Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а=О, г~О. шах [(г, го): го ен .х А[ = ~ оо (+ сс, На основании соотношений (3.14) и (ЗЛ5), получаем 7'(хо, р) = шах((р, хо): хо ен А). (ЗЛ7) Так как па теореме 3.5 д)х(0) — ограниченное, а по теореме 3.2 и замкнутое выпуклое множество, то нетрудно показать, исходя из формулы (3.16), что А также выпукло и замкнута. Далее, из ограниченности д~х(0) п формулы (ЗЛЗ) Ф следует, что )м(О,Р) ограничена при всех ров.У, а, значит, по теореме 1.4 она непрерывна на 2'.
Формула (3.15) показывает теперь, чта 7"(хо, р) непрерывна на 2', а в сплу (ЗЛ4) 7"(хо, р) =+ вне !х. Отсюда следует, что 7(хо,Р) — замкнУтаЯ фУнкЦиЯ Р п можно пРименить тео- 78 ГЛ. П. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ рему 3.1. Из теоремы и соотношения (ЗА7) следует, что выпуклые замкнутые множества А и д~(хг) имеют одну и ту же опорную функцию 1'(хг, р). Но согласно теореме 1.2.7 опорная функция полностью характеризует выпуклое замкнутое множество, так что А = д1(хо). Поэтому из (3.17) следует утвержденпе теоремы. 2. Субдифференциал суммы выпуклых функций. Операции умножения на положительную константу, суммирования и взятия максимума не выводят пз класса выпуклых функций. Поэтому естественно поставить вопрос о том, как вычислить субдяфференцнал вновь полученной выпуклой функцик, еслп известны субдифференциалы исходных.
Нижеследующие теоремы дают ответы на этот вопрос. Т е о р е м а 3.7. Пусть ~(х) = сг/г(х), где )г(х) — выпуклая функция, а) О. Тогда д1(хо) = яро(хо). Доказательство непосредственно следует из определения субдифференциала. Следующая теорема имеет многочисленные н важные приложения. Т е о р е м а 3.8. Пусть )' = ), + 1г, где 11 и )з — собственные выпуклые функции, и существует точка х1 еь ж дош~1 0 с)ош)г, в которой ~~ непрерывна. Тогда д/(хг) = дЛ(ха) + д~г(хо). Доказательство.
Если х1яд(,(хь), х*ядКг(хь), то, суммируя неравенства 1~(х) — ~,(хь)) (х — х, х",), 1, (х) — 1, (х,) ) (х — х„х,*), получаем 7'(х) — 1(хь)) (х — х, х'+ х*), т. е. х'+ х'~ д~(хь). Таким образом, д/жд1, + д1з. Докажем обратное включение. Для упрощения выкладок предположим, что хе=О, (ь(0) =1з(0) =)'(0) =0 (этого всегда можно добиться сдвигом начала координат и вычитанием констант пз функций )1 и )г). Пусть хеги $ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ шд)(0). По определению это означает ),(х) + ~з(х) > <х, х*>, где учтено, что хе = О, )1(хо) = 6(хо) = О.
Перепишем неравенство (ЗЛ8) в виде (,(х) — <х, х*> ) — )з(х). (ЗА8) (3.19) Введем в К"+' выпуклые множества А = ((хс, х): хе ) )1(х) — <х, х*>), Выпуклость А и В вытекает из выпуклости ~~ и Ь. Из неравенства (3.19) следует, что А и В не пересе- каются. Поэтому их можно разделить, т.
е. существует г еэ такой ненулевой вектор ~~х ,хам, что У'х'*+ <у, х',> < х'х'" +<х, х',>, (уе, у) ее В, (хе, х) ее А. (3.20) Так как хэ может увеличиваться неограниченно, то из (3.20) следует, что х'*~ О. Покажем, что хе*> О. Дейст- вительно, если хсе = О, то неравенство (3.20) можно пере- ппсать в виде <у, х',>(<х, х*>, у яйош(, хя йош~п (3.21) Положим у =хь Далее, так как х1 ~ийош)~ — точка не- прерывности )ь то х1 + зз ш йош (ь 1з~! ~ 1, при достаточ- но малом е>0. Подставляя у=х~, х х~+аз в неравен- ство (3.21), получаем О ~ е<э, х'>, 1з1 ~ 1, что невозможно, если х*чьО.Итак, х~*=О, х' = 0 в прот оэ тпворечии с тем, что вектор (х, ха)не равен нулю; по- этому х'*) 0 и можно положить хе*=1.
Теперь с учетом определения множеств А и В из со- отношения (3.20) получаем — ~з(у)+ <у, хо>~<А(х) — <х, х'>-( <х' хо» (3'22) у.=а Ую х =а У,. Так как вне поше и йош)1 значения функций ~т и Л бесконечны, то можно считать, что неравенство (3.22) гл. и.
Выпуклые Функции справедливо при всех у а х. Положив у = хе = О, получаем (х, х* — х")(~,(х), т. е.(хе — х") ~ дг,(0). Положив х =хе =О, получаем (У, х,') =1э(У) т. е. х," ~ д1,(0). Поэтому хэ = (хе — х",) + х", ен д1, (0) + дуг (0). Так как хе — произвольный элемент д1(0), то д((0) '= д~1(0) + дУг(0). Учитывая ранее доказанное противоположное включение, окончательно получаем д((0) = д~1(0) + д~г(0), что н требовалось доказать. Теорема 3.9. Пусть ~1 и 1г — собственные выпуклые Яункэии и г1'йоши 0 и'йошггчь 8.
Тогда д~(хе) = д~1(хо) + духо), где ~ = ~1 +)г, хам йоши 0 йошпе. Доказательство. Как и ранее, без ограничения общности предполагаем; что хе = О, (~(0) = ~г(0) = О. Тогда йош ~1 — 1лп йош ~н йош ~г — 1лп йош |г. Пусть х~ ~и и'йош ~~ 0 г1'йоши. По теореме 1ЛА Ип йоши= 1лп йош ~1 01,шйош ~г. Обозначим !е' = 1лп йош ~~ + 1лп йоги 1г. Тогда йош 1ь йош 1г н йош1 лежат в Я, а надграфики всех рассматриваемых функций лежат в К' Х Ы.
Поэтому моя1но все рассмотрения ввести в Я или К' Х 2'. Повторяя рассуждения предыдущей теоремы с учетом того, что множества А и В легкат в К' Х х, получим, что А и В можно разделить в К' Х2', т. е. найдется такой / о~ * непулевой вектор (х, х,), что хе ~ .х'и выполнено неравенство (3.20).
Покагкем, что хэ*)0. То, что хэ* не может быть меньше нуля, доказывается, как в предыдущей теореме. Пусть х'* =О. Тогда справедливо неравенство (3.21). По 81 е З.ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕННЯМ предэоложешпо х,+ег1ж йош(1, г1ен 1йпйош(1, Щ! <1, х1 — егг нйош)м геен Ешйош6, 1гг(~1, при некотором с ~ О. Поэтому из соотношения (3.21) получаем (х, — егг, х")((х, + егг, х*), г1 ~ 1а йош )ь гг ея Ьгп йош )„Ь1!! < 1, !!гг~ < 1, плп (г, + г„х,"))О, (3.23) ге ~ 1.1П йош )1, ) г; (~ ( 1, 1 = 1, 2. Так как для лгобого г ен 2', г = г1+ ггп г» ен ) 1П йош ~ь 1= 1, 2, н при достаточно малом Л ~ 0 1~Лг11 ( 1, 1~Лгге ( 1, то, подставляя Лг =Лг1+ Лгг в неравенство (3.23), полу- чаем (г, х')) 0 при всех генУ. Но так как х', ек У, то это возможно лишь, если х*, = О.
А это противоречит тому, что I ее (х, хе)~0. Итак, как и в предыдущей теореме, можно положить хе = 1. Повторение доказательства предыдущей теоремы завершает доказательство теоремы 3.9. Пропллюстрируем, насколько содержательны теоремы 3.8 и 3.9, на важном примере индикаторной функции множества. Пусть М вЂ” выпуклое множество, а бЫМ)— его пндпкаторная функция.
Вычислим субдифференциал дб(хе УХ), хе ен М. По определению хе ен дб(хе! М) тогда и только тогда, когда б(х(М) — б(хе!М) > <х — хе, х*>. Но б(хе!М) =О. Если хФМ, то б(хМ) =+ е и неравенст- во выполняется всегда. Для хек М получаем (3.24) О» <х — хе, х*>. Пусть соп(М вЂ” хе)=(р: р=Л(х — хе), Л~О, хшМ). 6 в. н. пшеничный 82 Гл, и. Выпуклыв Функции Тогда неравенство (3.24) эквивалентно тому, что — хе (в (соп (М вЂ” хю))'". Таким образом, дь(хе ~М) = — (соп (М вЂ” хюП*.
(3.25) Если теперь К,, 1= 1, „, ог,— выпуклые конусы и 0 вКь то соп (К, — 0) = Кн и поэтому дь(0(К;) = — К,'. (3.26) Заметим теперь, что ь( ~ ю к)-((*(к((- ... -> ь(*(((.(, (з27( ) 1=1 Если теперь применить кь х1 П К1 теорему 3.8, то по! (=1 лучится результат, соответствующий теореме 1.3.2.
Теорема 310. Пусть 11'К( й... й х(К чьо. Тогда (К,п... ПК„)* = Х', +... + К*. Доказательство. Очевидно, что дотаб(.~К() = К(, поэтому условия теоремы показывают, что 11 ьош 6( 1К() й... й и' бош 6( !К ) чь 8, и можно применить теорему 3.9 к функпди (3.27). С уче- том равенства (3.26) получаем — ЯК( =дб О ДК( =дь(о)к,>+ ... +дь(о)к ) = — к",— ... — к*„, что и требовалось доказать. 3.
Субдифференциал максимума выпуклых функций. Перейдем теперь к изучению выпуклых функций, полу- ченных в результате взятия максимума по параметру. Теорема 3.11. Пусть М~ — еь(пуклое замкнутое мно- жестео и ) (х) = зир ((х, хе~: хе ен М*).
Тогда д~(хю) = (х*(н М*: <хю, хе> =~(хю)). В частности, если хе= О, то д)(0) =Ма. % 3. ПРОИЗВОДНЫВ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ Доказательство. Если х*~М*, <хо, хо>=1(хо), то У(х) 1(хо) ~~ <х, хо> <хо, хо> = <х — хо, хо>, т. е. х*ы дУ(хо). Обратно, пусть х' еВ д((хо).
Допустим, что х' Ф М* Тогда по теореме 1.2Л существует такой вектор'р, что зпр(<р,хо>: хожМо) < <р,х'>. (3.28) хх С другой стороны, так как максимум разности не меньше, чем разность максимумов, то зпр((х — х„хо>: х*ен М*)>1(х) — ((х,) (х — х„х,*,>. Полагая в этом неравенстве х = хо+ р, получаем зпр(<р, *>; *ЯВ М*) > <р,, о> х" в противоречии с неравенством (3.28). Значит, х,*~ Мо. Так как по предположению х* ~ дг'(хо)~ то 1(х) — (х, х~~>) 1(х,) — (х„х">. Полагая х=О, получаем (х„х,'>)1(хо). Но х,*~ Ма, поэтому 1(хо) Ъ(х„х*,>.
Из двух полученных неравенств следует (хо хо> — 1(хо) что и требовалось доказать. Если хо = О, то г'(0) = <О, х*> = 0 для всех хвои Мо, и поэтому д((0) = М*. Теорема ЗЛ2. Пусть 1(х) — положительно однород- ная выпуклая занкнутая функция. Тогда д((хо) =(х* =а У*: <;, '>=У(х,)). Доказательство следует из теорем 2.5 и ЗЛ1. Пусть теперь А — некоторое множество пндексов и 1(х, а) — выпуклые при каждом а функции от х. Как показано ранее, 1(х) =зпр(1(х, а): аоиА) гл. 11. выпутолые Функци|г есть снова выпуклая функция. Чтобы ответить на вопрос, как выражается субднфференциал ~(х) через субдифференциалы ~(х, а), предварительно докажем две леммы. Лемма 3.5.
Пусть А — компакт и функция ~(х, а) непрерывна по х и а в окрестности точки хо и аыА. Тогда функция (3.29) )(х) = гаах() (х, а): ан= А) а непрерывна в точке хо. Доказательство. Обозначим А(х) =(аонА: )(х, а) =~(х)). Тогда ~(х, а) = ~(х) ~ )(х, ао), т'(хо, а) ( У(хо) = У(хо, ссо) при аж'А(х), аоонА(хо). Вычитая из первого неравенства второе, получим У(х, а) — У(хо, а) > У(х) — ~(хо) ~ 7(х, ао) — У(хо, ао). (3.30) Прн х- хо выражение в правой части стремится к нулю. Покажем, что и левая уасть отремится к нулю. Действительно, пусть для некоторой последовательности х, — хо п ао ои А (х„) ы А 1/(хы аА) ~(хо ао)! е ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
