Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, справедлива Теор ем а 5.2. При сделанных выше предположениях существует множество Ао А, состоящее не более чем из и+1 точек си и такое, что точка минимума функции 1(х) является одновременно и точкой минимума функции 1о(х), определенной соотношением (5.5). Используем полученные результаты для решения поставленных выше задач. Пусть 1(х, у) = !!х — у!! и у он А, где А — компакт. Если х чь у, то х — Р х — Р 1'(, у) = — = —. !!в — Р!! 1(х Р)' $ а зАДАчи нАилучшеГО РАвномеРного пРиБлижения 167 Отсюда легко получаем хг = Х Лауаа (5.9) Л,'= О, 1 хг — у«'1 = 7 (хг), 1 = О, ..., и, ~ Л« = 1.
;=о Напомним, что рассматриваемая задача означала поиск центра шара наименьшего радиуса, описанного вокруг компакта А. Геометрическая интерпретация условий (5.9) позволяет сформулировать следующую теорему. Теорема 5.3. Для того чтобы точка хе б«яла центром шара наименьшего радиуса, описанного вокруг компакта А, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие точки у,«НА, 1=0, 1, ..., и, лежащие на поверхности шара, что хг принадлежит симплексу, натянутому на гти точки. Тот факт, что точки у, лежат на поверхности шара, выражается вторым из соотношений (5.9).
Геометрическая пнтерпретация теоремы 5.2 для данного случая достаточно очевидна. Теорема 5А. В данном компакте А — К' существует такое подмножество Аг, состоящее не более чем иг и+1 точек, что шар минимального радиуса, описанный вокруг А, одновременно является шаром минимального радиуса для Аа. Пусть теперь на некотором компакте ЙЖК" заданы непрерывные функции «р«(у), у«и1), 1=1, ..., п. Назовем обобщенным многочленом выражение Р„(х, у) = Р,' ха«Р«(у).
(5.10) а«г Если теперь у(у) — произвольная непрерывная функция, то задача ее приближения при помощи обобщенного многочлена состоит в минимизации функции 7'(х) =шах~у(у) — Р„(х, у)) (5А1) гно по хшК". Пусть А =((у, й) «НК"+«: у«е ьг, 1Ц) <1). $68 ГЛ, 1Ч. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАМЪП1РОВАННВ Положим 7(х, у, $) = $(у(у) — Р (х, у)). Тогда 6(х у $) = Ьр(у) (5Л2) где ф(у) — и-мерный вектор с компонентами ~у~(~).
Нетрудно убедиться в том,что г'(х) = шах(~(х, у, 5): (у, $) ен А). (5ЛЗ) г,г Далее, если (у1, $1) ы А(х), т. е. Е1 (у(у,) — Р„(х, у,)) = = шахД(у(у) — Р„(х, у)): уел(), ($((1), ЬЛ) то Е1 = г(лп(у(у~) — Р (х, у1)). Применение теоремы 5Л к функции 7(х), определяемой соотношением (5Л1) или соотношением (5ЛЗ), дает следующий результат.
Точка хг доставляет наименыпее значение функции ~(х) тогда и только тогда, когда существуют такие точки у~ ш (г, 1 = О, 1, ..., и, что ~~~ ЛД,.<р (уг) = О, 1=г $1 = г(дв(у(у;) — Р„(хг, у1)), (5Л6) (д(у1) — Р„(хо уг)(= ((хг)э 1= О, 1,..., и, (5 17) ХЛ1=1, Л,>О. (5.18) (5.15) Х) Дд(у,) = О, 1=г е;= г!яп (у(у,) — Р (хг, у~)), Теорема 5.5. гтля того чтобы обобщенный много- член Р„(хг, у) был многочленом наилучшего равгтмсрного приближения непрерывной функции у(у) на компакте 11, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие точки у;1ньг, 1=0, 1, ..., и, в которых отклонение многочлена от функции у(у) максимально по модулю и выполнены условия о е.
модвли энономичкскоп дннлмнкп $69 при некоторых неотрицательных и нв обращающихся в нуль одновременно Хо Доказательство теоремы сводится к рассмотрению формул (5.15) — (5.18). То, что числа Хо неотрнцательны и не все равны нулю, следует из условий (5.18). Соотношение (5.17) выражает тот факт, что в точках у~ достигается максимальное уклонение, ибо 1(хо) определяется по формуле (5.11). Теорема 5.2 применительно к рассмотренной задаче получает следующую интерпретацию. Теорема 5.6. Существует подмнолсгство (го компакта й, состоящее не более чвм иг и+ 1 точек и такое, что многочлгн наилучшего приблигквния обункции у(у) на Й является одновременно многочлгном наилучшего приблигхвния на ого.
3 6. Модели экономической динамики Развитие линейного и выпуклого программирования с самого начала тесно связано с решением экономических задач. Прн этом имеется в виду не только решение методами линейного и выпуклого программирования конкретных задач минимизации расходов при ограниченных ресурсах, но и получение некоторых результатов, связанных с уточнением основных понятий, встречающихся в экономической науке. В частности, оказывается, что такое понятие, как цена, тесно связано с решением двойственной задачи выпуклого программирования и с вектором Куна — Таккера. 1. Вектор Куна — Танкера и цены. Чтобы проиллюстрировать связь между вектором Куна — Танкера и ценами, дадим следующую интерпретацию задаче выпуклого программирования, рассмотренной в $2.
Пусть создание некоторого объекта, который характеризуется технологическими параметрами х', хо, ..., х", т. е. вектором х ~ В", имеет стоимость )о(х). При этом имеется и ресурсов в количествах уо,..., уо, и при выборе вектора технологических параметров х количество расходуемого (-го ресурса равно );(х). Таким образом, возникают ограничения (6.1) ~о (х) ( уо, 1 = 1,..., и. 170 ГЛ. 1Ч.
ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Вектор х по техническим соображениям может меняться в некотором множестве Р. Ксли теперь поставить задачу. выбора технологических параметров х так, чтобы минимизировать стоимость создания объекта, то получим задачу ш!п(1о(х): ~1(х)(уо', 1=1,..., т, хяР), (6.2) х т. е. типичную задачу выпуклого программирования в случае, если выполнены соответствующие требования о выпуклости функции (,(х) и множества .Р. Пусть, как и в $2, Г(у) = Ы (~о (х): /1 (х) (у', 1 = 1,..., т, х ен Р) (6.3) х и существует вектор Куна — Танкера уо для задачи (6.2).
Согласно теореме 2.8 уо ее ду (уо). (6.4) х Более того, согласно этой же теореме любой векторуо принадлежащий — д у'(уо), есть вектор Куна — Таккера. В частности, любой такой вектор имеет неотрицательные компоненты согласно определению 2 1. Представим себе теперь, что имеется свободный рынок, на котором можно купить дополнительные ресурсы по ценам у'о, 1=1, ..., т.
Пусть у* есть этот вектор цен. Спрашивается, при каких ценах у* имеет смысл покупать эти ресурсы в количество у — уо ~ О? Очевидно, что тогда стоимость создания объекта будет равна Р'(У)+ (У вЂ” Уо, У*> и покУпка Дополнительных РесУРсов будет иметь смысл лишь, если У(У) + (У Уо Уо) ~ У(уо) Обозначим через Р множество таких векторов у*, для Ф которых существует такой вектор Уо ~( — дт'(уо)), что у*>уз. Так как — у,*ен дх'(уо) то У(У) — У(УО)) — (У вЂ” Уо У~» у(у)+(у — у, у*) у(уо)>(у у у — уо)>О для у ~ уо, т. е. по таким ценам никакая дополнительная Э О.
МОДЕЛИ ЗКОНОМИЧЕСКОН ДИНАМИКИ ттг покупка ресурсов не целесообразна, так как не приводпт к удешевлению общей стоимости разработки. ПУсть тепеРь УоФР. Так как Уо )О, если Уо ~ ~ — дГ(уо), то нетрудно показать, что множество Р замкяуто в силу замкнутости дИуо). Кроме того, Р выпукло, так как выпукло дИуо). По теореме 1.21 существуют такие вектор у и число е ~ О, что <у, у*>«у, зо> — е, гошР. (6.5) По определению Р Р = (зв: з*) Уо длЯ некотоРого Уо ~ — д1'(Уо)).
Поэтому векторы ве с достаточно большими компонентамп всегда принадлежат Р. Тогда нз неравенства (6.5) следует, что у ) О, ибо, в противном случае, устремив з* к +, получили бы — в правой части (6.5). Кроме того, из неравенства (6.5) вытекает, что (У~ У*) + (У Уо) «» е Уо ~ д1 (Уо) или <у, у*)+ акр(<у, зо): го ек ду(уо))( — е. (6.6) е* Если функция Иу) непрерывна в точке уо, то согласно теореме П.3.5 левая часть неравенства (6.6) есть производная по направлению у от функции Г(у) + <у — уо, у*> в точке уо. Так как эта производная меньше отрицательного числа, то при достаточно малых ) ) О ИУо+ХУ)+<(Уо+ЛУ) — Уо, Уо> «ИУо).
(67) Таким образом, если уо ФР, то существует такой вектор у = уо+ > у > уо, что дополнительная покупка ресурсов в количестве у — уо>О по ценам у* приводит к общему сокращению стоимости создания объекта. Сформулируем полученный результат, используя введенную экономическую терминологию.
Т е о р е м а 6.1. Пусть стоимость создания объекта при векторе ресурсов у определяется формулой (6.2). Пусть уо — вектор наличных ресурсов и функуия Иу) непрерывна в точке уо, Тогда приобретение дополнительных ресурсов у — у, ~ О по ценам у* уелесообразно в том 172 ГЛ. 1У. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ и только том случае, когда не существует такого вектора Куна — Танкера задачи (6.2), что узЪ уз. Из приведенной теоремы следует, что вектор Куна— Таккера целесообразно рассматривать как некоторые цены, обусловленные ограниченностью определенных ресурсов. 2.
Абстрактная модель экономической динамики. Попытаемся теперь па абстрактном уровне описать функционирование некоторой экономической системы. Будем считать, что это функционирование происходит дискретно во времени, т. е. время 1 принимает значения О, 1, 2,... ..., Т. При этом, если в момент 1 имеется вектор ресурсов х ж Н", то благодаря деятельности производства этот вектор в момент времени 7 + 1 может быть переработан в один иэ векторов уж а(х), где а(х) — выпуклое многозначное отображение, а(х)ы К". Таким образом, возможные количества ресурсов хо $ = О, 1, ..., Т, по перподам времени связаны соотношениями х,з.11иа(х,), 2=0, 1, ..., Т вЂ” 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
