Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Элементами пространства Я являются векторы з, представляющие собой пары (х, у). Многозначное отображение а задано, если задано множество 3(аж Я, называемое графиком а; при этом а(х) =(у: (х, у) 1и я(а). В дальнейшем будут изучаться, в основном, выпуклозначные отображения, т. е. такие, для которых множество а(х) выпукло при любом хыбоша. Для таких отображений имеет смысл ввести следующие обозначения: 'гу,(Х, у*) = (В1((у, у*)( у ЕБ а(Х)), (3Л) а(х; уз) =(ужа(х): <у, уз> И'.(х, у*)). (3.2) о О.
ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 225 Л е м м а ЗЛ. Пусть а — выпуклогначное замкнутое ограниченное непрерывное отображение. Тогда Ит.(х, у*) есть непрерывная функция, а множество а(х; у*) полу- непрерывно сверху зависит от своих аргументов. Доказательство. Пусть хо~боша. Так как ото- браженпе а(х) непрерывно в точке хо, то для любого открытого шара П ш У с центром в точке О и радиуса е)О найдется такая окрестность т' точки хо, что а(х) а(хо) + П, а(хо)жа(х) + П (3.3) для всех хон т'.
Зафиксируем уо. Тогда из включений (3.3) следует, что рр',(х, уо)~1пт((у+и, уо>: у~а(хо), $$иЦ<е)= = (п2 ((у, у,>+ (и, уо>+ (у, уо — уо>: юи у ~ а (х), $$ и Ц < е) ~~И' (хо, уо) + (пЕ((и, уо>: Ц и$$ < е)+ и +;п2((у, Уо „о>: У~а(хо)) ~ о >И',(хо, у„) — е$$У*Ц вЂ” Ца(хо)ЦЦУ* — уо Ц и, аналогично, )уи (хо уо) ~ ~Ига(х. у*) — гЦуо Ц вЂ” $$а(х)$$$$у~ — уо Ц. Поэтому $ И а (х1 у ) И а (хо уо) $»и ( е шах ($$ у,*, $$, Ц уо Ц) + (Ц а (х,) Ц + е) Ц у* — уо Ц.
(3.4) При выводе формулы (3.4) было использовано, что в силу первого соотношения (3.3) $$а(х)$$ = зпрЦуЦ: у он а(х))( (епо($$У+ иЦ: у я а(х,), и я П)» Ца(х,)Ц+ е, Из неравенства (3.4) непосредственно следует непрерыв- ность функции И',(х, у*). Докажем второе утверждение. Для этого необходимо показать, что для любой окрестности П нуля в г', т5 В. Н. Пшеввчвыа 226 ГЛ. Ч. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА найдется такое з ) О, что а(х; у*) с= а(х; уо) + ор, (3.5) как только(х — хо') ( е, (у — уо ') ( е. Доказательство проведем от противного, т. е. предположим, что вклоочение (3.5) не имеет места.
Заметим, что, так как множество а(х) ограничено и замкнуто, то множество а(х; уо) также ограничено и замкнуто. Пусть теперьхо-+х„у; — у„но при каждом ( существует таао кая точка у;епа(х;; у;), что у;Ф(х,; у,)+(7. (3.6) Так как отображение а непрерывно, то а(х) лежит в некоторой малой окрестности множества а(хо), а в силу ограниченности последнего все а(х) ограничены прн х, достаточно близких к х,. Но а(х; у*) же(х). Поэтому все а (х;; у; ) ограничены в совокупности п последовательность у< ограничена.
Без ограничения общности можно считать, что у; — у,. По определению множества а(х; у*) имеем (Уи УО) = Иа (Хи УО). Переходя к пределу по непрерывности получаем, что (Уо~ Уо) = И а (хо~ Уо). (3.7) Из вклоочения у;она(х,) в силу замкнутости отображения а вытекает, что уожа(хо). Совместно с равенством (3.7) зто означает, что Уо ~ а (хо; уо). Но последнее противоречит условию (3.6), так как если последовательность не принадлежит некоторой окрестности множества, то п предельная точка не может ей принадлежать.
Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 3.2. Пусть выполнены условия предыдущей леммы и пусть кроме того, а удовлетворяет условию Липиоица. Тогда И',(х, у*) также удовлетворяет условию Липщица. Доказательство. Тот факт, что а удовлетворяет условию Липшица означает, что радиус з шара в формулах (3.3) может быть оценен сверху величиной о 3. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 227 о.1х — хо1. Тогда из неравенства (3.4) следует, что 1И'.(х, У*) — И'.(х„У,") $(ЬПх — хо1шах(1Уо*П,ЦУо))+ +((а(хо)!)+ о ')х — хо/!)1!У Уо!! (3 8) (3.9) называется локально сопряженным к а в точке г.
Так как конус К Ь) определен не однозначно, то и локально сопряженное отображение определено не однозначно. Однако, если отображение а — выпуклое, т. е. я1 а есть выпуклое множество, то в качестве К.(г) всегда будет браться конус К,(г) = соп (у(а — г); (ЗЛО) поэтому локально сопряженное отображение в этом случае будет совпадать с введенным в 3 2 главы 111. Если отображение а,Ь) определить по .формуле а,(х) = (у: (х, у) ов К.(г)), (ЗЛ1) то ао (у*; г) = а, (у*); (ЗЛ2) отображение а," задается определением 111Л.9, если в нем в качестве конуса К взять конус К.(г). В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться выпуклозначные отображения.
Для таких отображений направления '1(О, у1 — у), у~<и а(х), г = (х, у), 1 ) О, в силу выпуклости а(х) всегда будут касательными, так ооо откуда вытекает утверждение леммы. Пусть теперь 81а имеет в каждой своей точке г выпуклый конус касательных направлений К...(г).
Для сокращения будем его обозначать через К,(г). Напомним, что К.Ь) есть конус касательных направлений к Я1а в точке г, если он выпуклый и для каждого г он К.Ь) существует такая функция г: (О, 11 - 2, что г+ Хг+ гй) ои ж я1 а при малых )о ~ О. Определение ЗЛ. Отображение а* (уо; г) = (хо: ( — х*, уо) ~ К, (г)) 228 Рл. у. НВОБходимые условия экстРемуггл как прн достаточно малом Х)0 выполняется соотноше- ние (х, у+Л((у, — у)) ~в 31а. Поэтому для выпуклозначных отображений всюду в дальнейшем будет предполагаться, что К,(г) — (О, соп (а(х) — у)), г = (х, у) ~к 31 а.
(3.13) Лемма 3.3. Если выполнено соотношение (ЗАЗ), то ав(ув; г) чь Ю в том случае, если у ~н а(х; у*). Доказательство. Если хв~аа*(у*; г), то по определению — <х, х*>+ <у, у*> ~0, (х, у) ~иК,(г). В частности, если выполнено включение (ЗАЗ), то <у| — у, у*> )О, у,~ва(х), т. е. И,(х, ув) ~~ <у, ув>. Но уна(х), и поэтому И'.(х, у*) ~ <у, ув>.
Отсюда следует, что И'.(х, ув) = <у, ув>, т. е. у ~в а(х; ув). О п р е д е л е н и е 3.2..Отображение Ав (ув; х) = со ( () а*(у*; (х, у))) (3.14) (виа(всва) называется сопрявхенным к а в точке хш дою а. Лемма 3.4. Если а — выпуклое мнововначное отображение, то А*(у*; х) =а*(у*; (х, у)) =д„Ит,(х, ув), (3.15) еде у — любая точка а(х; ув). Доказательство непосредственно следует из теоремы П1.2.1.
Установим теперь связь между локально сопряженными отображениями и субдифференциалами функций, допускагощих верхнюю выпуклую аппроксимацию. Пусть ~,(х), 1=1, ..., и,— функции, непрерывные в каждой точке х~вбошД и допускающие в каждой точке верхнюю выпуклую аппроксимацию )з;(х, х). Составим $3. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 229 вектор 1(х) ~ий" с компонентами 1,(х), положим а(х) =(у: у>1(хИ, (3.16) 1(г) = (й у' 1;(х), $ = 1,, и) и вычислпм ах(у"', г). Пусть К (г) = (г = (х, у): у* ) Ь~(х, х), (~н1(г)). (3.17) Из выпуклости и положительной однородности функпии й (х, х) следует, что К.(г) — выпуклый конус.
Если (х, у) ~в К,(г), то П а й(,х), Бидо пбо иначе для конечного числа у' невозможно неравен- ство у'~й,(х, х). Если (Ф1(г), то в силу непрерывности Д(х) при до- статочно малых Л>О выполняется неравенство у'+ Лу' > Ях+ Лх), (Ф 1(г), так как у'>(;(х). Если же (ж1(г), то у' Цх) и 1,.( +Лх) — 1,() у'> Ь, (х, х))Р,(х, х) з)1шзпр ' ьго т. е. при достаточно малых Л справедливы неравенства 1 (х+ Лх) — 1 (х) У1' Л у'+ Лу' > Цх + Лх), (~н 1(г). Из сказанного следует, что конус К,(г) действительно есть конус касательных направлений к у(а в точке г.
Вычислим двойственный к нему конус К~ (г). По определению ( — хе, у*) ~ К, (г) тогда и только тогда, когда — <х, хх> + <у, ух> ) О, (х, у) ы К,(г), или — <х, хх) + ~ у'*у'+ ~ у"у') О, жпю гидо (х, у) ен К, (г). (3.18) 230 ГЛ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В силу формулы (ЗЛ7) у' произвольно, в случае, если 1ФПз). Поэтому неравенство (ЗЛ8) возможно лишь при уьа = О, 1'ФПз). (ЗЛ9) Так как для (ш1(з), у') й;(х, х), то неравенство (ЗЛЗ) возможно лишь, если у'е ~ О, (ш 1(з). (3.20) С учетом условий (ЗЛ9) и (3.20) неравенство (ЗЛ8) можно переписать в следующем эквивалентном виде: — (х, хе1 + ~ у"й; (х, х) ) О, (я1(О х ы П дош й, (, х). (3.2$) Ж1(г) Из соотношения (3.21) следует, что выпуклая функция (р(х) = — (х, хе)+ .~~ у("й, (х, х) (3.22) (я1(О достигает минимума по х на множестве М = П доп) й;(. х) (ело в точке х = О.
Предположим, что (п$М= П )п(дошй((, х)ФЯ. (яць) (3.23) Но по теореме П.З.8 субдифференциал д(р состоит нз векторов, имеющих вид — хе +,"~~~ у(*х,', х( ее д11 (х), (я 1(г). ОВ1(*) Тогда, так как дош(р=М, по теореме ПЛ.4 функция (р непрерывна в одной из точек М. Функции й, положительно однородны и поэтому дошй;( °, х) есть выпуклый конус. Отсюда следует, что М есть также выпуклый конус и Кя(О) =М. Применение теоремы 17.2.2 показывает, что в точке х = 0 должно быть выполнено соотношение д)р(0) 0 М*Ф ()(. (3.24) $ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 23( (Напомним, что дХ,(х) == дЬ;(О, х) по определению.) С другой стороны, по теореме 1.3.2 Мь = ~~~~ (()ошЬ((, х))*, (ЕИД Из неравенства (3.24) следует, что существуют такие х, хь(, (юХ(г), что — х*+ „Я у(*х( — — ~ х(ю (Е1Щ ив 1(о хю Бе дХ((х)т х(ь ее (((ош Ь((, х))ь, или х* = ~ (у(*х; — х,(), иапо (3.25) х( Б= дХ((х), хд(я(()ешь((, х)), (~ 1(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
