Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Теорема 4Лб. Если К вЂ” выпуклый, а Кг — многогранный конусы и и' К й Ка Ф 8, го (КП Ко)* = К*+ Ко. О О, КРАЙНИЕ ТОЧКИ И МНОГОГРАННЫЕ МНОЖЕСТВА 5$ (К П Ко)ь!пк = (К П (Ко П Ь(и К))йпк = = Кьопк+ (Ко П Ь(п К) ь1пк Нетрудно уоедиться, что для любого конуса Ки лежащего в ЬшХ, К = (К )ь|пк+ (Ь|е К)", поэтому (К П Ко)о = Кй «+ (К, П Ь(п К)ь';пи+ (Ь1Е К) А = = (Кь1пк+ (Ь1ВК) ) + ((Ко ПЬ1ВК)ыпк+ (ЬгяК) ) = = К*+(КоПЬ1ЕК)*. Но Ь1п К вЂ” многогранный конус, причем (Ьш К)* = = (ЬшК)А, поэтому по теореме 4.14 (Ко П Ь1 К) = Ко + (Ь(я К)' . Учитывая; что Ко — (ЬшК)А, получаем (КПКо) =К +Ко+(Ь(ИК) =К +Ко Глава 11 ВЫПУКЛЫЕ ФУНКПИИ 3 1.
Основные свойства выпуклых функций Выпуклые функции, как и выпуклые множества, представляют собой основной предмет изучения в выпуклом .анализе п теории экстремальных задач. Окааывается, что из свойства выпуклости сразу следует целый ряд других свойств таких, как непрерывность, днфференцируемость по направлешвю и многие другие. Будем рассматривать заданные на пространстве Х (= К") функции у(х), значения которых принадлежат расширенной действительной осн 1 —, + ).
Таким образом, допускается, что функции принимают значения, равные — п + С каждой функцией 1 свяжем два множества. Первое пз них — аффективная область — множество точек, в которых )(х) вшжет принимать лишь конечное значение плн значение — "'. аош~=(х: ~(х) ~+ ) Второе множество — это надграфик функции ~ — множество пар хежК' и хввХ таких, что хе~~(х): ер1~= Пхо х): хо ~)(х)) Важно заметить, что точка (хэ, х) ш К'+' только тогда может принадлежать ер()', когда хвидош~, так как если ~(х) =+, то не существует вещественного числа хг такого, что хг~)(х). Надграфик функции 1 ее определяет.
Действительно, легко проверить, что ~(х) = — (п1(х': (хг, т) еп ер1Д. (1.1) „О Вообще, если взять в пространстве К"+' произвольное множество, которое вместе с точкой (хг, х) содержит и точки (уг, х), где у > хг, н объявить его падграфиком некоторой функции, то формула (1.1) позволяет вычислить эту функцию. Таким образом, существует тесная $ Ь ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 53 связь между мнояоествами в К"о' н функцпямн на К", которая позволяет свойства одних переносить на свойства других. Например, для функции имеется понятие производной, которого нет для множества, хотя это понятие может быть для мно1кеств соответствующим образом проинтерпретпровано.
1. Определения и основные свойства. Перейдем'теперь к определению выпуклой функции. Определение 1.1. Функция 1 называется выпуклой, если ее надграфнк ер1~ есть выпуклое множество. Определение 1.2. Функция называется собственной, если она не принимает значения — п не равна тождественно + оо. Из определения следует, что для собственной функции ( дош ~Ф О и ~(х) принимает конечные значения прн хондою).
Для собственной функции ~ определение выпуклости через надграфнк может быть заменено на другое, более привычное и более часто употребляемое. Лемма 11. Если )' — собственная функция, то, для того чтобы она была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы при всех хь хг выполн лось соотношение 1(Л1х1 + Лзхт) < Лфх1) + ЛД(хэ), (1.2) Л1 ~ ~О, Лз) О, Л1+Лг = 1. Доказательство.
Если ) — выпуклая функция, то по определению для всех Ль Л1~0, Л1+Лт=1, выполнено включение (хо, х,) -(- Ло (хо, хо) = (Л хо + Лохо, Л,х, + Л,х ) ~ ер1~, если (х'„х,) ен ер1 ~, (х'„хо) я ер((, нли, иначе, 1 (Л х1 + Лохо) с Л хо + Лохо' В частности, если хо = ) (х,), хо = 1(хо), то У(Л1х1+ Лох,) ~(Л11 (х1) + Лг/(хо) Л +Л =1, Л„Л ЪО.
Нетрудно видеть, что верно н обратное: если собственная функция удовлетворяет соотношению (1.2), то она выпукла. Прп этом в неравенстве (1.2) может встречаться значение, равное + ', однако, если обращаться с этим ГЛ. П. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ несобственным числом естественным образом, то недоразумений не возникает; просто всегда надо считать, что + — это «очень большое число», большее любого другого. Лемма 1.2.
йош 1 — выпуклое множество, если у»укк«)ия 1 выпукла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть хц х» «и йош 1. Тогда сушествуют такие конечные числа х',, х«„что 1(хг)(х«, 1(х,) ( хе«, так что (х~«, х,) ен еР11, (х«м х,) ~ еР11. Поэтому Л, (хе, х,) + Л (х«,, х,) ен ер1 1„ Л,+Л,=1, Ль Л,~О, т. е 1(Лтх, + Л,х,)(Л,хе + Л«х«. Значит, 1(Л1х1+Л»х») не равно +, а поэтому Л|х1+ + Л«хе ~н йош 1, что доказывает лемму.
Как показывает лемма, йош« — выпуклое множество, даже если 1 — несобственная выпуклая функция. Рассмотрим такую функцию. Пусть у«ийош« — точка, в которой 1(у) = —, а хат(йош«. Тогда (х — у) «в (лпйош«, и поэтому прн достаточно малом е > О х~ = х+ е(х — у) «к ~и йош«. Легко видеть, что 1 е х = — х, + — у. 1+е 1+е Еслп уе — любое число, х' >1(х1), то (уе, у) «иер11 (так как 1(у) = — ), (хе,, х,) ен ер11 и поэтому в силу выпуклости ер(1 ( 1 1 е + у» „, 1 У~~еР11 1(е» 1+е '1+е 1+е ) 1(.) = «( — * + — У1» ' + е е 1 1+е ) 1+е 1 1+е Если в последнем неравенстве уэ-» — , то получим,что 1(х) =— Таким образом, если 1 — несобственная выпуклая функция, то 1(х) = — для всех х ш г( йош«.
Отсюда следует, что несобственная выпуклая функция может принимать конечные значения лишь на относительной границе своей области определения. 2 1. ОСНОВНЬЖ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИИ 55 Приведем несколько свойств выпуклых функций. Лемма 1.3. Если 1,(х), 1»ВХ,— семейство выпуклых функций, где Х вЂ” произвольное множество индексов, то функция Х (х) = зпр Х»(х) выпуклая. Доказательство. Нетрудно видеть, что ер(Х = П ер1Х».
»Е» По пересечение выпуклых мнон»еств выпукло по лемме 1.11. Значит, ер11 — выпуклое мнон»ество и функция Х выпукла. Лемма 1.4. Пусть Х вЂ” собственная выпуклая функ ция. Тогда Х(л»х» + . + Л х ) ~ Л»» (х») +... + Л Х(х ) Л» О, » 1,...,и, л+...+Л„=1. Доказательство. Можно считать, что все Л» больше нуля, пбо иначе число слагаемых можно было бы уменьшить.
Если х»Ф»)ош1, то 1(х») =+, Л»Х(х») =+ и неравенство тривиально выполняется, так как правая его часть равна + к. Пусть теперь х»ш»)ош1, 2=1, ..., и. Так как ер(Х есть выпуклое множество, то из включения (Х(х»), х,)»н ш ер» Х в салу леммы 1 1.3 следует, что (Л» Х(х») +... + Л Х(х„), ) »х» +... + Л х ) ш ер1 Х. Поэтому Х(л 1х1 +... + л х ) < л»х(х1) +... +Л4(х ), что и требовалось доказать. Л'емка 1.5. Сумма собственных выпуклых функций с неотрицательньми коэффициентами есть снова выпуклая функция. Доказательство. Если Хь 1=1, ..., и,— собственные выпуклые функции, то в силу леммы 1 1 1»(Л»Х1 + Л2Х2) «Л»)1(Х1) + Л211(Х2) е где Л»«О, Л2 «О, Л»+Л2= 1.
Умножая атп неравенства на неотрицательные коэффициенты с»,«О и складывая, гл. и. выпгклык эвикции 56 получпм неравенство ~~" а;)'г(Л,х, + Лзхз)(Л, ~ аА(х,)+ Л, ~ аА(х) в=1 из которого следует справедливость утверждения леммы. 2. Критерии выпуклости. Леммы 1.3 — 1.5 дают возможность конструировать новые выпуклые функцпн из уже известных. Приведем несколько простых критериев, позволяющих распознавать выпуклость функции. Пусть т(х) — собственная функция. Выберем точку р ж Х и построим функцию дкр(а) = ~(х+ ар).
Лемма 1.6. Функция ~ выпукла тогда и только тогда, когда Функция у„,р(а) выпукла по а для любых х и р. Доказательство. Если ~(х) — выпуклая функция, то для любых Л1 «О, Лг «О, Л1+Лз= 1, имеем укр(Л!а! + Лгаг) г(х + (Л~а1 + Лзаг)р) = = У(Л1(х+ а1 р) + Лз(х+ агр)) ( Лфх+ а1р) + + Лфх + агр) = Л1ух,р(а1) + Лзукр(аг) ° Обратно, пусть функция у.р(а) выпукла по а при любых х и р. Тогда ) (Л,х, + Л,т,) = )'(х, + ()р, 1+ Л, 0) (х, — хз)) = =ух,х -х (Лг'1 + Лз О)~ (Лгух,х -х (1) + + Лаях „, „(0) = Л1~ (х,) + Лр~ (х,).
Эта простая лемма часто бывает полезной, так как позволяет сводить исследование выпуклости функцкп многпх переменных к исследованию выпуклости функций одной переменной. Будем обозначать градиент днфференцируемой функции в точке х через )'(х), а матрицу вторых производных — через ~"(х). Таким образом, )'(х) это вектор-столбец с компонентамп д)'(х)!дх*, г = 1, ..., и, а (д'1 (х)) ~ дх'дв') Если у(а) = ((х+ ар), то, пользуясь правилами вычисления производной от сложной функции, легко 2 1. ОснОВные своистВА Выпуклых Функции 57 установить, что у'(а) = <р, )'(х+ ар)>, у" (а) = <р, ~" (х+ ар)р>. Те ар ем а 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
