Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 2
Текст из файла (страница 2)
И это уменьшение возможно до тех пор, пока т) и+ 1. Ото»ода и следует утверждение теоремы. Доказательство. Ясно, что центральным местом в теореме является утверждение о том, что г~ и+ 1. Возьмем точку вида (1.1) и покажем, что число ненулевых слагаемых в сумме (11) можно уменьшить, если т) и+1. Достаточно предполагать, что Х»)О. Возьмем (и+1)-мерные векторы (х„1), 1=1, ..., т, в которых первые и компонент совпадают с соответствующими компонентами вектора х», а последняя равна 1. Так как число таких векторов т) и+1, то они линейно зависимы. Поэтому найдутся не все равные нулю числа а», » =1, ..., т, такие, что $1. ОБЩНВ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 11 3.
Топологические свойства. Определение 1.4. Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует такое е) О, что х+ЕВЖМ, где  — единичный шар в К" с центром в начале координат, т. е. В = (х: !!х!! ( 1), (!х!! = <х, х>'". й(ножество внутренних точек множества М называется внутренностью множества и обозначается шсМ. Определение 1.5. Точка х называется предельной точкой мноясества М, если существует последовательность точек х,снМ, сходящаяся к х. Совокупность всех предельных точек множества М называется его вамыканиелс и обозначается М.
Лемма 1.5. Замыкание и внутренность выпуклого множества выпуклы. Доказательство. Если М выпукло, то из хсси ш сис М, хг св ш1 М следуют включения хс + есВ ж М, хе+ ег — М. Пусть Лсхс+Лзхг — выпуклая комбинация точек хс и хь Тогда Лс(хс + есВ) + Лг(хз+ езВ) = = Лсхс + Лтхз+ (Лсзс + Лтзз)В ': — М, т. е. Лсхс+Лзхз есть точка (иьМ. Если хс, хе ш М, то по определению существуют последовательности точек хп, хз, св М такие, что хс„- хс, хм хз. Пусть Лсхсь+Лгхм — выпуклая комбинация точек хм, хм.
Тогда Лсхл + Лгхг = 11ш (Лсхсь + Лгхгь) ен М атак как Лсхс,+Лгхз„шМ в силу выпуклости последнего. Выпуклые множества обладают тем свойством, что в некотором смысле их всегда можно погрузить в подпространство, относительно которого они уже имеют внутренние точки, Теорема 1.2. Выпуклое лсножество М, лежал)ее в Й", .сиба имеет внутренние точки, либо содержится в подпространстве меньшей размерности, сдвинутом на некоторый вектор. Доказательство.
Пусть хгсвМ. Расслсотрнм все векторы вида х — хс, хсвМ. Согласно известным теоре- 12 Гл. ь Выпуклые Множества мам линейной алгебры среди векторов рассматриваемого вида имеется г ( и линейно независимых: х1 — хм ... ..., х„— хс. Возможны два случая. а) г=п. Таким образом, имеются п векторов х,— хс, х,ыМ, 1=1, ..., и, которые линейно независимы. Рассмотрим множество Я" =(х =Леха+...+Л„х„: Л,) О, Лэ+...+Л„= 1).
Я" нааывается п-лерныл силплексол, натянутым на точки хэ, хь ..., х„. По лемме 1.3 Я" ж М, поэтому, если будет доказано, что Я" имеет внутренние точки, то их будет иметь п М. Докажем, что любая точка хю Я", коэффициенты Л~ в представлении которой строго положительны, принадлежит 1пьо". Рассмотрим систему уравнений относительно Ль 1=1, ..., и: х — х, = ~~~~ Л;(х; — х,). к=т Так как векторы х; — хс линейно независимы, то эта система имеет единственное решение Л;(х), 1=1, ..., я, непрерывно завпсшцее от х (вспомните формулы Крамера для систем уравнений с яевырожденным определителем). Поэтому, полагая х равным х=)схэ+...+Л„х., Л~) О, получим, что Л;(х) =Л;) О, 1=1, ..., я, и я Л =1 — ХЛ;>О. г=т Отсюда вытекает, что Л;(х) ) О, 1=1, ..., я, для всех х из некоторой окрестности х и Лэ (х) 1 ~л~~ Л3 (х) ) О 1=1 Поэтому для всех точек х из некоторой окрестности точ- ки х выполняется включение х = ~ Л; (х) х; ~ 8'*, что докааывает первую часть теоремы.
$ С ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ б) с< и. Рассмотрим подпространство Хо, состоящее пз векторов у= ~ ао(х — хо) 1=1 По построению М вЂ” хо аз Хо, т. е. М вЂ” хо+ Хо. Теорема доказана. Построенное в теореме подпространство Хо г-мерио, н в нем множество М вЂ” хо содержит внутренние точки. Это можно показать так же, как в случае а) доказательства теоремы 1.2. Далее, Х' не зависит от выбора точки х, и векторов х — хо, (=1, ..., г. В самом деле, любое подпространство, содержащее М вЂ” хо, должно содержать векторы х; — хо, а значит и все Хо. Отсюда следует, что Х' есть пересечение всех подпространств, содержащих М вЂ” хо.
Если подпространство Х' содержит М вЂ” хо для некоторого хоов М, то оно содержит н М вЂ” хо для любой другой точки хоои М. Действительно, х — хо (х — хо) — (хо — хо), и так как Х' — подпространство, то оно содержит разность любых двух своих векторов. Таким образом, Х' содерягит М вЂ” хо и М вЂ” хо одновременно, т. е. Хо не зависит от выбора хо. Теперь мотивировано следующее определение. О п р е д е л е и и е 1.6. Пересечение всех подпространств, содеряоащих М вЂ” хо, где хо — любая точка выпуклого множества М, называется несущим подпространствои множества М и обозначается Е!ВМ; А11М= хо+ + 1лп М называется аффинной оболочкой М.
Определение 1.7. Точка х называется относительно внутренней точкой выпуклого множества М, если х+Ь!ВМП (ев) — М, т. е. х содержится в М вместе с шаром радиуса е )О, лежащим в Е!ВМ. Множество точек выпуклого множества, внутренних относительно его несущего подпространства, называется относительной внутренностью и обозначается г! М.
Л е м и а 1.6. г! М = г! М. Доказательство. Так как Е!ВМ есть замкнутое множество, содержащее М, то Е!ВМыМ. Легко видеть, ГЛ. 1. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА что ЬшМ=ХапТ1)Х. Очевидно, что г1М~г!ЗХ. Докажем обратное включение. Пусть хант(М, а еь ..., е, — базис в ХАПМ. Тогда при малом е имеем 1 уь = х + е (еь — —, е~ ее .)Х, й = 1, ..., т, .+1 ~ е у =х — — еепМ, г+1 где е = е~ +... + е,. Векторы уь — уо = ее„линейно неза- висимы, и 1 1 ус+ ' '+ г+1 ''' г+1 Последнее равенство означает, что х есть внутренняя точка симплекса, натянутого па точки уо, ..., у„. Коли взять точки у, ~М, достаточно близкие к у„ то получится, что х есть внутренняя точка симплекса, натянутого на точки уь1н М, а значит, относительно внутренняя точка М; поэтому г(М г( М.
Лемма доказана. Теорема 1.3. Пусть М вЂ” выпуклое множество. Если х1 гни, хоовг(М, то при всех 0<)о< 1 (1 — А)х1+).хо 1и ~- =г1М. ХХроме тово, М = г1М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если хо ~ г( М, то хо+ Хлп М П й (еВ) М. Поэтому н из выпуклости М следует, что (1 — ) )х1 + Х(хо+ Х (п М П (еВ)) = = (1 — Х)х~+ )хо+ Хлп М П О~еВ) — М, т. е. (1 — Л)х1 + ) хо ы 11 М, так как 11 М = г(ТХ по лемме 1.6. Пусть хо ж М, х, ~в М, х„- хо, )м - О.
Тогда(1 — А„)х, + +),у~вг(М, если уыг1'М; поэтому хо есть предельная точка для г( ЛХ. Итак, М ы 11 М. Обратное включение очевкдно. Определение 1.8. Размерность пространства Ь~ПМ называется размерностью выпуклого множества М и обозначается Йт М. Теорема 1.4. Если для выпуклых множеств М1 и Мз выполняется условие г(М~ П г(Мочь ю, то 1~1п М1 П ХАПМо = Ьоп (М~ П Мо), г1М1 Пг(Мо=г1 (М~ ПМз).
1 ь Овжпе сВОйстВА ВыпУклых мнОжестВ 15 Доказательство. Без ограничения обп(ности будем считать, что Ожг1МЛ ПпМг. Так как в этом случае Ь1п М, М„Ь1п Мг — Мм то Ь(п М1 й Ь(п Мз гз М1 П Мз и поэтому Ь(ПМ1 й ЬшМ» — Ьш(М| ПМ»). Обратно, пусть з~нЬ(ПМ~ й Ь1пММ Тогда при достаточно малом Х) 0 Хз~н М1 и Ьз'в Мз, так как О юг(М1 й й и'Мь Отсюда вытекает, что Хг~пМ, П Мм а, значит, Зла Ь(п (М1 ПМ»).
Так как Ьш(М1 ПЛХз) — подпространство, то г~н1(п(М1 ПМ»). Докажем вторую часть утверждения. Если хант(ЛХ~ й П пМм то х+ Ь(ПМ~ й (еВ) ж Мп х+ Ь(ПМ» й (еВ) ж Мм так что (х+ Ьш М1 й (ЕВ)) й (х+ Ьш Мз й (еВ)) = =х+Ь(п(М~ йМ») й (ВВ) ':-'М~ ПЛХ» и х~ип(М, ПМ»). Поэтому г((М~ й Мз) =— 'г(М1 П г(М».
Пусть теперь хат((М~ ПМз). Так как О»иг(МВ то (1-))халат(М» 1=1,2,для 0<7~(1. Поэтому(1 — ) )хж ~ж пМ| й и'Мь Устремляя Л к нулю, получаем х~вг»М П П г( Мь Таким образом, п М1 й и Мт ж и (М1 й Мз) ж и' М1 й и' ЛХМ Пусть еп ем ..., е, — базис в Ь(п (М1 П Мз), е= е~+... ... + е„, х ю и' (М1 й Мз). Тогда при достаточно малом е ~ 0 все точки 1 у» — — х+ е~е» вЂ” — е А'=1 + 1 1 — 1 1 е у» = х — — е г+1 принадлежат гПМ1 й Мз), а значит и и'М1 П и'Мь В то же время = — у + ° ° ° + у 1 г+1» ''' г+1 Гл. 1. Вьшуклые мнояьвства является внутренней точкой спмплекса, натянутого на точки уо, ..., у„относительно надпространства?дп(Мь й й Мо). Если взять точки уь ья и Мь й и'Мо достаточно близкими к у„ то ясно, что точка х будет внутренней точкой симплекса, натянутого на у„, а потому будет принадлежать и'Мь йг1Мг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
