Главная » Просмотр файлов » Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи

Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 23

Файл №1125256 Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи) 23 страницаБ.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256) страница 232019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

(2.29) Легко подсчитать (так же, как это делалось в доказательстве теоремы 1.4), что КВ,(хо) = =(*: * = — Х ао* 1 >О ХО;( )=О) ~2.30~ 1=О+1 Так как точка хп фигурирующая в условии теоремы, принадлежит и Рь то г(К1(х,) П КВ,(хо)чь Я. Поэтому на основании теоремы 1.4.16 заключаем, что Коо (хо) = Кй (хо) + КВ, (хо) Таким образом, вектор хоен д„Х(хо, уо) можно представить в виде хо = х1 — ~ч.", Лох;, Х1)0, ХД(хо) = О, 1=1,...,т, 1=-1+1 х1 ~ КВ (хо).

(2.31) Тогда пз теоремы 2.6 следует, что существует такой вектор у*,что (2.28) ~(хо уо) ~~~(х> уо) хан Роо Уо Ъ Оэ Уо /1(хо) = О, 1 = 1,..., х. 154 ГЛ. 1У. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Положим тепеРь У~о = Х~, 1=к+1, ..., т. ТогДа т Ь(х, У',) =Т(х, Уо)+ ~ Л1У1(х), и вектор х, = хо + ,~~~ Х;х;, 1=ОО-1 очевидно, принадлежит д„г' (х„у,").

Итак, д„Ь(х„уо) П К*о(х) ~ Я, и из теоремы 2.2 можно заключить, что хо — точка минимума функции Р (х, уо) на множестве Р. Вместе с соотношениями оо)О, Х4~(хо) =О, 1=я+1, ..., т, вытекающими из формул (2.31) и (2.28), это доказывает теорему. 3 3. Двойственные задачи выпуклого программировании Как и в предыдущем. параграфе, рассмотрим задачу выпуклого программирования: минимизировать функцию 1о(х) на множестве М=(х: ~д(х) (О, 1=1, ...,,т, х1НР), Йош~,жР, 1=1, ..., и.

Относительно функций ~,(х) будем предполагать, что они собственные, выпуклые и замкнутые; Р— выпуклое множество. Эти предположения считаются выполненными всюду в этом параграфе и специально не оговариваются в формулировках теорем. Пусть опять Х (х, уо) = до (х) + ~ у ); (х), 1 1 ~Р(у*) =1п((Ь(х, у*): хан Р), уо)О, х 1=-1, ..., и, хяР). о'(у) = 1~1(~~(х): ~1(х)(у1, з 3. Двоиствкнныв ВАдАчи Если ввести многозначное отображение а(у) =((х, х') ~ К"+': ~~(х)(у', 1=1, ..., тп, ~в(х)(хь, х~ О), то, как показано в предыдущем параграфе (формулы (2.11), (2Л4)), (ЗЛ) Рт',(у, О, 1) = т'(у), ф(ув), если ув)0, — оо, если у <О $Э для некоторого й (3.2) Й~ (- у*, О, 1) = Назовем задачу максимизации ф(ув) по всем у*~О двойственной задачей.

Теорема ЗЛ. Пусть У(0) чьж и 1зункция т'(у) полунепрерывна снизу в точке у = О. Тогда 1ИЦ)з(х): хе= М)= зпр(ф(ув): ув~)0), (3.3) т. е. точная нижняя грань в исходной задаче совпадает с точной верхней гранью целевой функции в двойствен- ной задаче. Доказательство. Согласно теореме 111.4.2, при- мененной к введенному многозначному отображению а(у), с учетом замены обозначений (пространства Х н У нужно поменять местами, вместо хз в формуле (4.4) следует взять у = 0) получаем зпр (ьг, (ув, О, 1) + (О, ув)) = Ит, (О, О, 1), гь так как функция И".(у, О, 1) = т'(у) по предположенизо полунепрерывна снизу в нуле, и, значит, условия теоре- мы 111.4.2 выполнены.

Используя соотношения (3.1), (3.2),получаем из последнего равенства зпр(ф(у*): у*)0) = Р (0), Ф что и требовалось доказать. Заметим теперь, что если х ж М, у* > О, то ф (у ) ( Ь (х, у*) = ~ (х) +,."~~ у~'~, (х) ( ~ (х), так что всегда ф(ув) <Дх) для хжМ, ув > О. ГЛ. 1У. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 166 Дадим соотношению (3.3) другую интерпретацию. Легко видеть, что $(х) = зпр(Т (х, у*): уе)0) = Ф Ув(х), если 11(х)((0, 1=1, ..., т, + ОО, если 11(х)) 0 для некоторого 1.

Поэтому соотношение (3.3) эквивалентно следующему: (п1 зпр Ь (х, у*) = зпр 1п1 Ь (х, у*), (3.4) хип вх>в „хэв хап так что равенство (3.3) выполнено тогда п только тогда, когда выполнено равенство (3.4). Т е о р е м а 3.2. Пусть Р— замкнутое мнохсество и мнохсество Ра — точек минимума функиии 1с(х) на в1— ограничено. Тогда выполнены соотношения (3.3) и (3.4).

Доказательство. Определим многозначное отображение а(у, ус) =(х: 1;(х) (у', 1=0, ..., т, хшР). В силу замкнутости ), и Р отобраигение а — замкнутое п выпуклое и Ре = а(0, У(0)), так что а(0, т'(0)) ограничено. Но тогда по лемме 111.11 а(у, ус) — ограниченное отображение и множество а(у, ус) ограничено и замкнуто, т. е. компактно. Пусть теперь у, - О, Нш У(у;) = (А. з Ф Можно предполагать, что )з ( + , так как случай и =* = + тривиален. Тогда У(уг) = 1п1(1,(х): хеп а(уг, р+ з)) (3.5) при больших у. Но а(уь (1+ в) — компактное множество, а рс(х) — замкнутая собственная функция, поэтому нижняя грань в (3.5) достигается в некоторой точке х1сн ш а(УВ (А+ е).

Так как а — огРаниченное отобРажение, то последовательность х, ограничена и из нее можно выбрать сходящуюся. Будем считать, что х1- хс. Так как а — замкнутое отображение, то хв1иа(0, р+з). Тогда из определения а слеДУет, что хс1вМ и (с(хс) ( 11+ а. Но в этом слУчае $ г. дВОЙстВенные эАдАчп 1т(0) ( (А+ э, и так как з > 0 произвольно, то р = 1(ш т'(уг) ~ ИО), 1-~00 т. е. (т(у) полунепрерывна в точке нуль. Для завершения доказательства остается применить результаты теоремы 31.

Теорема 3.3. Пусть задача выпуклого прогр ммиро* винил имеет вектор Куна — Таккера уэ. Тогда выполнены соотношения (3.3), (3.4) и ф(уг) = эпр(ф(у*): у*~~ О). Доказательство. Если у, '— вектор Куна — Таккера, то — у*ги де'(О) по теореме 2.8. Поэтому р(у) ~у(о) — <у, у,*> для всех у. В частности, если у- О, то 1(ш т'(у) Р- т'(0), т. е. функция )т(у) полунепрерывна снизу в нуле. Отсюда по теореме 3 1 следует, что соотношения (3.3) и (3.4) выполнены. Далее, по определению 2.1 ф (у*) = )т. (0) = ш1 (1, (х): х ен М). В то же время выше было показано, что ф(уе) ( 1ь(х) для любого у*~ О, х ~к М.

Поэтому ф(уэ) =1ВХ(Уг(х): хжМ»ф(у*), уе>0, х что завершает доказательство. Комбинируя зту теорему с теоремами 2.5 и 2.10 предыдущего параграфа, гарантировавшими существованпе вектора Куна — Таккера, можно получить различные более просто проверяемые условия, при которых справедливы соотношения (3.3) н (3.4). Заметим также, что если фуякции 1,(х) имеют внд (х, х*.) — сгн 1= 0, ..., и, П =Х, то получающаяся задача есть задача линейного программирования.

Для нее определенное выше многоэначное отображение а(у) многогранно, а поэтому согласно теореме 111.3.6 функция т'(у) = Ит,(у, О, 1) замкнута. Отсгода следует, что спра- ведлива 158 Гл, гт Выпуклок ПРОГРАмииРОВАнпн Теорема 3.4. Если всв Функции 1,(х) имеют вид <х, х~) — ин 1 О, ..., и, т. с. рассматривается задача линейного программирования, то имеют место соотноигения (3.3) и (3.4). Нетрудно убедиться, что получающаяся при этом двойственная задача совпадает с рассмотренной в з 1.

3 4. Некоторые задачи теории приближений Пусть С вЂ” выпуклое компактное множество в Х н О ~н (п(С. По определению И'с (хв) = шах ((х, х*>: х ен С). х Так как Ою (п(С, то С вЂ” еВ, где  — единичный шар, а е ~О. Поэтому Итс(х*)) шах((х, хв>: х~ еВ) = е(х*1. (4Л) Последнее соотношение следует из того, что по известной формуле <х, хв> ( 'гх11х*1, положив хг = е1хг1 'х*, получим хо ю еВ, <хс, хв> = е1хв!!. Возьмем теперь функцию Минковского множества Сс гс(х) =1п1(р: хенрС).

о~в По доказанному в п. 2 3 2 главы 1 функция г,(х) положительно однородна, выпукла и конечна для всех х, так что т,(х) непрерывна по х. Так как С вЂ” компакт, то г,(х) ) О для хФО. Поэтому гс(х) может служить в качестве обобщенного расстояния от точки х до точки О. Введем для компактного выпуклого множества А и замкнутого выпуклого множества М величину Ис (А) М) = ш1(р) О: А с: М+ рС). (4.2) Р В частности, если А состоит из одной точки х, то получается функция дс(х! М), рассмотренная п. 4 $3 главы П.

Вычисление же функции дс(х(М) сводится к оценке расстояния от точки х до множества М, когда метрика задается прп помощи функции т,(х). Чтобы это стало более $ Ь НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НРИЕЛИЖЕНИй 159 ясно, заметим, что Ис(х~М) = )п((р)0: х~ М+ РС) = Р = 1пг гпг (Р )~ О: х еи хг + РС) = х1ям Р = иЛ гп((р: (х — х,) еп РС) = гп( гс(х — хг) х,ям Р х,нм т.

е. ~)с (х!М) = гп((гс (х — х,): х, ~ М). (4.3) х~ В общем случае Нс (А ~ М) = М (р х: 0: А с= М + РС) = = зпр (п((Р) 0: х ей М+РС) = зпр Сс(хз! М). (4.4) хзнА Р х~яА Таким образом, вычисление ох(А~М) сводится к нахождению в А точки, которая наихудшим образом аппроксимируется множеством М в метрике, определяемой множеством С. Если С=В, где  — единичный шар, то г,(х) = ~~ха!, так что в етом случае приближение получается в естественной метрике пространства Х.

Пусть теперь множество М состоит из одной точки х. Тогда сс(А)х) = 1п((р РО: Аях+ РС) = Р = (п((Р~~О: А — х~рС). Р Отсюда видно, что вычисление А(А)х) сводится к на= хождению наименьшего козффнинента растяжения, прга котором мноягество РС содержит А — х. Если поставиты задачу нахождения минимума ох(А!х) по х, то геометрически задача сведется к нахождению такого сдвига множества А, при котором его можно погрузить в множество РС с наименьшим коэффициентом растяжения.

В частности, если С= — шар, то задача состоит в нахождении шара наименьшего радиуса, описанного вокруг А. Рассмотрим, что может дать теория, развитая в пре дыдущих параграфах, для поставленных задач. 160 ГЛ. 1Ч, ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Т е о р е и а 4А. Справедлива формула дс(А) М) = зпр(И' (х*) — Игм(х*): И'с(х*)(1). Доказательство. Согласно теореме П.3.15 дс (х ( М) = зпр ((х, х*) — И', (хе): Иге (х*) ( 1).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее