Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому справедлива формула (1.13'). С другой стороны, х,=л„х+ рй,) и в силу оценки (1.14) выполняется неравенство ! )па ' " "" — (х, ~'(0)) )е) О, У (Льх+ Р(Л4)') 4-~ 4 что противоречит соотношению Й.13'). Полученное противоречие доказывает лемму. Из результатов леммы 1.2 вытекает, что если функции д,(у, х) удовлетворяют условиям а), б) и в) замечания к теореме 11 и, кроме того, выполняется соотношение л, (лз+ р, (л), л + р, (л)) 1(ш ' ' ' ' =<х,л,'„(0,0)> л,о л . для любых у~й) и 4рой), стремящихся к нулю быстрее, чем Л, то справедлива теорема 1 1. Чтобы в этом убедиться, достаточно вместо функции ((х) в условиях теоремы взять д;(у, х), в качестве аргумента х взять пару (у, х), вместо хо — точку (О, 0) и учесть условия а) и б) замечания.
3. Шатры. Конус касательных направлений содержит направления, для каждого из которых в определении 1.1 существует своя функция ~рй). Этого оказывается недостаточно для того, чтобы судить о свойствах множества М. Вводпмое ниже понятие шатра позволяет судить об отображении в М близких меящу собой касательных направлений. Определение 1.3. 'Конус касательных направлений Км(хо) в точке хо онМ называется локальным шатром, если для каждого направления хо ш и К„(хо) существует вы- 5 Ь КОНУСЫ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИИ И ШАТРЫ 197 пуклый конус Ч и определенное в окрестности начала координат непрерывное отображение 19(х) такие, что: а) хо ~ и' чх ) (п () = 1 ш кн Ьо) и ~) — км(хо); б) 1(1(х) =х+г(х), Пх1 'г(х) — О, если х- 0; в) х+ 1(1(х) ж М для хыЧ О (ЕВ) при некотором, е >О.
(Напомним, что  — единичный шар в пространстве Х = К".) Пример 1.3. Пусть множество М задано, как в примере 1.1, и в точке хо выполнены условия леммы 1.1. Покажем, что конус ККЬо), определяемый формулой И.З), является локальным шатром. Для этого составим систему уравнений до (х, у)=71(хо+ х+ (7'(х,))*у) — (х, );(хо)) = О, 1~1, (1 16) в которой неизвестным является у, а х — параметр. Не- трудно видеть, что й(0, 0) =О, 1он1, у;„- (О, 0) = О, 1 ен )', ду1 (о, о) я матрица производных ., 1, (ен Х, совпадает с дуд матрицей ай=У'(х )(У'Ьо))о и поэтому невырождена.
Так как функции 7;(х) непрерыв- но дифференцируемы, то выполнены условия теоремы 1.1. Согласно замечанию к теореме при достаточно малых х существует гладкое решение у(х) такое, что У вЂ” ~-о О. !Я (1И7) Положим ч = Ка(хо) и фх) = х+ (7" (хо))*У(х) И.18) Возьмем х1нч О ЬВ), где е> О, так, чтобы у(х) было оп- ределено в шаре еВ. В силу формулы И.З) соотношение И.16) переходит в равенство ЛЬо+ 1у(х)) = О )ов 1 тзз гл.
у. неОБхОдимые услОВия экстгемумл т. е. хо+ ф(х) ок М. Отсюда и из формул ИЛ7), ИЛ8) следует, что К„(хо) — локальный шатер. Пример 1.4. Пусть множество М задано, как в примере 1.2. Покажем, что конус Км(хо), определяемый формулой И.8), является локальным шатром. Нетрудно видеть, что п Км(хо) =Км(хо). Пусть хоовК„(хо).
Положим б= =шах[(хо, У~(х,)): (еи1 (хо)) (О ПЧ и Е=(х: (х,йх.))<б|Н, 1-(х.), (х, ~~(хо)) = О, 1~1). (1Л9) Тогда хаши ~ и () ж К„(хо). Выберем функцию ф(х), как в прпмере 1.3. На основании теоремы о среднем нетрудно убедиться в том, что ~; (хо+ ~~(х)) = ~о(хо) + (х, 1,'(хо)) + о(1х1), ое=1 . (1.20) Если (~н1 '~1 (хо), то ~л(хо) (О. Тогда из формулы И.20) следует, что Цхо+ф(х)) (О, (ое1 '~1 (хо), И.21) прн малых х. Если (ж1 (хо), то для хоп 9 Цхо+й(х)) ~ ~бб!)+ООГх1) < О, $ое1 (хо), И22) при малых х. Наконец, Дхо+ф(х)) =О, (ы1, И.23) по построению функции е(х). Из формул И.21) — И.23) следует, что при малых хои() сумма хо+ фх) еМ, т.
е. К„(хо) — локальный шатер. Итак, если М задано, как в примере 1.2, и в точке хо У векторы 1;(х,), 1~ 1, линейно независимы, то конус Км(ха), задаваемый формулой И.8), есть локальный шатер. Пример 1.5. Пусть М вЂ” выпуклое множество. Тогда Км(хо) - соп (М вЂ” хо), хо ои М, $ ь кОнусы кАсьтельных нАПРАВленин и шАТРы 199 есть локальный шатер. Не ограничивая общности, можно считать, что хе= О, О~я М и М имеет внутренние точки. В случае, если пйМ= И, нужно рассматривать М относительно пространства ЫвМ. Итак, К (0) =(х: х=Лх, Л)0, хжМ). ПУсть хз ж (п$ К„(0), хз зь О.
Тогда хз+ еВ ы Кя(0), 0 Ф (хо+ еВ) для достаточно малых е ) 0 (напомним, что  — единич- ный шар с центром в нуле). Выберем точки хь 1 1, ... ..., и+1, так, чтобы х;ж(хо+ зВ) и чтобы точка хо была центром симплекса В, натянутого на точки х,. Это воз- можно, как неоднократно было показано в главе 1. По доказанному в главе 1 (см., например, доказательство тео- ремы 1.1.2 и леммы 1.1.6) существует такое е~) О, что хе+ е~ — В ж Кя(0), Так как х<ЫК„(0), то х;=Лд, х ЫМ. Ясно, что Л<>0, так как ж~ зь О, ибо 0 Ф (хе+ зВ), а х~ ж (хз+ еВ). Положим Л„= ш(в ~ —: в' = 1,..., и+ 1~. (1 Так как 0<зМ, х,=Лхь х,жМ, то Лзх;= (1 — ЛзЛю) ' О+ (ЛСЛ~)х~ж М, ибо ЛзЛ, ( 1 по определению Лз.
Позтому ЛзВЫМ. Значит, Лз(хе+ с1В) ж Лз8 — М. Положим теперь () = сон(хе+ е1В) = (х: х =((хе+ е1и), НОВ, () 0). Очевидно, что хзж(п((), 9 ЫКя(0). Так как ОФ (хз+ +зВ) и е1<е, то б = ппп(1х +зги~: и Я В) >О. я эоо Поэтому для х ж ч выполняется соотношение !1х!! = 7(!хе+ е1ию > '(б, или < 1 1-!! Выберем теперь ее~О настолько малым, чтобы ез/6(Лю.
Тогда, если хюн Д, !!хю (ез, то 7~~ з ~ (б (Лю. ЦеД е х = 7(хю+ е,и), Поэтому х = 7 (х + е,и) = = С 7 ) СЛ, (*, + ти)) ( 7 ) СЛ, (, +,В)) С ( 7 ) М, откуда в силу того, что 7 ( Лю, 0 ен М, получаем х~( Л)М т. е. х юн М. Тем самым доказано, что если х ж (), зх)! ( ею, то фх) =хшМ. Это означает, что К„(0) — гладкий локальный шатер к М в точке нуль. Если хюж1пьК„(0), хю — — О, то, повторяя предыдущие рассуждения, убеждаемся, что е1 — М для достаточно малого г~)0, а Км(0) =Х.
Поэтому, полагая в данном случае () =Х, для х, (1х)! (еь получаем, что ~р(х) =хж юв М, что завершает доказательство. Важнейшее свойство шатров состоит в том, что при достаточно общих предположениях пересечение локальных шатров есть снова локальный шатер. Теорема $.2. Пусть М„(ы1,— множества в К, 1 — конечное множество индексов, хю ~ М = П М; 1аг и Км,(хю),(вн1,— локальные шатры множеств М, в точке хю. Если шатры Км (хю), (вн1, неотделимы, то для любого вектора хю еи г(К, где К = П Кмг(хю) еег % Ь КОНУСЫ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ Н ШАТРЫ 3Я сущестеует такой конус ь) и такам у1унк1)ия 1р(х), чтою а) ха1нг1' чы 1лп 9 =1лпК и () Рл К; б) 1У(х) =х+ г(х), ! х1 1г(х) — О, если х- О; в) хо+ 1Р(х) 1и М для х 1я Ь) й (еВ) при некотором е ) О.
Замечание. Функция фх) моя1ет и не быть непрерывной, и позтому К, вообще говоря, не есть локальный шатер к М в точке хс. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся случаем двух множеств М1 и Мг. Для упрощения будем считать, что хе=О, и обозначим К; = Км,. (хз), 1= 1, 2. Рассмотрим конус К =К1 й Кг. Так как конусы К1 п Кг неотделимы, то г1К1 й г1Кг чь Ю и по теореме 1Л.4 1шК=ЬшК1 й ЬшКг, г(К=г1К1 йп'Кг. (1.24) Кроме того, по теореме 1.3.4 1ап К! + Ип Кг = 11". ($.25) Пусть теперь хз1нп'К.
Согласно формулам (1.24) хзж 1н г(КЬ 1=1, 2. Так как К» — локальный шатер к М1 в точке нуль, то существуют такие конусы 9, что хз'ии'()1, 1лп®=1шК1, 9ЕВК„1=1, 2. Кроме того, существуют функции 1Р1Ь? =х+г1(х), Ихб-1г1(х) - О прп х- О такие, что 1Р1(х) шМ„хж Ч1 й (зВ). (1.26) Пусть теперь векторы е1, ..., е„образуют базйс в 1.ш 1,11 = 1апК1, а векторы еь,1, ..., е„принадлежат 1апЧг = 1лп Кг и дополняют базис е1, ..., е„до базиса во всем К". Это возможно, так как справедлива формула (1.25). Составим систему уравнений, записав ее в векторной форме: у (х, у) — 1р1(уге + ... + у"еь + х)— — 1р (х — у"+1ед+1 —... — у"е„) = О.
(1.27) тоз гл. т. нвовлоднмыв головня зкстгвмгма Неизвестным здесь является у с компонентами у', =1, ..., и, а вектор х — параметром. Если обозначить через 8' матрицу со столбцами еь 1=1, ..., я, то имеет место формула у(х, у) = Юу+ г, х+ .~~ у*'е)1 — г, (х — ~ у'е;, Зьа+) (1.28) так как )(ь(х) =х+ г,(х). В силу свойств функции г, + ~ и'~з ЛТ— (1.29) Таь ьак е), ..., е„— базис в К", то матрица Ю невырождена и можно применить теорему 1.1, из которой следует, что существует такая у(х), удовлетворяющая системе (1.27) и такая, что (1.30) Положим теперь Тогда где г(х) = ~.", у'(х) е;+ г,(х+ ~~~ у'(х) е; . ь=т когда х и у стремятся к нулю, и аналогично для гь Поэтому в (*, и) - е )к ) г)=~' + ЬР) 1 в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
