Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда зпр(й,(х*, у*) + (х, х*>) = И' (х, у ). хх Доказательство. Пусть И".(хо, у") М+ . Обозначим цо = И".(хо, ув). Тогда для любого е ) О существует выпуклая окрестность ь1 точки хо такая, что множество Г. = ((х, у): х ы П, <у, у*> < цо — е) не пересекается с йга(а, т. е. Г.Одга(а=И. Это есть прямое следствие замкнутости Ит.(х, у*).
Далее, ясно, что Г. выпукло. Поэтому по теореме об отделимости выпуклых множеств существует такая пара (25 о 4. ТЕОРЕМЕ ДВОЙСТВЕННОСТИ векторов хо, уо, что они одновременно не равны нулю и (х х,)+(у у )> ($ х )+(Ч у,) (х, у) ее яга1 а, ($, Ч) ~ Г . Положив х = $ = хо, получим <У У,> — <Ч У > (4.2) для у~о(хо), <Ч, У*>~ "(о — е. Покажем, что у" = Лу* и Л ) О, Действительно, из о (4.2) следует, что неравенство. <Ч, у*> ) О влечет неравенство <Ч, У о) ) О. На основании теоремы 1.4.9 отсюда следует, что у"о = Луо. Докажем, что Л)0. Если Л=О, то у,' = Луа = 0 и (4.1) примет при х = хо вид — <х„,*>) — <2,хо>, 5ееП.
(43) Отсюда (ь хо хо) аа 0~ нлн ()а (хо, Уо) ~~ — <хо х*) + 7о — е (4. 4) Таким образом, для данного е нашелся такой вектор х', что при е = хо Па (х У ) + (хо~ хо) ~~)4 а (хо' Уо) нлн в силу произвольности е ) 0 зпр(()а(х 1 у )+ (хо х ))~~И а(хо у ) Сравнивая это с (2.4), получаем то, что требовалось. Теперь рассмотрим случай, когда ога(хо, у*) =+ т. е. а(хо) = З. Пусть (о — любое число. Тогда существует а поэтому х*== О. Но это невозможно, так как х", и у,', одновременно нулю не равны. Итак, Л)0, и поэтому, можно считать, что Л=1, у', = у*. Неравенство (4.1) приобретает внд — (х, х*) + (у, уо) ) — <е, х") + (Ч, у*), д2С ГЛ.
НЬ ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОГОБРАЖЕНИЯ окрестность У точки хз такая, что множества Г. и уга1а не пересекаются и снова получается <4.1). Аналогично, У' = Лу*.Здесь есть две возможностп. а) Для всех тз Л) О, т. е. можно положить у' = ух. Тогда — <х х*,>+<у, у >> — <х„*,)+уз — е, Я 1х', у*) + (х,, х') ~ у — е, р Р.
( ', у') + <*., х*>) =.в уд — е, н так как тз произвольно, то зир 1Я <хе, у*) + (х, х9)] = + оо. б) Для некоторого тс Л О, т. е. у* = О. и мы имеем — (х, х,')> — (Е, х*), (х, у)я уга1а, $ее(1, илн, так как х9 ФО, (х~ х9) ~ (ххах х9) 1Н1 ($ 'д91 х9) ~~ еян ~~ — ('9 х9)+' — (х — х, х*))е, хан йота. е) О, + (х„х") зйх(х', Ух) + ре+ (х„х',). Если теперь взять точку х„в которой Иг,<х, у*) конечна, то, воспользовавшись для нее проведенными ранее рассунддениями, получим, что найдется такой вектор х„ что выполняется неравенство 14.4) с заменой в нем хз, хс на хд, хд. Поэтому 99.<хь у*) конечно.
Для р~ О, учитывая последнее неравенство, получаем ~9 'дххд + рх9' У~) + <х9' хд + рх9) = 1Н1( — (х, хд+рх,) + И',<х,ух))+ (х,х,)+ р(х,х,)= х = 1п11 — (х„хд) + И',(х, ух) — р(х — х„х9))+ % о. Теогемв дВОЙстВеннОсти Поэтому вор(йо(хо, у*)+ (х„х~))) Э ) П, (х*„уо) + рв + (хо, х',) и, устремляя р к +, получаем впр (Й (хо, у") + (х„хо)) = + оо, хо что и требовалось доказать. Теорема 4.2. Если Иг,(х, у*) конечна в точке хо и полунепрерывна снизу в этой точке, то вор(йо(хо, уо)+ (хо хо)) = Иго(хо, у*) (4 5) 9 Действительно, для того чтобы множество Г. Нрн малом в не пересекалось с е( а, достаточно полунепрерывности И'.(х, у*) в точке хо.
Дальнейшее доказательство повторяет предыдущее. Теорема 4.3. Пусть хвои(пвооша и И'.(хо, уо)> > — . Тогда существует такой вектор хо, что По(х ~У )+(хо>х )к Па(хо~у )+(хо~хо) Ио(хо~у )- Доказательство. Множество Го Их, у): х =хо, <у, у*> < И',(хо, уоП и й(а не пересекаются по определению Ит,(хо, уо). Применив теорему отделимости для выпуклых множеств уга и Го, получим неравенство (4Л), в котором вместо Г. будет фигурировать Го.
— (х,х*) + (у, у') ) — ($,х*) + (т), уо), (х, у) ее й(а, ($, т)) ее Г,. (4.6) Положив х = $ = хо, получим (у у)Р(т) у) длЯ У она(хо), <ть Уо> < И',(хо, Уо). Точно так же, как при доказательстве теоремы 4Л, отсюда следует, что Уо = Хуо, А~О. Покажем, что Х "О. Действительно, если 123 Гл.
1п. Выпуклые мнОГОзнАчные ОГОБРА1кения Л=О, т. е.у,*=О, то (4.6) можно переписать в виде <х, х;» <;,,;>, х~ йо т, е. — <х — хю, х„*> » МО для хюн йота, и, в частности, для хюнхю+еВ при малом е ) О, так как хююк 1псйоша. (Напомним, что  — единичный шар в Х.) Однако такое неравенство возможно лишь, если х' = О, т. е. х" = О, у* = О, в противоречии с тем, что х* и у*не равны нулю одновременно. Итак, А~О и можно считать, что ).=1, У,*, = У*.
Теперь (4.6) дает (). (х,*, Уе) ~ )— <хю х,',>+ И'ю (тю У*) (4 7) Однако в силу неравенства (2.4) справедливо противоположное неравенство, поэтому ыа (хо У ) + <хю 'тю> = (7ю (хюг У ) что совместно с неравенством (2.4) доказывает теорему. Рассмотрим некоторые следствия теоремы 4.1. Т е о р е м а 4 4. Если )(х) — выиуклая собственно к зинкнутая функ1)ия, то .((х) = 1ю ю(х), Замечание. Эта теорема повторяет теорему П.2Л. В силу формулы (2.5) теорему 4Л можно было бы получить как следствие теоремы Н.2Л.
Однако ввиду важности теоремы 4Л здесь было проведено ее независимое доказательство. Доказательство. Согласно примеру 3.3 для отображения а(х) = (у ш К' у ) 1(х)) имеем И",(х, 1) =)(х), Й,(х"', 1) = — )х(ха). Поэтому согласно теореме 4.1, все условия которой выполнены в силу предпололюений о )(х), получаем зпр(<х, х*> — ~е(хе)) = ) (х), хю что и требовалось доказать. $4.
Теогемл дВОйстВеннОсти Теорема 4.5. Пусть а(а=К, гдв К вЂ” выпуклый конус, Тогда, вели И',(х, уе) — собственная замкнутая функция, то эир (х, хе) = (п1 (у, уе), (4.8) в~'Оь"'(г*) РОММ гдв а*(уе) = (х*: ( — х*, ув) ыКе). Доказательство.
Согласно примеру 3.8 О, х* ен а*(у*), ОО хв в в (уе) Поэтому применение теоремы 4.1 дает эпр(й,(х*, уе)+ (х, х*)) = = эпр((х, хв;я хе ен ае (у")) = И', (х, уе), что н требовалось доказать. Теорема 4.6. Если в предыдущей теореме конус К вЂ” многогранный, то справедливо равенство (4.8). Доказательство следует из того, что согласно теореме 3.6 И',(х, у*) есть замкнутая функция, если я(а— многогранное ожество. 2. Теоремы мннимаксе. Сделаем несколько предварительных заме аний.
Функция у(х) называется вогнутой, есзп — у(х есть выпуклая функция. Соответственно вогнутая функция замкнута, если — )(х) есть замкнутая функцня. Если ((х) — замкнутая функция, то она достигает минимума на компактном множестве М. Действительно, пусть И =(п1(((х): хан М). Рассмотрим множества М„=(х: 7(х) <а, хяМ)=(х: 7(х) <сс) ПМ, а>р. По теореме 11.1.5 множества (х: )(х) (а) замкнуты, а поэтому М~ компактны как пересечение компактного и замкнутого множества. Очевидно, что М,„, ~ Ма,, и1 ~ ат, т. е. множества М„вложены друг в друга, а поэтому их пересечение а и 9 В.
Н. Пшенвчвиа 1до гл. Пь Выпуклые многознАчныв ОтОБРАжения не пусто. Но тогда очевидно, что точки множества М„ доставляют минимум Г(х) на М. Пусть теперь М вЂ” выпуклое замкнутое подмножество в Х, Ф вЂ” выпуклое подмножество в У, а Г(х, у) — выпуклая по х при фиксированном у и вогнутая по у при фиксированном х функция. Теорема 4.7. Если Г(х, р) есть собственная замкнутая функция х при фиксированном у, йошГ(, р) ОМФ « для у1в М и функция д(хх) = 1ВГ зпр ((х, х*) — Г(х, у)) (4.9) уЕЗ хЕМ конечна и полунепрерывна снизу при хе =О, то шГ зир Г(х, у) = зир шГ Г(х, у).
«ЕМ уЕП уЕП «ЕМ (4.10) Доказательство. Пусть Так как при фиксированном р ер( Гв(, у) = ер( Г(., р) О ((х, хс): х~и М), то ер( Гу(, у) есть пересе Гение (в силу вамкнутости Г(, у) и множества М) вьгпуклых замкнутых множеств, и поэтому Гу(х, у) выпукла и замкнута по х при фиксированном у. Свойство вогнутости Ях, у) шо у сохраняется. В силу условия йошГ(, у) ЯМУ=О, уж)У, Гс(х, у) есть собственная функция при ууи)у'. Очевидно, что (410) эквивалентно соотношению ГИГ зпр Г,(х, у) = зпр 1ВГ Гь(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
