Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 31
Текст из файла (страница 31)
в. а. для ~„с ~ О, в точке нуль. Простое вычисление показывает, что дУ.(О) - дЬ,(О, О) - (-, О). 14 в. н. пшезичзыа 2(О гл у неОБхОдимые условия экстгемумл Итак, множество ( —, 01 есть субдифференцнал 1, в точке нуль. Так как Ьо(х, О) =Е(х, О), хФО, то для любой другой в.в.а. Ь будет выполнено неравенство й ~ йо. Из леммы 2.2 следует, что д).(0) — ( —, О) для любого субдифференциала д1,(0).
Приведенный пример поучителен тем, что он показывает возможность существования субдифференциалов даже у разрывных функций. Из определений следует, что д(с() =сд1 для с)0. Следугощая теорема показывает наличпе субдпфферепцкала суммы двух функций. Теорема 2Л.
Пусть 1 = ('1 + (о, Ь| и Ьг — в. в. а. для Л1 и 1г в точке х. Тогда ЪГх, х) =Ь1(х, х)+Ьз(х, х) есть в. в. а. для 1' в точке х. Если лри этом (пс дош Ь1( °, х) 0 дош Ьг( °, х) Ф 8, то д~(х) = дух) + д)г(х). Доказательство. По определению ~ (,(*+) +.(й)) г" (х, х) = впр11швпр ~ ' + и) хоо 1 (х + Хл + т (й)) — (д (х) — 3 (х)) (, (х + й* + .,(й)) — 1, (х) впр 1)ш впр х' ' + о() ьОо У„(х+) х+ т, Р,)) — 1,(х) + впр1пп впр ..< > ьоо = Е,(х, х)+ Ео(х, х).
Так как й~ > Ги Ьз ~ Ем то Ь ~ Е. Кроме того, функция Ь выпукла, положительно однородна и замкнута как сум- $2. ФУНКЦИИ, ДОПУСКЛЮЩИК АППРОКСИМАЦИЮ 214 ма выпуклых, положительно однородных н замкнутых функций. Из сказанного следует, что й есть в. в. а. для 1 в точке х и первая часть теоремы доказана. На основании теорем 11.3.8 н 11Л.4 имеем дй(0, х) = д)г1(0, х) + дйг(0, х), т. е. д~(х) = д~1(х) + д~з(х), что и требовалось доказать. 2.
Классы функций, допускающих верхнюю выпуклую аппроксимацию. Рассмотрим вопрос о том, как для некоторых классов функций вычислить верхнвпо аппроксимацию и субдифференциал. Теорема 2.2. Пусть для данной функции )' в точке х функция Г(х, х) выпукла по х и замкнута, если положить г"(О, х) =О. Тогда дг'(О, х) есть субдифференциал функции 1 в точке х и для любого другого субдифференциала д1(х) выполняется включение д)(х) =— 'др(0, х). Доказательство следует иа того, что в предположениях теоремы Р(х, х) есть в.в.а. и для любой другой в.в.а.
Й выполняется неравенство и > Е. Следствие 1. Если функция 1(х) непрерывно дифференцируема в точке х, то й(х, х) = <х,1'(х)> есть в.в.а., а д((х) = (~'(х)). Действительно, для непрерывно дифференцнруемой функции Е(х, х) = <х, 1'(х)>.
Следствие 2. Если )' — выпук ая функция, непрерывная в точке х, то Ьгх ) ~ (~ х) 1;ш 1(+ ь1о есть в.в.а., а обычный субдифференциал выпуклой функции, задаваемой определением 11.3.2, есть субдифференциал в смысле определения 2.3. 44ч 212 гл. у.неовходемые услОВия экстгемумА Доказательство. Так как по теореме 11.1.3 непрерывная выпуклая функция удовлетворяет условию Лнпшица, то легко проверить, что Р(х, х) =1'(х, х). Далее, по теоремам 11.3.2 и 11.3.5 д1(хг) есть ограниченное замкнувшее выпуклое множество и 1т(х,х) = шах[(х, хх): х*ецд1(х,)].
Так как )'(х, х) есть верхняя грань линейных (а значит, непрерывных и тем более замкнутых) фушций, то 1'(х, х) есть замкнутая функция х. Применение теоремы 11.3.11 теперь показывает, что др(0, х) = д~'(х, О) = д~(х). Итак, Р(х, х) есть выпуклая положительно однородная замкнутая функция х, т. е. она удовлетворяет условиям теоремы 2.2, а ее субдифференциал совпадает с обычным субдифференциалом выпуклой функции 1. Это завершает доказательство. Теорема 23. Пусть 1 — вогнутая 4ункция, непрерывная в точке х.
Тогда любая функция вида й(х, х) — <х, хв>, хь~юд( ~(х)) есть в.в.а. для 1 в точке х, а ( — хх), х*шд( — )(х)), есть субди44еренциал )' в х. Здесь д( — )(х)) обозначает обычный субди1дЯеренциал выпуклой функции — ). Д о к а ватель с т во. По определению вогнутости функция Ь(х) — 1(х) выпукла. Так как по теореме П.(.3 функция )г(х) удовлетворяет условию Липшица, то ему удовлетворяет и 1(х). Поэтому Р(х, х) = Пш ~ + ) ~( ) = )'(х,х). Х'40 Х Но тогда Р (х, х) = 1' (х, х) = — ~, (х, х) = = — шах [(х, хв): хх ее д1е (х)] = х~ = ш1В [ — <х, х*): х* ее д1е(х)), х* о г.
фтнкпии, доптсклюшив лпптоксимм1ию 2гз и, значит, Р(х, х)( <х, х*>, х'ыдУо(х). Поэтому Ь(х, х) = — <х, х*> есть в.в.а. Так как дЬ(0, х) =( — хо), то ( — хо) — субдифференциал, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 2.4. Пусть 1 — произвольное множество индексов и при каждом о~1 функция У имеет в точке х в.в.а., равную Ь,(х, х). Пусть У(х) = (п1(У (х): ( ~ 1) 1(х) =Оы1: Цх) У(х)).
Тогда Ь<(х, х) есть в.в.а. функции У в точке х, если (он 1(х), а дЛ(х) — субдофференциал Л(х), соответствующий Ь,(х, х), (ов1(х), одновременно является субдифференцш~ лом функции У в х. Доказательство. Так как У(в+ лг+ т(л)) — 'У(г) У,(*+ лг+ т(л)) — У,(*) л (я1(х), то Р(х, х) <Р,(х, х), гонПх). Поэтому Ь,(х, х), (он Их), есть в.в.а., а дУ,(х) — субдифференцлал функции У в точке х. Пусть теперь А — компактное множество и для каждого а ояА определена функция У(х, а).
Положим У (х) = вор (У(х, а): а еи А). (2.4) Теорема 2.5. Пусть функции У(х, а) непрерывны по совокупности аргументов, когда х меняется в некоторой окрестности точки хо, а аыА. Пусть, кроме того, при каждом аоиА существуют производные по направлению х в точке хо, т, е. определены У'(хо, х, а), причем 2Г4 гл. у. неОБхОдимые услОВия э!<стгемумл рагностное отььоьиение ь (*а + ~"*' и) Г (ва' и) Е (2.5) стремится к ~'(хе, х, а) равномерно по а ьеА при )се О. Тогда функция ь'(х), определенная формулой (2А), дифферениьируема по направлению х и ~'(ха; х) = шахУ'(ха х~ сс): се ее А(ха)1 а где А(х) =(ссевА: )(х, сс) =1(х)). Доказательство. Обозначим 1(* + ГГЛ* и) — 1(* ° и) у(),, сс) ~' (ха, х, сс).
(2.6) для любых ссшА(хОГ)), сссьлА(хе). Из правого неравенства, устремляя )с к нулю, получаем 1(е (Л)) — 1( а) 1(ГИ (ГГ1 ') У' (~, х сс ), Лье нли, так как ссе †произвольн элемент А(ха), 1(ш(Б1 а )шах(7'(ха, х, сс)Г се~А(хе)1. (2.8) 1 ( (ГС)) — У (ге) ььа а Выберем теперь в качестве С произвольное отирьстое подмножество А, содержащее А(хе), С вЂ” А(хе), и покажем, что ГГГГ зир ~'(х„х, и) = шах ~'(х„х, а). (2.9) с лсееГ авс аол(хл Так кнк при каждом )с)0 отношение (2.5) непрерывно по сс и сходится к ь'(хе, х, а) равномерно ма компакте А, то 1'(ха, х, сс) — непрерывная функция сс. Пусть теперь хО.) = хе+ Й. Летно проверить, что имеет место неравенство ~(е(Л).
и) — У(*е и) ) (*(Л)) — 1(*е) ь - л -» ' е а е (2 7) 1 (е (Е) ае) 1 (еа е) О 2. ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮЩИВ АППРОКСИМАЦИЮ 2(о Так как 1'(хо, х, ««) — непрерывная по с«функция, то для любого С вЂ” А(хо) выполняется неравенство зпР1'((хо, х, «2):-ь шал )' (хо, х, «в) аес аеА(х,) и поэтому левая часть соотношения (2.9) всегда не меньше правой. С другой стороны, А(хо) есть заэпонутое подмножество компактного множества А н поэтому А(хо) само компактно. Выоерем з) О и поставим в соответствие каждому ««(я А(хо) окрестность Сг так, чтобы Ю(хо, т, ««) — 1'(хо, х, ««)! <е, «о«ЕП„.
(2.19) Так как А(хо) — компактное множество, а объединение открытых множеств К., очевидно, покрывает А(хо), то существует конечный набор множеств У, например, ~Уа, ° ° ° ~ С(а~, покрывающих А(хо). Обозначим С,= О Са( («т Для любой точки а(иС, найдется такой номер 1, что ««еп 1Г„( В силу неравенства (2ЛО) можно записать )х' (ХО, Х, а) ( ~' (ХО, Х, (2() + З:: ( шах 1'(х„х, ««() +з( шах 1'(хо, х, а)+е. (=(,...,вв аЕА(х,) Поэтому (п1 зпр)'(х„х, ««)( зпр 1'(х„х, а)»( СЫА(х ) аЕС аеСв » (шал 1' 1«хо, х, а) + е. аеА(х,) Так как з ) О произвольно, то получается, что левая часть соотношения (2.9) не болыпе правой.
Сопоставляя это с полученным ранее противоположным неравенством, получаем равенство (2.9). Для завершения доказательства теоремы воспользуемся теперь леммой 11.3.6, в силу которой при достаточно малом А справедливо включение А(х(Х)) - С. Поэтому иэ г(в ГЛ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЗКСТРЕМУМА левого неравенства (2.7) следует, по 1(.
(Л)) — 1(*о) 1( (Л), а) -1(*„а) ( ззр авс = ззу 11' (хо х а) + У (Л, а)1. аас По предположению теоремы 7(Л, а) ~г(Л), г(Л) -О, так как отношение (2.5) стремится к 1'(хо, х, а) равномерно по ашА. Позтому У (*(ЛН вЂ” 1(х,) ' '(зир~'(х„х, а) + г(Л). аас Переходя к пределу сначала по Л т О, а потом беря ниж- нюю грань по всем С вЂ” А(хо), получим, используя равен- ство (2.9), 11шззр „' ( шах ~'(х„х, а). (2.11) ( (х (Л)) — ( (хо) ь(о авл(хе) Сопоставление формул (2.8) и (2А1) завершает доказа- тельство теоремы. Теорема 2.6. Пусть А — компакт, функции 1(х, а), ашА, дифференцируемы по х в окрестности точки хо и Ф градиент )х(х, а) непрерывен по совокупности аргументов х и а. Тогда для функции )(х), определяемой формулой (2А), выполняется соотношение )'(хо, х) =шах((х, ) (хо, а)): а ел А(х,)).
(2А2) а Более того, )'(хо, х) есть в.в.а. для )(х) в точке хо, и соответствующий субдифференциал может быть задан формулой Ц(хо) = со( Ц ~,(хо, а)) = со)х(хо, А(х,)). (2АЗ) 1аал(хй Доказательство. Так как ) (х, а) непрерывно аависит от х в окрестности хо и а (а А, причем А — номпант, то (о()„(х, а) — )„(х„а) $(~ е ( ~ х — хо((), где функция з(Л), монотонно убывая, стремится к нулю, когда Л1 0. О 3. ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮЩИЕ АППРОКСИМАЦИИ 3(7 Используя ненастную в анализе теорему о среднем, получаем, что У(*о+>х а) 1(*о ~) < . у~( ! 0 )~ а)> 0я 0 (П Так как в рассматриваемом случае ,!'(хо, х, а) = <х, У'(хо, а)>, (2А4) то из соотношения (2.6) получаем, что ! ((>,, а) ! = ! <х, У'(хо+ 0 Й, а) — У'(х„а)> ! ( ( ПхППЧ'(хо+ 0 )ох, а) ~'(хо, а)П < ( ПхПе(0,>,ПхП) ( ПхПе(УхП). Отсюда следует, что величина Т(Л, а) равномерно стремится к нулю при )о(0 и все условия теоремы 2.5 выполнены.
Используя результат втой теоремы и формулу (2А4), приходим к соотношению (2А2). Заметам теперь, что тап как )„1х,а) непрерывно зависит от своих артументов и А — компакт, то ~~„(х,а)~~(Ь для всех х из малой окрестности хо и а он А. Воспользовавшись снова теоремой о среднем аначении, получаем, что Ч(х, а) — 1(у, а)! = = !<х — у, ~'(у+0(х — у), а)>! (Их — уП, т. е. функция у(х, а) удовлетворяет в окрестности хо условию Лвзппица. Но ~(х, а) — 1(у, а) ~ У(х) — Ду) (/(х, ао) — У(у, ао), а ов А(у), ао оя А(х). Так нак у(х, а) — ~(у, а) ~ — Их — уП, ~(х, ао) — ~(у, ао) (ЬПх — уП, то !~(х) — ~(у) ! оа Их уП, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
