Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Теорема 2.6 почти эквивалентна теореме 2.2, так как в конечномерном пространстве Х = К" любая линейная функция задается скалярным произведением. Остается усчовпе ш$МФ я~, не учитывать которое в общем случае нельзя. Однако для конечномерного пространства Х зто можно проделать, рассмотрев М в ЬшМ, где его внутренность не пуста. 4. Опорная функция. Выпуклоемножество может быть оларактериеовано не только функцией Минковского, но н некоторой другой функцией.
Гл. 1. Выпуклые множества Определение 22. Функция Итм(х*) = звр(<х, хз>: хан М) называется опорной функцией множества М. Теорема 2.7. Пусть М вЂ” замкнутое выпукзое множество, Тогда ХАМ в том и только том случае, если <х, хз> < В'и(хз) (2.9) для всех хз ~к М. Доказательство. Если ХАМ, то неравенство (2.9) выполняется в силу определения опорной функция. Обратно, пусть хз удовлетворяет неравенству (2.9), но хз ФМ. Тогда по теореме 2Л существуют точка х* и число з ) О такие,что <х, хз> ( <хг,х*> — е.
Взяв верхнюю грань в левой части неравенства по всем х ы М, получим И' (хе) ( <хг, хе> — е, что противоречит предположению. 5 3. Выпуклые конухы Выпуклый конус является одним нз основных объектов изучения в теории экстремальных задач. Изучение. его свойств связано с вычислением сопряженного к нему конуса. $. Определении и основные свойства. Определение 3.1.
Выпуклое множество К называется выпуклым конусом, если из того, что х 1в К и >, ) О, следует, что >х 1ВК. Лемма ЗЛ. Если хи хм ..., Х„1нК, Х1)О,...,Х„) О, то >,1Х +Л* +...+Л„Х„1ик. Доказательство следует из формулы 1' ь ы >тх1+ °,, + Х~Х~ = Х~ Х1+ ... + Хы)~ где Х=>,1+...+Х, леммы 1.3 и определения конуса. % 3. Выпуклые конусы 25 Итак, выпуклый конус содержит любые линейные комбинации своих элементов с положительными коэффициентами. Так как большинство рассматриваемых далее конусов будут выпуклыми, то будем их называть просто конусамп, как правило, опуская слово «выпуклый». Определение 3.2.
Множество векторов хошХо таких, что <х, х*> >О для всех хыК, называется конусом, сопряженным к конусу К, и обозначается Ко. Короче это можно ааписать следующим образом: Ко=(хошХо: <х, хо»0, хыК). Приведем ряд свойств сопряженных конусов. Очевидно, что Ко — выпуклый конус. Лемма 3.2. К* — замкнутый конус. Доказательство. Если х»~К*, хь-о-хо, то прп переходе к пределу в неравенстве получаем (х, х >)О, хек К, т. е. хо ел Ко. Лемма 3.3.
К и К имеют одинаковые сопряженные конусы, т. е. К* = (К)*. Доказательство. Если хо«в(К)*, то <х, х*»0 для всех х«вК, т. е. и для хыК, поэтому хо|иК«. Обратно, если хо«и Ко, то <х, х*> — неотрицательная функция па К по непрерывности, ибо элементы из К являются предельнымп для элементов из К. Лемма 3.4. Если К вЂ” замкнутый конус и <х, хо> ~ 0 для всех хо а Ко, то х «в К. Доказательство. Предположим противное. Пусть хоза К, но <хо, х*» 0 для всех хо |к Ко.
Так как х«ФК, то по теореме 2.4 существуют такие хо и е) О, что <хо, хо>(<х, х*> — з. (3.1) для всех х«вК. ГЛ. Е ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Покажем, что 1п1 (х, х»> = О. хнк (3.2) К»* = (х: <х, х*> ~ О, х» ю К»). Но если х ю К, то <х, х»» О для х» ы К». Обратно, если К замкнут, то согласно предыдущей лемме из неравенства <х, х»> ~0 для всех х»ыК» следует, что хыК. В общем случае К*»=К. Это следует из леммы 3.3, пбо К»» (К)» и поэтому К»»=(К)*»=К. Л е м м а 3.6. Пусть К1 и .
Кз — конусы, Тогда К~ + Кх — также выпуклый конус и (К~+ Кг) =КхПКю Доказательство. То, что К~+Кх — выпуклый конус, следует из леммы 1.2 и легко проверяемого факта, Действительно, так как вместе с х конус содеря'ит и точки )х, Х) О, то, устремляя Х к нулю, убеждаемся, что любой конус содержит элементы, как угодно близкие к нулю. В частности, замкнутый конус всегда содержит точку нуль, поэтому точная нижняя грань произведения <х, х*> не молсет быть больше нуля. С другой стороны, произведение <х, х*> ограничено снизу согласно оценке (3.1).
Покажем, что <х, х*> > О. Если бы существовала точка х1ыК, для которой <хь х*>(0, то, взяв х=Хх~ и устремив >. к +, получили бы, что произведение <х, х*> стремится к —, что противоречит ограниченности снизу. Тем самым соотношение (3.2) доказано. Из него следует, что х» ю К». Полагая в неравенстве (ЗЛ) х = О, получаем, что <хв, х»>( — з в противоречии с допущением.
Итак, хв ж К, что и требовалось доказать. Так как К» — выпуклый конус в Х» — дубликате Х К",— то можно поставить вопрос о вычислении сопряженного к нему конуса (К")*, т. е. К»». Этот последний будем брать в исходном'пространстве Х. Лемма 3.5. Если К вЂ” замкнутый конус, то К**=К. Д ока з ательство. В соответствии с определением 3.2 $ 3. ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ что К1+К2 вместе с х=х1+хг, х1 1ЕКК ха1ЕК2 содеряпт и Хх=лх~+Ххз, Х«0. Далее, х» 1н (К, + К2)» тогда и только тогда, когда <х!+х2, х > «0» х!ыКК х2нК2. Поскольку х, и хг меняются независимо и при необходимости одно из них можно устремить к нулю, то пос леднее неравенство эквивалентно следующим двум: <хь х»> «О, х,1ЕКК <хз, х*> «О, хз ы К2, т.
е. х»ен К, и х» ен К,. Итак, доказано, что х»ы 1- =(К1+Кз)» тогда и только тогда, когда я* енК1 П К,. Следующая лемма очень важна. Лемма 3.7. Для зинкнутьзх конусов К1 и Кз (К1 П К2)» = К» + К». (3.3) Замечание. Напомним, что черта над множеством обозначает замыкание множества. Эту черту в соотношенпи (3.3) в общем случае убрать нельзя, так как можно привести примеры конусов — выпуклых и замкнутых,— для которых сумма не замкнута, в то время как сопрян1енныа конус в левой части неравеяства (3.3) всегда замкнут. Доказательство леммы несколько формально и опирается на предыдущие результаты: (К1ЙК2)» =(К1 ПК2 ) =((К1+ Кг) ) = 1К1 + К2) К1 + К2' Закончим этот раздел простой, но полезной леммой.
Лемма 3.8. Если произведение <х, х*> ограничено снизу для всех хюК, то х»1ЕК». Если хш1В1К, то <х, х»> =»0 о.гя всех х»~К», х»ФО. Доказательство первого утверждения было дано при выводе формулы (3.2). Докажем второе. Если х1игпьК, то существует такое е «О, что х+ еВЫК, где  — единичный шар с центром в нуле. Поэтому <х+аз, х»> «О Гл, х Выпуклыв множвстВА лля хе жКе прп всех з еВ. Отсюда следует, что (х,х*)= взор( — з, х*))е' ~„, х* ' = е)хв~> О, ,!1*"Р что п требовалось доказать. 2.
Отделимость выпуклых конусов. Для дальнейшего необходимо уточнить теоремы, связанные с отделимостью выпуклых конусов. Теорема 3.1. Пусть Кь ..., ʄ— выпуклые конусы. Длп того чтобы их пересечение было пусто, необходимо, чтобы нашлись такие х~ ел К~, 1= 1,..., гп, не все равные нулю, что хг+ ...+х =О. Доказательство. Рассмотрим пространство Х =-Х Х Х Х ...
ХХ, т. е. пространство К"", элементы которого имеют впд (х„хк ..., х„), где каждая компонента х, принадлежит Х. Очевидно, что скалярное произведение векторов (х„ ..., х ) и (х,, ...,х ) в таком пространстве можно записать в виде суммы (х„хг) + (хю.хз) + ... + (хп, х,„). Рассмотрим в Х™ два конуса: К=К1Х...ХК„=((хп ..., х„): х, жК„..., х„~в К„), Р = ((х, ..., х): х ~е Х). Второй конус состоит пз векторов, все и-мерные компоненты которых равны между собой. Так как пересеченпе конусов Кь ..., К пусто, то нетрудно видеть, что К и Р не пересекаются. Примення теорему 2.3, получим, что существует такой вектор(х„ ...,х,„), что л в л Ф (х, х,) + ... + (х, х ) ((х„х,) + ... + (хп, х,„), (3.4) хек Х, хгяК„..., х~енК~. Из неравенства (3.4) следует, что (хнх*;) ограничено снизу на конусе Кь (=1, 2, ..., пг.
По лемме 3.8 от- о 3. Выпуклые кОнусы сюда следует, что (3. 5) Левая часть неравенства (3.4) в свою очередь показывает, что произведение (х, хг + ... + х > ограничено сверху для всех хоп Х. Но это может быть только в том случае, если х,+...+х =О, (3.6) так как ненулевая линейная функция может принимать каь угодно большие значения. Из соотношений (3.5) и (3.6) следует утверждение теоремы.
Теорема 3.2, Пусть К = К~ й Кг й... йК, К~ й 1п( Ко й:.. й оп(К Ф Ю. Тогда Доказательство. Справедливость включения К*=о К", + ... + К проверяется непосредственно, исходя нз определения сопрял'енного конуса. Докажем обратное включение. Пусть хо ов Ко, хо чо О. Положим Ко=(х: <х, хо> (0). Конусы Ко и К не пересекаются, так как в противном случае нз существования злемента х, он Ко й К оь И следует <хь х*> (О, так как х1 ов Ко, н <хь хо» О, так как х~ ов К, хо ои Ко.
Рассмотрим конус, сопряженный к Ко. Пусть из <х, х*> ( 0 следует, что <х, у*> ) О, т. е. о у* ен К„уо чь О. Тогда х" и у* линейно зависимы. Значит, прп некоторых не равных одновременно нулю и~ и ио выполняется соотношение и;х* — игу* = О. Гл. 1. Выпуклые множестВА зо Так как х*чАО и у*чьО, то атчьО и у* = Лх*, Л = а1/ат. Далее, для хшКС 0 ( <х, уе> = Л<х, х*>. Так как <х, х*> ~0, то Л(0. В случае, если у*=О, полагаем у*=О х*. Итак, доказано, что К =(у*: у* =Л ', Лк 0) Поскольку конусы Ко и К (т. е. Ке, Кь ..., К ) не пересекаются, то согласно предыдущей теореме существу- Э Ф Ф Ф ют такие у онКе, х< еВК<, (= $, ..., и, что у~ + х', + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
