Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2. Локально сопряженные отображения и вычисление субдифференциалов. Различные примеры выпуклых отображений будут рассмотрены в следующем параграфе, где также вычислены сопряженные отображения для некоторых конкретных выпуклых многозначных отображений. Здесь же будет проиллюстрировано использование понятия локально сопряженного отображения для вычисления субднфференциала одной достаточно сложной функцпи. Пусть а — выпуклое замкнутое ограниченное отображение, а тр(з) — выпуклая собственная функция, для которой т(ош тр =Я. По теореме ПЛ.4 она непрерывна по з и в каждой. точке имеет субдифференциал д,тр(з) (теорема П.3.5).
Так как мноятество а(х) ограничено и замкнуто, а функция та(г) непрерывна, то функция 1(х) = штп(тр(х, у): у ен а(х)) (2Л4) конечна для всех х ш дота а и непрерывна на тйт(оша. Обозначим У = У Х В', Й = Х Х У, так что (у,о) ( у уо) Пусть а — многозначное отображение, график которого в Я задается следующей формулой: у(а=((х, у, уо): (х, у) тку(а, уо>тр(х, уН. (2Л5) Мноятество 61а выпукло и замкнуто, так как я(а — выпуклое замкнутое множество, а тр(х, у) — выпуклая непрерывная функция. Таким образом, а(х) = ((у уо) у ш а(х) уо ~ тр(х, уП (2Л6) % а локАльно сопРяженные ОтОБРАжвнпя 1от есть выпуклое замкнутое многозначное отображение.
Ясно, что дош а = бот а и И' =+ прп х Ф сот а. Вычислим а (х~у у ) Н1 ((у уо) + уо, оо. у ~ а (х) уо ~ у (х у)) (оо,„) для х ~ дош а. Имеем — ОО, если уо* ( 0; ьу„(х, Уо), если уоо = 0; (п((у, Уо) + У' ~р( у): У - =(х)) если уо* > О. Отсюда видно, что И~;(х, О, 1) = 7(х), и, значит, функция )(х) по лемме 2Л вЂ” выпуклая.
Из этого факта и из теоремы 2Л следует, что вычисление субдифференциала б1(х) сводится к вычислению локально сопряженного отображения к а. Вычислим конус К;(хо, уо, у~), взяв уо = ~р(хо уо). По определению К.(2) (см. формулу (2.7)) з = (х., у, у")— енК-,(г'), з = (х„уо, у,) ' тогда п только тогда, когда зо+ Аз ен и1а при достаточно малых ).) О, т. е. согласно (2Л5) (хо+Ах, уз+ Лу) ои к(а, (2Л7) Уо+йу ~~<У(хо+)х, Уо+йу).
(2.18) Конус, определяемый соотношением (2Л7), есть, очевидно, К,(зо) ХИ', во= (хо, уо), если учесть, что у во включении (2Л7) пе фигурирует п может быть выбрано произвольно. Как нетрудно убедиться, (К,(з,) Х К')о = К,*(2,) Х(О). (2 19) Если учесть, что у, '= ~р(хо, у,), то конус, определяемый фоРНУлой (2Л8), есть соп(М вЂ” зо) длЯ множества Мжй, 1ОЗ ГЛ. 1П.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ определяемого следующим образом: М = ((х, у, уо): »р(х, у) — уо ( 0). где з,= (х„у,), д-,(»р(г,) — у,) = (д,р(з,), — 1). Пусть теперь (хо, уо)»вК„(зо). Выберем уо отак, чтобы выполнялось неравенство о уо )»р'(зо зо) хо = (хо, уо), (2.21) где»р'(за, зо) — производная от»р(з) в точке зо по направ- лению го. Тогда для достаточно малых Л ~ 0 »р(™о' " Л"о) р(* ' "о) уо) о о' о о о' о (2 22) о Х С другой стороны, так как у =»р(хо, уа), то неравенство (2.18) можно переписать в виде »р (~о ' "о + ~") р( о' "о) у ~) Из непрерывности»р(з) в силу неравенства (2.22) теперь следует, что соотношение (2Л8) будет выполняться для всех точек (х, у, уо) из окрестности точки (ха, уа,уо).
о Это означает, что точка (хо, уо, уо) принадлежит внутренности конуса, определяемого неравенством (2Л8), и конусу, определяемому включением (2Л7). Поэтому конус К; (зо) как сопряженный к пересечению указанных конусов по теореме 1.3.2 равен сумме сопряженных. Используя равенства (2.19) и (2.20), получаем, что Выбрав уо достаточно большим, всегда можно добиться того, чтобы было»р(х, у) — уо( О.
Если учесть теперь, что»р(х, у) — непрерывная функция, то согласно теоремам П.3.5 и П.3.17, примененным к функции»р(х, у)— — у' в точке (хо, уо, »р(хо, уо)), получим (сон (М вЂ” г ))о = = (( — Лх', — Лу', Л): (х', у*) ее д,»р (зо), Л ) О!, (2.20) $2. локАльно сОпРяженные ОтОБРАжения 109 (хо, у*, у'*) я К-(го) тогда и только тогда, когда х*=х* — Лх*, у*=у' — Лу', У о =Л, (х У*) ~ К*(го) (~о' Уо) ен доф(го) Л~>0. В частности, хо ее а*(у*, у'*; г,), т. е. ( — хо, у*, у'*) ~ ее К, (г,) тогда и только тогда, когда — х* = — х* — Лх', у* = у* — Лу", у* = Л. 2 О' Г О' О х' ее ао (У",; г ), (х*, У*) Я д,ф (го), Л ~ >О.
(2.24) Пусть теперь хошо(оша, уз =О, уз*=1. Выберем уо так, чтобы в этой точке достигался минимум функции ф(хо, у) по у она(хо) Тогда согласно полученному выше выражению для И'-, (х, у*, уоо) пмеем (Уо, ф(хо, Уо)) ои а(х; О, 1), так как <у, уо>+уооуо при уз=О, усе=1 достигает своего минимума по у ои а(хо), у ) ф(хо, у) именно в точ- ке (уо, ф(хо, уоП.
Так как т'(х)= Ит;(х, О, 1), то д((х ) = д РУ-(хо, О, 1). Из результатов теоремы 2.1 теперь вытекает, что д((хо) = ао(0, 1; го), го= (хо, уо, ф(хо, уо)). Воспользуемся формулами (2.24). Они показывают, что хо ои ао(0, 1, го) тогда и только тогда, когда хо = х*+ х', уо = у*, . *, = а (у',; го), (х', у*) ~ д,ф(г,). Теорема 2.5. Пусть а — выпуклое замкнутое ограниченное отобразкение, ф(г) — выпуклая собственная функция г = (х, у), оош ф = 2 и 7'(х) = ш(п(ф(х, у): уееа(х)). (2.26) Тогда ((х) — выпуклая функция и для всех хо ои бош а справедливо равенство д7(хо) =(хо+а*(Уо; го): (хо, У") ыд.ф(го)), (2.27) где го=(хо, уо), а уогна(хо) — любая точка, в которой достигается минимум в (2.26). В частности, если <р(г)— дифференуируемая функция, то Н(хо) = ~Рх(го)+а'(р'(го) го)~ (226) где ~р„'(гг) и ~г„'.(гг) — векторы частных производных по когминентаи х' и у' векторов х и у соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Формула (2.27) представляет собой просто иначе записанные соотношения (2.25). Если же функция ~р(г) дифференцируема, то д,~р(гг) состоит из одного вектора — градиента функции ~р(г). Последний распадается, очевидно, на компоненты, соответствующие частным производным по х* и по у*. Теперь в формуле (2.27) хв = гр„'(го) ув = ~р„(го). 3 а и е ч а н и е. Ограниченность отображения а использовалась только при доказательстве существования точки угжа(хе), в которой функция ф(хо, у) достигает минимума.
Поэтому, если вместо ограниченности а предположить, что минимум в' правой части формулы (2.26) достигается, то теорема останется в силе. Заметим также, что вместо условия дош ~р = 2 достаточно потребовать, чтобы функция ~р(г) была непрерывной для х из некоторой окрестности Й точки хг и у ги а(х), хай. Рассмотрим теперь постоянное отображение а: а(х) = (М: х ~и Х), где з1 — выпуклое аамкнутое множество в У. Ясно, что у( а = Х Х Л1, поэтому К,(гг) = Х Х соп (й1 — уг) п четко вычпслпть К~(гг): К,(г,) = [О) Х [соп(йр — у,))в. Отсюда следует,что ~0, если у* ен [соп(М вЂ” уг)[в, (у ) го) (2.29) (Е(, если у* ф [соп(ЛХ вЂ” уг))*.
Используя теперь теорему 2.5 и значение к ней, получаем следующий результат. Ф 2. ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНПЯ 1(1 Теорема 2.6. Пусть фх, у) — выпуклая функция, непрерывная по х в окрестности И точки хг, и у1иМ. Пусть, далее, 1 (х) = гагп (1р (х, у): у еь М) (2.30) и при к= хе ггинимум достигается в точке уг~М. Тогда д)(хо) = (х*: (х*, ух) ж длр(го), у* 1и (соп (М вЂ” угН в). 3. Композиции многозначных отображений. Пусть Х, Хи У вЂ” некоторые конечномерные линейные пространства, п пусть заданы многозначные отображения: а1— из Х в Хн аг — пз Х~ в У.
Тогда у( а1 — Х Х Хь у( аг аз Х1 Х У. Определим многозначное отображение аг ° а1 из Х в У по правнлу (аг ° а1)(х) = (у: у 1н а,(х~) прп некотором х1 же,(х)) (аг а1)(х) 0 аз(х1). хзеа (х) Так как 3((аг ° а1) =((х, у): (х, х1) 1ну(аь (х1, у) ж у(аг), то легко убедиться, что аг ° а1 есть выпуклое отображение, если а1 и аз выпуклы.
Т е о р е м а 2.7. Пусть существует такая точка (х, хь у), что либо (х, х, ) 1н г1' у( а1, (х„у) 1и г1 о( а, либо (х, х1) 1Н1п(3(а1, (хь у) 1к у(аг. Тогда для гг = (хо, уг) выполняется соотношение (а, а а1)" (УВ; ЗЬ) = (Х1: Х1 Я а*, (Хг; (Х„Х1а)), Хг Я ен аз (ув' (хго~ уо))) где х,г — юобая точка такая, что х1г1на1(хь), уогиаг(х1о), или, короче, (аг а а1)В (; За) = а*, (.; (ХВ, Х,а)) а аг (; (Хгг.
уа)). 112 гл. Н1. Бьшуклые многознАчные ОтОБРАжения Д О К а З а т Е Л Ь С т В О. ПО ОПрЕдЕЛЕНИЮ Х*Ы(ао а а,)* (уе; зо) тогда и только тогда, когда ( — х*, уо) ен к (з ), или, что эквивалентно, когда — <х —,го, х*>+ <у — уо, у "> ~ О (2.31) для всех (х, у) Оку((ао ° а,). Учитывая выражение для ф(аз ° а~) и то, что (хо, уо) ав я((ат ° а,), получаем, что существует такая точка Х1о, что (хо, х1о) ш фа1, (х1о, уо) ов 81а2. Перепишем теперь неравенство (2.31) в эквивалентном виде: — <х — х„х*>+ <х1-хьь 0>+ <у — у„уо> ~0, (2.32) (х, х,) ав у(а„(хь у) ов фа2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
