Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тем самым доказано, что любая точка х из и (Мь й Мг) принадлежит одновременно и гьМь й г(Мг. В соответствии с предыдущим это означает, что и'(Мь й Мг) =иМь й иМг, что н требовалось доказать. Т е о р е и а 1.5. Пусть М вЂ” вььпуклое множество, и пусть хошМ, но хоФМ. Тогда в любой окрестности хо найду~ся точки, не принадлежащие М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем точку у ья и' М. Тогда точки луча у+Л(хо — у), Л>0, при Л) 1 не принадлежат М. В самом деле, если прн Л>1 хь =у+Л(хо — у) ья ьяМ, то т ь' ь 'ь х, = — х,+ 1 — — уели'М Л (, Л) по теореме 1.3, что противоречит тому, что хо Ф М.
4. Замкнутые выпуклые оболочки. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое. Подобным же свойством обладают и замкнутые множества, поэтому целесообразно ввести следующее определение. Определение 1.9. Пересечение всех замкнутых выпуклостей множеств, содержащих данное множество М, называется замкнутой выпуклой оболочкой М и обозначается соМ. Теорема 16. соМ=соМ.
Доказательство. Ясно, что соМ вЂ” соМ, так как в образовании соМ участвуют все выпуклые множества, а не только заьпснутые. Отсюда вытекает, что соМ вЂ” соМ. Обратно, соМ есть выпуклое замкнутое множество. Поэтому соМ='соМ, что завершает доказательство. Т е о р е и а 1.7. Выпуклая оболочка компакта есть компакт. 6 3. теОРемА Отделимости Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что в К" компакт есть ограниченное замкнутое множество. Если хгнсоЛХ, где ЛХ вЂ” компакт, то по теореме 1 1 в+1 х= ~Лгхг, ь+г хсеи М, Л,=Е0,,'У,' Л,=1, г 1 поэтому о+с 1х1< Х Лг1хг~!(е, где с — константа такая, что 1х1<с для любого хсвМ.
Итак, соЛХ вЂ” ограниченное мнонсество. Покажем, что оно замкнуто. Пусть а+г о+г хо = ~~.", Лыхы, хгь ее ЛХ, ~ Лсо — — 1. (1.5) с=г г=г Так как последовательности Ла п хя ограничены, то нз них можно выбрать сходящиеся последовательности. Не ограничивая общности, можно считать, что Ла- Лоь ха- х,о сиМ, поскольку М вЂ” компакт. Отсюда, переходя к пределу в формулах (1.5), получаем о+1 и+с хо = Х Лгохгог хго ~ Мг Х Л;о = 1. с=г г=г Это означает, что хожсоМ. Тем самым замкнутость соМ доказана.
е 2. Теорема отделимости Свойство отделимости выпуклых множеств, состоящее в том, что между двумя выпуклыми непересекающимися множествами можно провести гиперплоскость так, чтобы зтп множества остались по разные стороны от нее, является одним из основных свойств, широко используемым в приложениях. Здесь будут даны два подхода к построению теорем отделимости.
Первый из них существенно связан с конечномерностью рассматриваемого пространства Х. Второй основан на известной теореме Хаиа— Банаха пз функционального анализа. 1. Основные теоремы. Теорема 2.1. Пусть М вЂ” вьигуклое мноьтеетво и точка хо >ге принадлежит его замыканию. Тогда суи1е- 2 в. н. пшоопчныа гл. х выпуклые мнОжестВА 18 ствуют точка х" и число е ) 0 такие, что <х, хв> (<хо, хв>-е Отсюда после простых преобразований получаем 2<х — у, у — хо>+Л11х — уР>0, Лоя(0, И.
В частности, при Л = 0 <х — у, у — хо»0. (2 1) Положим хе=хо у, е=11хоР. Так как хоФМ, то У чехо и хо ФО, поэтомУ с~О. ТепеРь неРавенство (2.1) можно переписать в виде <х, х*> ( <у, хо> = <хо, х*> — <х*, ха> = <хо, хо> — е. Так как точка хоеМ была выбрана произвольно, то доказательство завершено. Т е о р е м а 2.2.
Пусть М вЂ” выпуклое мноасество и хоФМ. Тогда существует точка хо чьО, удовлетворяющая неравенству <х, х*> ~ <хо,хо> для всех х~иМ. Доказательство. Если хоФМ, то утверждение следует из предыдущей теоремы. Если же хооеМ, то согласно теореме 1.5 существует последовательность х, — хо, х, Ф М. Применим предыдущую теорему к М п х,: (х, х,">((хю х„'> — ею еь) О. для всех хоп М. Доказательство. Пусть у — точка нз М, блнжайщая к хо. В силу замкнутости М такая точка существует и удовлетворяет неравенству 11х — хо11 > 11у — хо11, 'дх ов М. Так как Лх+ (1 — Л)у = у+Л(х — у) ж М в силу выпуклости М для всех Л ои [О, 1), то 11Л +(1-Л)у- о111= = <у — хо+ Л(х — у), у — хо+ Л(х — у)> = 11у — хоР+ 2Л<х — у, у — хо>+ И1х — уР > 11у — хоР.
5 г. теОРемА Отдел11иости Так как е, , то )О то хвФО. Отбрасывая е„и нормируя х,',, получкм (2.2) И аниченной по норме последовательности'можно выбрать сходящуюся. Без ограничения общности уд з ограниче б ем считать,что Ф-;, к1= 1. Я о' Переходя теперь в неравенстве (2.2) к пределу, получим (х хе> ~~ <хо1 хв>~ что и требовалось доказать. Теорема 2.3. Если М, и Мг — выпуклые непересекающиеся мнохсества, то существует точка х*чьО такая, что <хг, х"*> ( <хг, хв> для всех х! !нМ!, хеба Мг. Доказательство.
Пусть М=М! — Мг. Так как М! и Мг не пересекаются, то точка хе=О не принадлежит М. Применяя предыдущую теорему к М и хе=О, получим, что существует точка хв Ф О такая, что (х, х*> ( (О, х*> (2.3) для всех х!вМ, т. е. для х=х! — хг, х! ыЛ1!, хгыМг. Подставляя выражение для х в неравенство (2.3), получим <х! — хг,х > О, х! М1, хг Мг, что и требовалось доказать. Теорема 2.4. Если М! и Мг — выпуклые залгкнутые непересекающиеся мнохсества, причем одно из них компактно, то существуют точка х* и число е ~ О такие, что <х!, хв> ( <хг хв> — е для всех х! ы М!, хг 'в Мг.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в предыдущем доказательстве, точка хв О не принадлежит М=М! — Мг. Но ЯФ ГЛ. Е ВЫПУКПЫЕ МНОЖЕСТВА пз того, что М1 и Мз замкнуты, а одно из них компактно, следует, что М вЂ” замкнутое множество. Доказательство этого несложного факта предоставляется читателю. Таким образом, точка хе=О не принадлежит замкнутому множеству М. Для завершения доказательства достаточно применить теорему 2.1.
2. Функции Минковского. Эта функция представляет интерес сама по себе, как пример выпуклой функции, которая систематически будет изучаться дальше. В этом параграфе она будет использоваться при доказательстве теоремы отделимости па основе теоремы Хана — Валаха. Определение 2.1. Пусть М вЂ” выпуклое множество п О ш пй М. Пололшп гм (х) = 1ВХ ~а: а > О, — * ен ЛХ~. Функция г„(х), заданная на всем пространстве Х, называется ЯуниЬией Минковского.
Так как Ош1п1М, то а 1хшМ при большом а для любого х, поэтому г (х) — всегда конечное число. Кроме того, по определению г„(х) > О. Л е м м а 2.1. Пусть М вЂ” выпуклое множество и Ош1п(М. Тогда." а) если Л > О, то гн(Лх) = Лг (х); б) если хш М, то гн(х) ~ 1, а если хФ М, то гм(х) > 1; в) г (х+у) ~ г„(х)+г„(у). Доказательство. а) Пусть Ла1 =а. Имеем гм (Лх) = 1ВХ ~а: а > О, — ее М) = Лх а а = )п1 (Ла,: а1 > О, а„'х я ЛХ! = а, = А 1п( (а,: а1 > О, а, 'х еп ЛХ1 — -- Лгм (х).
ш б) Если хшМ, то х/1шМ, так что г„(х) <1. Пусть теперь х ФМ. Если г„(х) с 1, то существует а< 1 такое, что а 'х ш М. Так как О 1В М и М выпукло, то х = (1 — а) О+ а(а 'х) ш М, что противоречит исходному предположению. Итак, дей- ствительно г (х) >1 для хФМ. 2 г. тяонкмл отдвлимостп г( в) Пусть т >ги(х)+ги(у). Тогда найдутся а и р такие, что [=а+]3, а)гн(х), ?2) гя(у).
Из неравенства а) гя(х) вытекает, что а 1хшМ. В самом деле, по опре- ДЕЛЕНИЮ Гч(Х) СУЩЕСтВУЕт ЧИСЛО а1 таКОЕ, Чта а)а > )г (х) п атьхшМ; поэтому а гх=(1 — а 'а) О-]- +а-1а1(а,'х) ен М в силу выпуклости М и того,,что по условию 01нМ. Аналогично доказывается, что р 1у1нМ. Отсюда вытекает справедливость соотношения — = — = — (а 'х) + — ([)-гу) е= М, а+(3 и+[? ' а+[3 следовательно, гя(х+у) ( "(. Но так как т было взято произвольным числом, больш м гм(х) + г„(у), то гя(х+ у) ( г„(х) + г„(у).
Лемма доказана. 3. Теорема Хана — Банаха. Эта теорема является одной нз осповнык в функциональном анализе. Она практически эквивалентна теореме отделимости. Теорема 2.5. Пусть задана функция р(х), определенная на Х и такая, что р(х+ у)»~ р(х) + р(у?, рйх) =)1р(х) д.1я ?1 ~ 0. Пусть, кроме того, задана линейная функция ?(х) на подпространстве Хо — Х и ?(х) (р(х) для всех х~ Хо. Тогда существует линейная функция Г(х), определенная па всем пространстве и такая, что ?(х) =Р(х) для хонХо и Г(х) (р(х) для хаХ. Доказательство. Пусть хоФХо.
По условию для Х1, хгонхо 1(хг) 2(Х1) = 1(хг Х1) » )2(Х2 Х1) =. р((хо+ хо) + (- х1 — хо И ~ р(хг+ хо) + р( — Х1 — хо), откуда — р( — х1 — хо? — ~(х1) ~ р(хг+ хо) — ~(хг). (2.4) Положим гп = зпр [ — р( — х, — хо) — ~(Х1)], (2.5) :зал~ М =- 1п[ [р(хг+ хо) — К.,)]. (2.6) Гл. 1. Выпуклые множества 22 Очевидно, что числа вс и М конечны и т~М.
Если взять го между сп и М, то для любого х си Хо будем иметь — р( — х — хо) — ~(х) ~ го ( р(х+ хо) — ~(х). (2.7) Рассмотрим теперь множество точек Х' вида х+ссхо, где хскХо, аюй'. Очевидно, что Х' — подпространство, так как оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения на число. Далее, если у =х+ахо, то х и а определены однозначно. В самом деле, если существУет дРУгое пРедставление У = хс+ асхо, хс ж Хо, то хс — х = (а — ас) хо, н если а — ас Ф О, то хожХо, что противоречит предположению. Для ужХс положим ср(у) =7(х)+ аг. Функция ср(у) определена однозначно, линейна и ср(у) =* =)(у) для усяХо.
Покажем, что ср(у) ~ р(у). Это неравенство можно переписать в виде У(х) 3 аго ~ р(х+ ахо). (2.8) Если а ) О, то (2.8) переходит в неравенство гоар( + хо) — У( — ) эквивалентное правому неравенству (2.7), если заменить в нем х на а 'х. Аналогично, если а(О, то (2.8) переходит в левое из неравенств (2.7). Итак, показано, что функция )(х) может быть продолжена с сохранением всех свойств на подпространство Х', Х' ~ Хо, размерность которого на единицу больше размерности Х'. Повторяя ото построение, мы за конечное число шагов построим функцию 7(х) во всем пространстве Х. Покалсеы теперь, как из етой теоремы следует теорема об отделимости. Т е о р е и а 2.6.
Пусть М вЂ” выпуклое множество, спсМФ Яс и хоФМ. Тогда суцествует линейнал функс)ил $2. Теогемл ОтделимОсти Г(х) такая, что г'(х) ( г"(хо), Г(хо) ~ 1, для всех х он М. Д казательство. Так как ш$МчьИ, то без ограничения общности можно считать, что О он штМ. Иначе можно было бы взять хов(поМ и рассмотреть М вЂ” х и точку хо — х. Так как О он АМ, то определена функция Минковского г (х). По лемме 2Л г„(х) ~1 для хоиМ и гк(х) ) 1. Определим теперь на одномерном подпространстве Хо, состоящем из элементов х= ахо, со он К', линейную функцпю )(х) следующей формулой: У(х) = согк(хо).
Согласно лемме 2.1 функция гк(х) и линейная функция )(х) на подпространстве Хо удовлетворяют всем требованпяи теоремы 2.5, так как легко проверить справедливость неравенства ~(х) ( г„(х) х ов Хо. Применяя теорему 2.5, получим линейную функцию г'(х) такую, что Р(х) < г„(х), х оя Х, к(хо) = ~(хо) = гв(хо) > 1. Но так как гм(х) < 1 для хжМ, то Е(х) (г.,(х) (1 сгм(хо) =Р'(хо), что завершает доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
