Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть )(х) — дифференцируемая функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) 1(х) — выпуклая функция; 2) )(Х2) — ~(х1) > <хг — х1, ~У(х1)> для любых х и р; 3) <р, 1'(х+ар)> — неубывающая функция а для любых х и р. Если т дважды дифференцируема, то 4) г" (х) есть неотрииательно определенная матрица.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2) илн, коротко, 1) -1-2). Действительно поскольку УИ1 — Л)х1+ Лхг) < (1 — Ъ))(х1) + Л)(х2), О < Л < 1, то ~(г1 + (~2 *1)) 1 (*1) < ( ( Переходя к пределу при Л-~ О, получим <Х2 — Х1, 1 (Х1)) ~ ~1(хг) — 1(Х1). (1.3) а при х1 =х+ 02р Х2 = х+а1р Укэ(а1) — Укв(аг) > (а1 — аг)<Р, ~'(Х+ агР)>. Из двух последних неравенств (для определенности аг) а1) следует, что (р, )' (х+ а,р)) ( ' 'э „' „' '" ' ~ ~(р, ~' (х+ а,р)) 2 1 Покажем, что 3)-~1).
Пусть у„' (а)=(р, ~'(х+ ар))— неубывающая функция а. Тогда д„' (а1)<у'„„(а2) прн аг ~ а1. Покажем теперь, что 2)-ь3). Положим из неравенства (1.3) прп х1=х+а1р, хг=х+агр следует, что у.,(аг) — ука(а1) ~ (аг — а1) <р, 1'(х+а1р)>, гл. и. выпгклыв эвикции Если 0<сс<1, то с 0 < р (а, — а,) ~ ~д„' (а, + т (а, — ас))— р — у, „(ас + тр (сс, — а,))] дг = (1 — р) у„р (сс,)+ ру, р(сс,)— — у(х, р) ((1 — р) а, + ра,), т.
е. даа(а) — выпуклая функция. На основании леммы 1.6 отсюда можно заключить, что 7(х) выпукла. Пусть теперь 7 дважды дифференцируема. Покажем, что 4) = 3). Так каку„' (а) — неубывающая функция, то д„" (а) = (р, )'"(х+ ар)) в О, (1.4) откуда следует, что матрица )" (х) неотрицательно опре- делена. Обратно, если условие (1.4) выполнено, то у,,р(а) неотрицательна, и, значит,у„' „(а) = (р, ~'(х + ар)) — не" убывающая функция. Так как мы показали, что 1) - 2) - 3) - 1) и 4) 3), то тем самым зквивалентность всех четырех утверждений доказана.
Лемма 1.7. Если Яункц я ~р(х) определена на вы- пуклом мнорхестве Р и удовлетворяет на нем соотноисе- нию (1.2), то (~р(х), х сн Р, )'(х) =с+ — выпуклая 4ункция. Доказательство леммы предоставляется читателю. Эта лемма часто бывает полезной. Так, в частности. если С вЂ” выпуклое множество, то функция )'О, хсиб, б(х!с ) =!+ +, хФС, называемая индикаторной функцией множества, является выпуклой. Приведем несколько примеров выпуклых функций (их выпуклость легко проверяется на основании теоремы 1.
1 и леммы 1.7): 1) ~(х) =е ., где — <а<+ 1 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКПНИ Ое в (ае) — г (аз) в (22,) — г (а,) а — а 2 О а — а О в (а,) — в (а,) в (а,) — в (а,) а — а а — а О 2 Доказательство. а — а О л = —, а — а' 2 О Положим Л,=1 — ).,=" аг О Тогда ао а — а 2 1 АОа2 + А,гао — — „' а а2 + а — ао — — а,.
2 О 2 О Поэтому а,— аз а — а д (а,) = у (Цаг + АОаО) ( — '" у(а,) + „— '„' у(аО),(1.5) а2 О а2 О Полученное неравенство можно преобразовать двумя способами. 1. Вычитая из обеих частей у(ао), получим а — а У (а2) У (ао) » ~а а (У (а2) У (ао)) 2 О откуда, после деления на а1 — аО, вытекает первое нера- венство леммы. 2) 1(х) =х", если х~ О, 1 < р < О, 1(х) = + О, если х < О; 3) )(х) = — х", если х>0, 0<р<1; 1(х) = +, если х < О, 4) 1(х) = х', если х - О, — < р < О, 1(х) = +, если х < 0; 5) 1(х) = — )пх, если х) О, )(х) =+, если х< 0; 6) 1(х) = — <х, Ах>+<21, х>, если А — неотрица- 1 ' 2 тельно определенная матрица.
3. Вспомогательная лемма. Приводимая ниже лемме часто используется при доказательствах последующих утвержденкй. Лемма 1.8. Пусть у(а) — выпуклая у2ункуия аргу- мента а; ае < а~ <аг, ав, аь аз Ои бош у. Тогда тл. и. Выпуклые Функции 2. Так как 11+11=1, то а,— я а,— а а яо а — а а — а У(с11) + я — а У(а1) ~~ а — а У(аг) + я а У(ао) о о или я — я я, — ао „'(у(а1) — у(ао)]~~„— '- „'(д(ао) — д(а1)), яг яо ао ао откуда получаем второе неравенство леммы.
Заметим, что первое из неравенств, доказанных в лемме, показывает, что функция в (яо) а — а о монотонно не убывает прн возрастании а, а ) ао. 4. Непрерывность выпуклых функций. Свойство выпуклости оказывается тесно связанным со свойством непрерывности. Теорема 1.2. Пусть собственная выпуклая функция ограничена сверху в окрестности некоторой точки хо ои 1(ош )'. Тогда она непрерывна в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности предположим, что выбранной точкой является точка хо=О. Пусть И вЂ” некоторый открытый шар с центром в нуле н ~(х) < с1 для всех х и(г. Рассмотрим функцию у(я) = 1(ах) при фиксированном х ~ 11. Положив в первом неравенстве леммы 1.8 ао = О, а1 = а) О, аг = 1, получим в (а) — в (0): (П вЂ” у (0) < 1 Так как у(1) = У(х) < с„ у(О) = У(О) < сн то ((ах) — ~(0) < 2с1а. (1.6) Далее, положив во втором неравенстве леммы 1.8 ао = — 1, а1 = О, аг = а, полУчим В (О) — у ( — 1) В (а) — В (О) 0 — ( — 1) а $ ь ОснОВные свойства Выпуклых ФункциЙ 61 откуда И.7) — 2с1а ~ ~(их) — ~(0).
Итак, согласно неравенствам И.6) и И.7) имеем 1)(ссх) — )(0)1 ~2с1сс. (1.8) Возьмем теперь е) 0 и положим 8 =е/(2с~) ( г, йг= = бй. Пусть у ж йь Тогда существует такой вектор х ж й, что у = бх. Согласно оценке И,8) получим 1~(у) — ~(0)1 = 1)(бх) — ~(0)1 ( 2бс~ = е, что доказывает непрерывность функции в точке нуль. Теорема 1.3. Если /(х) — выпуклая функция, непрерывная в точке хь, то она удовлетворяет условию Липшица в этой точке, т. е. 1У(х) — г(хо)1 ~.(11х — хэ(1 нри Ь = сопзг для всех х иг некоторой окрестности точки хо. Доказательство. Будем считать, что хе=О.Пусть т — радиус шара й с центром в нуле.
Возьмем ужй, удовлетворяющее неравенству 11 у 11 (т/2, и положим г У х= — —. 2 11У1Г Тогда, используя неравенство И.8), получим где Ь = 4сlт. Теорема 1.4. Пусть | — выпукл я собственная функция. Тогда она непрерывна на множестве и дош~. Д о к а з а т е л ь с т в о. Любую точку хе ги и бош ) ьюжно сделать внутренней точкой некоторого симплекса с вершпнамп уо,, у~ж бош), где )с = 81ш бош~.
Любая точка этого спмплекса имеет вид х=).эуо+ ° +)чуы ).;~0, г=О, 1,, )г, ). +). +...+л,=(. Поэтому ) (х) (~ Ло) (уь) + .. + Л„) (уз) ~ ~шах У (р;), 1 гл. и. вьштклык о>гшгции т. е. функция )(х) ограничена в некоторой окрестности точки хо. Рассмотрим выпуклую функцию от у =х — хо. в"(у) = >(у+ хо), относительно подпрострапства ййпг)ош). Применив теорему 1.2, получим требуемый результат. Как видно из доказанной теоремы, выпуклая функция непрерывна внутри области своего определения н может иметь разрывы только на ее границе. Для того чтобы охарактеризовать случал, когда таких разрывов нет, удобно ввести понятие замкнутости функции. Определение 1.3. Фунггцня ~ называется замкнутой, если ее надграфпк ер)~ есть замкнутое множество в К"+г. Т е о р е и а 1.5.
Следующие три утверждения эквивалентны> 1) функция ) замкнута; 2) множества уровня С = (х: )(х) ( а) замкнуты; 3) функция ) полунепрерывна снизу. Напомним, что функция ) называется >голунепрерывной снизу в точке хо, если для любой последовательности х, — хо. (1. 9) )ггп > П1) (хо) ~ )) (хо). о Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Пусть х„- хо и >(х„) ~ а. Без ограничения общности можно считать, что )(х,) — )г( а, где )г либо конечно, либо равно— Покажем, что если )г= — ы, то )(хо) = — . В самом деле, если >(хо) = )го конечно, то для больших й >(хг) ( -с )го — е. Рассмотрим последовательность точек (ро — е, х,), которые принадлежат ерг т.
Так как ()го — з, х,) ()го — з, хо) и ерг ) — замкнутое множество, то ()го — е, хо) овер1 ), т. е. ро — з>)(хо) = )го', получено противоречие. Значит, если )г = —, то ~(хо) = —, т. е. хо>и С„. Если )г конечно, то ()(хг), х„) — ()г, хо) >и ер1 ) н, значит, а> р >)(хо), т.
е. опять хо >в С . Значит, С„замкнуто. Пусть теперь 2) выполнено. Если х„- хо и ((х,) - а, то для любого з) О и достаточно больших й выполняется неравенство ~(хг) ( а+ з, н, значит, )(хо) ~ а+ з, ибо з г. сопгяжвннык Фгнкции С,+, замкнуто. Так как е произвольно мало, то 1(хе) ~ и, что показывает справедливость утверждения 3). Наконец, покажем, что из 3) следует 1). Действитель- но,если хье)~~(хз), (хе, хг)-+(гл, х,), то согласно нера- венству (1.9) ал ) 11ш 1п1 1 (хз) )~ 1 (хе), т. е. (хз, хс) ~-=ер1 ~, что доказывает замкнутость ер1 т*. Замечание.
На основании утверждения 3) теоремы легко проверить, что сумма замкнутых функций также замкнута (на основании утверждения 1) это сделать гораздо сложнее). Т е о р е м а 1.6. Если 1(х) — выпуклая замкнутая функция, принимающая в некоторой точке хэ конечное значение, то т'(х) ) — о . Доказательство. Выше было показано, что если ((х) принимает значение — °, то 1(х) = — для всех х ~ г1 дош1. Но по теореме 1.1.3, если х ш дош1, то (1 — Х)х+Хх~ шг(дош) для всех Х и х~ таких, что х~ ш ж и' дош 1. Так как функция 1 замкнута, то т(х)(1(ш)((1 — Х)х+ Хх,) = — оо, ггэ т. е. 1(х) = — со для всех х ж бош).
Итак, если 1(х) принимает конечное значение хотя бы в одной точке, то 1(х) > — прп всех х. В заключение этого параграфа введем Определение 1.4. Пусть 1 — выпуклая функция; тогда функцшо 1, надграфик которой есть замыкание надграфика ), называют замыканием функции 1 и пишут ер1 1= ер1 ), 1 (х) = (п1 (хл: (х', х) ~ ер11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
