Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Так как А — компакт, то можно считать, что а„- аонА. Но тогда 1(хы аь) — У(хо, аь) — У(хо, со) — У(хо, сс) =О, что противоречит допуп(ениго. Итак, прп х - хо левая и правая части неравенства (3.30) стремятся к нулю, а поэтому )(х) — )(хо). Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть выполнены предположения леммы 3.5. Тогда для любого открытого множества С такого, что А (хо)за С аз А, существует окрестность точки хо, для любой точки х иг которой выполняется включение А(,т) ~С.
о г. пгоизводныв по нлпглвлкниям 88 Доказательство. Пусть для некоторого открытого множества Со, А(хо) Со, существует такая последовательность х„- хо, что найдутся точки а,~А(хг), аьФСо Так как А — компакт, то можно считать, что а, — ао. По определению Переходя к пределу, согласно лемме 3.5 получаем 1(хо) =((хо, ао), т. е.
ао~нА(хо) Со. Тогда а„при достаточно больших !с должно принадлежать открытому множеству Со — ок- рестности ао — по определению предела. Последнее про- тиворечит тому, что а,ФСо. Лемма доказана. Т е о р е м а ЗАЗ. Пусть А — компакт, ((х, а) — вы- пуклая функция при каждом а~А. Пусть, кроме того, )(х+Лр, а) непрерывна гго Л' и а для Л ги ( — 6, 61, 6 > О, агнА. Тогда функция /(х), определяемая (3.29), диффе- ренцируема по направлению р и У'(хо, р) =свах (У'(хо, р, а): сооиА(хо)), а еде )'(хо, р, а) есть производная )(х, а) по направлению р в точке хо. Доказательство. Положим для простоты у(Л) = У(хо+ Лр), у(Л, а) = у(хо+ Лр, сс), А(Л) =А(хо+Лр) Ясно, что 1'(хо р) = «'(0), )'(хо, р, а) — д'(О, сс), где .
(О) = )гшв(Л) — В(0) ь'го у (О а) ). Ю(Л, и) — У(0, а) хго Функция у (Л) = шах (д(Л, а): а ~ А) а конечна прн Л ~ ( — 6, 6), ибо д(Л, сс) непрерывна по а, и А — компакт. Поэтому производная у'(О) существует Гл. и. Выпуклые Функции и ограничена. Положив в неравенства (3.30) х=хо+Лр, у х(Л, а) — о(0, а) о(Л) — о(0) о (Л, ао) о (О, ао) Л Л ~ Л ' (3.31) сс ен А (Л), ао ен А (0).
Так как разностное отношение для выпуклой функции стремится к нулю, монотонно убывая, то из правого неравенства (3.31) получаем ) я'(О, а,), а, ен А (0). Позтому д'(0)) )зпр(а'(О, а): а он А(0)). Обратимся теперь к левому неравенству (3.31). По лемме 3.6 для любого открытого множества С вЂ” А(хо) =А(0) найдется такое з >О, что А(Л) аз С при 0(Л < з.
Поэтому для Л(е из неравенства (3.31) получаем д() зпрс ', ' .аен ''0'(Х~Л) — В(0)( (д(Л, а) — Х(0, а). = С~ а (3.32) Возьмем точную нижнюю грань выражения, стоящего в правой части соотношения (3.32), по всем С вЂ” А(0). Так как я(Л, а) непрерывна по а и А(0) — замкнутое подмножество компактного множества, то нетрудно убедиться, что ш1 зпр(~( ' ) ~( ' ): аз С~ = сова<о) = шах(т( ' ) о ( ' ): а~ А(0)~.
л Поз тому б'(0)(шах(х( ' ) ~ ': аенА(0)с. (3.33) Пусть Л, — 0 и ао си А(0) такие, что о(Л, сс,) — х(0, ссо) (о(Лю сс) — о(0, а) о а о (3.34) 87 % 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ Без потери общности можно считать, что а,— аошА(0). Далее, по лемме 1.8 у(0, ад) — у( — 6, ад) у(Л, ад) — Х(0, ад) В(б,ад) — Е(О,ад) д так что отношение Лдс[у(ЛА, ад) — д(0, ад))в силу, непрерывности д(Л, а) и компактности А ограничено. Можно считать, что оно стремится к некоторой Величине р.
Пусть Л > 0 фиксировано. Тогда Л,< Х при больших й и по лемме 1.8 у(Л, сод) — е(0, сод) у(Лд, а ) — е(0, ад) Л Лд Переходя к пределу при к — , имеем у (Л, ао) у (О, ао) Л (3.35) откуда при Л - 0 получаем, что у'(О, ао) ~ )с. Используя теперь неравенства (3.33) и (3.34), получим у'(0) ~ р~д'(О, ао), аоснА(0).
т. е. д'(0) = шах(у'(О, а): аенА(0)). а Последнее соотношение эквивалентно утверждению теоремы. Теорема 3.14. Пусть А — кодспакт, 1(х, я) вьспукла по х при ашА и непрерывна по х и а для х из некоторой окрестности хо и я шА. Тогда д7" (хо) = со( () д7'(хо, а)). (аал(гсО) Доказательство. По теореме 3.5 7" (х„Р, а) = шах((Р, хо)г хо ~ д)" (хо, сс)). Совмещая это неравенство с ранее доказанным, получим у'(О, ао)))у'(0))>зпр(у'(О, а): соенА(0))г яда А(0)с а ГЛ.П.ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИП 88 Используя предыдущую теорему, получаем 1'(хр, Р) = шах шах <Р, ха) = а~ 1(хр) х*нр1(хр,а) =шах)<р, ха): хаен () д1(х„, ср)~= хх аал(хр) = зпр)<р, х*): ха енса О д)(хр, а)~.
х* аел(хр) (3.36) При выводе этих соотношений было учтено, что точные верхние грани линейной функции на множестве и па его выпуклой оболочке совпадают и что верхняя грань линейной функции на множестве совпадает с верлней гранью на его замыкании. Снова испольауя теорему 3.5, получаем )'(х„р) = ьпр(<р, х*): ха сед~(хр)).
(3.37) хх Р = (п1 (р ) 0: — * ен С~ = гс (х), где согласно определению 1.2.1 г,(х) — функция Минковского множества С. Теорема 3.15. Справедлива формула дс(х(М) = зпр(<х, хх> — ру'11(ха): гу'о(х*)(Ц. Из соотношений (3.36) и (3.37) следует, что опорные функции двух выпуклых замкнутых множеств совпадают, а поэтому совпадают и сами множества.
Теорема доказана. 4. Субдифференциал расстояния до множества. Пусть М вЂ” выпуклое множество, С вЂ” выпуклое ограниченное множество, О шип(С. Тогда для всех хрвХ определена функция Но (х / М) = 1п1(р ) О: х ек ЛХ + рС) (3 38) в Если С=В, где  — единичный шар с центром в нуле, то, как легко видеть, Ах(х(М) есть просто расстояние от точки х до множества М. Если М = (0), т.
е. состоит из единственной точки — начала координат, то дс(х((0)) =1п1(р рО: хан рС) = 89 $ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ Доказательство. Так как Ори 1П1С, то множества М+ рС, р ~ О, вложены друг в друга и нетрудно убедиться, что если х рнМ+рС, то г(р(х~М) ~р. По теореме 1.2.7 х ж М+ рС тогда и только тогда, когда ) ~ (4 мррр(х ) = И м(х ) + рИс(х ) (3 39) прп всех х*. Если х рн М, то Н„(х~М) = 0 и <х, хе> (И' (х*).
Поэтому знр(<х, хе'р — Ирм(хе): И'с(х*) (1» = О, причем точная верхняя грань в левой часта последнего соотношения достигается при х» =О. Таким образом, если Лр(х~ЛХ) = О, то утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь хрн М+ рС и р ~ др(х~М) > О. При хе чь чьО имеем И',(хе) ) О, так как Ори 1П$С.
Поскольку относительно х* неравенство (3.39) положительно однородно, то после перенормировки его можно переписать в вире (х, х*) < И'м(х*) + Р, И~с(хе) = 1. Поэтому Р) ЗНР((х, х*) — И'м(х*): ИРО(х*) = 1) (340) Пусть теперь р удовлетворяет неравенству (3.40), так что хрнМ+ рС. Покажем, что рддр(х~М). Так как Ош1П1С, то для любого з ) 0 выполнено соотношение (х — ЗС) 0 0 (ЛХ+ рС) ть З', т. е.
х ж (М+ (р+ е)С), и, значит, с)р(х~М) ( р+е. Ввиду произвольности з отсюда следует, что г(р(х~М) < р. Если жс р не удовлетворяет неравенству (3.40), то (М+ рС) 0 (х — зрС) = И прн некотором ер = 0 п хФ (ЛХ+(р — зэ)С), т. е. р+аз (д,(х!М). Отсюда вытекает, что Ир(х~М) совпадает с правой частью неравенства (3.40). Из теоремы 3.15 сразу следует, что д,(х~М) — выпуклая функция х, ибо она есть точная верхняя грань линейных функций. Используя определение (3.38) и то, что Ори(п(С, легко показать, что др(х!М) ограничена в любой ограниченной области н поэтому непрерывна (и да>не лппшицева) по теоремам 1.2 н 1.3, ГЛ.
П. ВЫПУКЛЫК ФУНКЦИИ 90 Вычпслпм субдифференцпал де)е(хо(М). Т е о р е м а 3.16. Справедлива формула дб (х ( ЛХ) П (х*: И'с (хо) я= Ц, если дс(хо(М) = О, дб (хо! ЛХ+ дс(хо М) С) П (хо: И'с(х*) = 1), если д(х,(М)) О. ддс (хо ! М) = Доказательство. По определению х*ждде(хо!М) тогда и только тогда, когда е)е(х!М) — де(хо1М) ~ <х — хо, хо> (3.41) — е)е(хо) М) ~ И'м(хо) — <хо, ха>.
(3.44) Если де(хо(ЛХ) =О, то хоонМ, а неравенство (3.44) можно записать в виде О~ <х — х,, х*>, хонЛХ, т. е. — Хо ж (сон (ЛХ вЂ” хо))о = — дб(хо~М) (см. формулу (3.25)). Совмещая это с неравенством (3.44), получаем первое утверждение теоремы. Пусть теперь де(хо(М) )О. Тогда хожМ+роС, ро= = е(е(хо ~ М) н неравенство (3.39) справедливо при х = хо, Р = Ро: — е)е(хо1ЛХ)Ие(х ) ~ ~Им(х*) — <хо х*>. Вычитая его пз неравенства (3.44), получаем о(е(хо ~М)(И'е(хо) 1) ~ О. при всех х. Любая точка х представима в виде у+рг прн некоторых у ж М, з ~я С, р ~ О, причем де(Х~М) есть нижняя грань таких р. Поэтому неравенство (3.41) эквивалентно неравенству Р де(хо~М) ~ <у+Рз хо х > Р~О уенМ~ илн р — де(хо~М) ) Игм(хо) + РИ",(х*) — <хо, х*>. (3.42) Неравенство (3.42) справедливо для лообых р)О только в том случае, еслп Ие(Х )~1.
(3.43) Тогда его можно переписать в эквивалентной форме: в 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРЛВЛВНННИ С учетом условия (3.43) это дает И'е(х*) =1. Поэтому неравенство (3.44) можно переписать в виде О > И вв(хь) + с)е(хе1М))4е(хв') — <хев х~> пли 0 ~ <х — хе, х*>, х вк М+ де(хе(М)С, откуда — х* ж (соп И1 + де(хе! М)С вЂ” хеП* = = — дб(хо!М+ в)е(хо!М)С) что завершает доказательство. 5. Конус допустимых направлений и субдифференциалы, На предыдущих страницах уже неоднократно встречался конус соп(М вЂ” хс) =(р: р< Л(х — хе), Л>0, хвиМ), определенный для выпуклого множества М и точки хек ж М.
В экстремальных задачах конусы такого вида будут вознпкать постоянно, а вычисление сопряженных к ннм будет одной пз основных задач. Покажем, как вычисляется (сов(М вЂ” хеВв в случае, когда множество М задается при помощп неравенства для выпуклой функции. Т е о р е м а 3.17. Пусть 1(х) — выпуклая функция, М=(х: ~(х) 0) и существует точка хв внм, в которой )(хв) (О. если )(хе) =0 и ~'(хе, р) есть замкнутая функция, то (соп (М вЂ” хе)1* = — соп дУ(хе). Доказательство. Так как 0 ) г(хв) Лхв) т(хе) ~ <х~ хе хв >в х*вн дт(хе) то нуль не принадлежит выпуклому замкнутому мнояееству д)(хе).
Покажем, что сопд)(хв) =(хв: хе = Лх", Л)0, х" ен д)'(хв)) есть замкнутое множество. В самом деле, пусть последовательности Лв п х* таковы, что Льх*-~хе, Ль>0, х„'~д) (х ), хе ~0. Тогда последовательность Лв ограничена, ибо если предположить противное (т. е. что Л„- + ), то гл. и. Выпуклык Функции Л»)х»о) — »-)х"), п, значит,(х,',((-~0, чего не может быть, так как 0 Ф о)(хо). В силу ограниченности Л, можно считать, что Л» — Ло ~ О. Но тогда последовательность х» сходится кЛ-'х*,и так как д)(хо) — замкнутое множество, то Л-'х" я д~ (х,). Значит, хо ~н соп д)(хо), что доказывает замкнутость соп д)(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
