Теорема 3.5. Пусть <р(г) непрерывно дифференцируема по г и р,(г), цг(г) векторы ее частных производных по х и у, г = (х, у) соответственно. Допустиц что функция 1(х) = ш1 [(у, у*): (х, у) е= К (г)) замкнута, а функция 1(х), определяемая соотношением (3.34), удовлетворяет условию гУипшица. Тогда для любого у я а (х), г = (х, у), функция Ь (х, х) = (х, х„' (г)) + (п1 ((у, ц„(г)): (х, у) ~'К,'(г)) есть верхняя выпуклая аппроксимация для функции ~, а д~ (х) = <р (г) + а*(ср„(г); г) — соответствующий субдифференциал. Доказательство. Пусть г=(х, у)~ЕК(г), г= = (х, у), ушат(г). По определению конуса касательных направлений существует такая функция т().) ш г, 240 гл.
ч. нковходимыв головня экстгкмгма Л"'гОЛ) — О при Л 4 0, что з + Лз + г(Л) ~и 31 а при достаточно малых Л > О, или у + Лу + г„(Л) ~ю а(х + Лх + г,(Л) ), (3.36) где г„, г„— компоненты функции г, соответствующие пространствам Х и У, в прямое произведение которых разлагается Я. Согласно замечанию, сделанному после определения 2.1, если функция 1(х) удовлетворяет условию Липшица, то у(- ) П „р г( +Лх) — 1(~) Точно также можно было бы показать, что о( ) П „р Р( +й+ (Л)) — ~(*) независимо от выбора функции г(Л), Л-'г(Л) — О при Л- О. По определению формулой (3.34) функции ~ и из того, что у ~и а,(х), вытекает неравенство У(*+ Лх+ г (Л)) — ~(з) ф(з+ Лз+- г(Л)) ф(~) Л Поэтому / (р+ Лд+ г„(Л)) — р (з) Р(х, х) = 11шзпр Лге ф( +Лз+ г(Л)) — ф(в) ~~11ш зир = (х, ф„(г)) + (у, фт (з)).
Если х зафиксировано, то у может быть выбрано любым из множества а,(х) = (у: (х, у) ~Б К (з)). Поэтому Р (х, х) ((х, ф (з)) + (п( [(у, фт(г)): у я а, (х)]. (3.37) % Ь ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 241 Если а,(х) = И, то по соглашению 1п1[(у, ф„'(г)): у ее а,(х)! = + оо, т. е. соотношение (3.37) выполняется тривиальным образом. Заметим теперь, что если применить теорему '111.4.5 к отооражению а„ задаваемому конусом б1а, =К.(г), то придем к следующему соотношению: 1п1 [(у, ф„(г)): у я а,(х)! = г = зпр [(х, хе): хх ~ а, (фт (г)) ! ~ х* нлн, учитывая формулы (3.11), (3.12), 1п1 [(у, фт (г)): у ~ а, (х)! = =- зпр [(х.
х*): хе е= а~ (ф„(г); г) !. х* Итак, если обозначить Ь(х, х) = = (х. ф„'.(г))+ зпр [(х. х*): хх ы а*(фх(г), г)[, то выполняется неравенство Р(х, х) =ба(х, х). Из выражения для функции Ь видно, что это — положительно однородная выпуклая, замкнутая функция х. Итак, й(х, х) есть верхняя выпуклая аппроксимация 1 в точке х. Использование теоремы 11.3.11 показывает, что д/(х) = — ду(0, х) = ф,(г) + а*(фг(г), г). Доказательство теоремы завершено. в 4.
Общие необходимые условия минимума Построение необходимых условий экстремума тесна связано с классами множеств и функций, которые участвуют в задаче. В предыдущих параграфах такие классы )с в, н. пшеаачагш 242 гл. ч. нковходимыв головня зкстгкм ма были введены и исследованы, так что теперь формулировка необходимых условий зкстремума может быть дана сравнительно просто. $. Ограничения, задаваемые произвольными множа овнами. Теорема 4.1.
Пусть хо — точка минимума функции 1(х) на множестве М и пусть Ых, хо) — верхняя выпуклая аппроксимация )' в точке хо. Тогда, если выполнено условие пй йош й( ч хо) 0 К~(хо) чь И, то дУ(хо) П Км(хо) Ф Я. Доказательство. Так как хо — точка минимума, то Ых, хо) >О для всех хонК„(хо). В самом деле, если хыК„(хо) и Ых, хо) (О, то существует такая функция тй), Л 'тй) — 0 при Л Ф О, что хо+ Лх+ тй) ен М. Позтому 1 1 ш У(*,+ Лв+.(Л)) — )(в,) ' (Р(х, хо)(й(х,хо)(0, кое т.
е. при достаточно малых Л) О 1(хо+Лх+т(Л)) (1(хо) в противоречии с тем, что.хо — точка минимума. Таким образом, выпуклая функция Ых, хо) достигает своего минимума на выпуклом множестве Кк(хо) в точке х=О. Согласно теореме 1Ч.2.2 зто возможно лишь если д1 (хо) П Км (хо) Ф З что и требовалось доказать. Следствие. Пусть функция 1 допускает верхнюю выпуклую аппроксилюцию й(х, хо) в точке хо.
Тогда для того, чтобы точка хо была точкой минимума функции 1 необходимо выполнение условия О он д)(хо). Важно отметить, что зто условие должно выполняться для любого субдифференциала. Для иллюстрации рассмотрим функцию (О, х(0, "х) =Ь., х~О. Тогда, если с ) О, то согласно вычислениям, проведенным $». ОБЩИЕ НЕОВХОДНМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 243 в $2, любое число а>0 является субдифференциалом. Таким образом, условие ОюдЦО) не выполнено. С другой стороны, если с ~ О, то любой субдифференциал д(,(0) содержит множество ( —, 0), и, значит, 0»ид1,(0). Этот пример показывает, что полученные необходимые условия минимума могут быть зффектными даже для разрывных функций.
Теорема 4.2. Пусть хо — точка минимума у»ункции 1(хо) на мнохсестее »)» = П М». »=» Пусть, далее, ) допускает в хо верхнюю выпуклую аппроксилищию )»(х, хо), конусы Км (хо) являются локоль- ными шатрами и 11бо й('*.)П~ () К»( ) , -)2(. 1 Тоеда существует такое число Л>0 и такие векторы ь Ф х» а= Км (хо), не все одновременно равные нулю, что Лхо = .Е х;*, хо ~ д» (хо).
»=1 Доказательство. Если конусы К»=— Км,(х,) от- делимы, то существуют такие не все равные нулю век- торы х», »=1,...,т что ~х;=О, х»внК», »=1 и требуемый теоремой результат получается, если поло- жить Л О. Если же конусы К», »=1, ..., т, неотделимы, то со- гласно теореме 1.2 для любого вектора хо~ г(Х, К= П К», »» т существуют такие конус () и функция»(»(х), что хо ы»1 О, Еш () = Ьш К, () — К, »р(х) = х+ т(х), 1х1 'т(х) — О, алл гл.
у, неОБхОдимые условия экстРемумА если х- О, и, кроме того, ха+ 1у(х) 1Е М для хая() 0 (еВ), в ~0. Поэтому при достаточно малых Л) 0 выполняется соотношение ха + 1Р(Хха) = ха + ) ха + т()'ха) ж М ) 'т(лха) — 0 при Х Ф 0 и, значит, ха — касательное направление. Таким образом, конус и'К есть конус касательных направлений к М в точке ха.
По предположению теоремы Ма й(, *,) ОК~)У, т. е. существует вектор х1 ая 1Е1оошй(, ха) и х1 ыК. Так как любой вектор из выпуклого множества может быть приближен векторами из его относительной внутренности к х есть внутренняя точка йошй(, ха), то найдется вектор ха ~ гу К, одновременно принадлежащий 1Е$ йош й(, ха).
Таким образом, г1 К есть конус касательных направлений к М в точке ха, для которого выполнены предположения теоремы 4.1. Поэтому д~(ха) 0 (г1К)*Ф 8. Но согласно лемме 1.1.6 К= (11К) и (пК)*=Ка. Следовательно, д)'(ха) 0 К*Ф ~Л Так как конусы Ка 1'=1, ..., т, неотделимы, то в соответствии с теоремой 1.3.3 можем записать, что К* = ~~Р К;. 1=1 ха ~ дт (ха) Это означает, что найдется такой вектор и такие векторы х; е= К1, что Ха = Х Х1 ° 1=1 Доказательство завершено.
Следствие 1. Пусть ха точна минимума Яуннуии Ях) при дополнительном условии )1(х) =О, 1=1, ..., тп, 4 4. ОБШНЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 245 где 1,(х) — непрерывно дифференцируемые функции для 1= О, 1, ..., т. Тогда существуют такие числа у'*, 1= 0, 1, ..., и, что ~г у'*Е; (хг) = О, уз*) О, 1=0 и не все числа у'* равны нулю одновременно, Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество ЛЕ=(х: 1,(х) =О, 4=1, ..., т). 1 Возможны два случая: градиенты )1(хг), 1=1, ..., ш, линейно зависимы и градиенты линейпо независимы.
В первом случае положим уг* = О, а в качестве у'г, 1=1, ..., гп, возьмем числа из линейный комбинации .~ ~у1*Е; (х ) = О. 1=1 Во втором случае согласно примеру 1.1 имеем Км(х,) = (х: <х, Е (х,)> = О, 1= 1,..., 1п), ~» Км(х) = х*: х*= ~ч'.", )1Е1(хг), 11~ К1, 1'=1,...,кг . 1=1 Так как Ео(х) — гладкая функция, то дЕ»(хг) = (Ег(хг)). п применение теоремы 4.1 дает равенство т Ев(хо) = Х 2ЯЬ (хе) ~ откуда получается требуемый результат, если положить у — 1, у — — Х;, 1 — 1,...,гп. Слелствие 2. ПУсть хг — точка минилгдма фУнкции Ег(х) при ограничениях Е,(х) < О, 1'1вЕ, Е,(х) = О, 11ИЕ, где функции (,(х), 1ы(О) 0Е 0 Е, непрерывно дифференцируемы. Тогда существуют такие числа у'*, 11к (О) 0 0Е 0Е, что у1*Е; (хг) = О, ожвиг 01 Ззз гл. ч.
нвовходимыв головня зкстгвмтмл причем, не все числа у'о равны нулю, и у'о ~ О, зов (0) 0 Х, уооХ (хо) = О, Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множества (х: Хо(х)<0), 1я1, Х;(х) =О, Мс= Х~ 1я1 Хо(хо)<0~ (х: 1;(х) = 0), В соответствии с примерами 1.3 п 1.4 конусы [х: <х, Х,' (хо)) < 0[, 1 ~ 1-, Хо(хо) = О.
Х, 1 ~ 1 Хо (хо) < 0 [х: (х, Х; (хо)) = 0[, 1 ен 1 Положив ус* = Л, у'о =Ля получаем требуемый результат. Если Х;,(хо) = 0 для некоторого Хо он Х, Хо(хо) = 0 пли зоиХ, то достаточно положить у'* = 1 и у'* = 0 для всех остальных Л Следствие 3. Пусть хо — точка минимума функции Хо(х) при озраниченилх Х,(х) < О, Х;(х) =О, 1он Х, 1се1, хоиМ, зде функции Л(х) непрерывно дифференцируемы, а мнохсество М выпукло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
