Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 10
Текст из файла (страница 10)
а Так как замыкание выпуклого множества снова выпукло (лемма 1 1.5), то ) — выпуклая функция. в 2. Сопряженные функции Применение теорем отделимости к выпуклым функциям приводит естественным образом к понятию сопряженной функции. Напомним, что согласно $2 главы 1 Гл. гх. Вьшукльгв Функции замкнутое выпуклое множество полностью характеризуется своей опорной функцией И'м(хе) = зпр ((х, х'): х ен М). х Вычислим опорную функцию надграфика замкнутой выпуклой функции 1. Учитывая, что ер( ~ лежит в пространстве К"+', получим Иамт(хз 1 х ) = зпр ((х~ х )+хвх: (хв~ х)я=ей( (хв,з) Если х~*) О, то при данном х число х может быть любым, ббльшим ~(х); поэтому И', ~ ~(хе*, х*) =+ .
Остается вычислить И'„,, при ах*(0. Йиже будет показано, что для вычисления И"„,, при хе*(0 в случае, когда ~— замкнутая выпуклая функция, достаточно найти И'„, ~( — 1, х*). Если же хсв = — 1, то И'взи( — 1, х*) = зпр ((х, х*) — х': а') ~(х)) = (~о „) = зпр((х, х*) — ~(х)). 1. Определение и основные свойства. Определение 2.1. Функция )*(хв) = зпр((х, х*) — )(х)) х называется сопряженной к т. Лемма 2.1. Сопряженная удункиия замкнута и выпукла.
Доказательство. При фиксированном х функция <х, х* > — )(х) есть линейная функция х", а значит, она замкнута п выпукла по этому аргументу. Надграфик 1в(хв) есть пересечение надграфнков функций <х,х*>— — ~(х), т. е.
пересечение замкнутых выпуклых множеств, н поэтому ер()* — также замкнутое и выпуклое множество. Лемма 2.2. Справедливо неравенство ) (х) + )" (х") ~ ( х, х* >. Это неравенство, называющееся неравенством Юнза, вытекает непосредственно пз определения сопряженной функции. 65 % 2.
СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ Следующая теорема, являющаяся в некотором смысле основной, описывает связь между функцией 1 и сопряженной к ней функцией 1». Т е о р е м а 2Л. Пусть 1 — собственная выпуклая замкнутая функция. Тогда т(х) = т»*(х), где согласно определению 2.1 )»»(х) = вар((х, х»> — (» (х»)). (2 1) х* Доказательство. Так как согласно предыдущей лемме ~(х) > <х, х»> — )»(х»), то 1(х) ) 1»»(х).
Отсюда, в частности, следует, что йош1ж йош)»». ПУсть хошйош1. ВыбеРем т<~(хо) и РассмотРим в В +' множество Р;. Р,= ((хо, х): х — хоев сВ, хо( (), хо»уо+ (у х») ~ хо» о 1 (») (уо у) еи Р„(хо х) еи ер( т. (2.2) Так как уо можно взять любым, меньшим (, то из неравенства (2.2) сразу следует, что х'» < О. Покажем, что на самом деле хо» ( О.
В предположении хо» = О формула 5 В. Н. Пшеничный где  — единичный шар в В". Так как ер( 1 — аамкнутое множество, то Р, и ер1 1 при достаточно малом е не пересекаются. Предположим противное. Тогда найдется последовательность (х', хь) он Р,„, еь-е- О, хьо( у,такая, что (хо, хь) я ер11. Так как е,— О, то х,— хо, 1(шх~( у п в силу замкнутостп ер11 у)~1(шход)~(хо), что протпи ее воречпт выбору (. Разделим ер1 ) и Р„ т е. найдем такой ненулевой вектор (хо*, х*), что гл. и.
Выпуклые Функции вв (2,2) переходит в формулу <у, хч>) <х, х">, у — хоан сВ, хю Йош). Положив х = хо, получим, что <у — хо, х*> >О, у — хож еВ. В силу произвольности у — хаюеВ зто неравенство выполняется только в случае, если хо = О, что находится в противоречии с тем, что вектор (хо*, х*) не равен нулю. Полоншм теперь хоо = — 1. Тогда (2,2) приобретает следующий вид: — уа+ (у, х >) — х + <х, хо>, (2.3) ус< ( у х еисВ хо л)(х) Пусть у =т, х =)(х), у=ха. Тогда из (2.3) получаем, что (х„х*> — у) )зор((х, хо> — )'(х)) = )*(хо) х или т ( <хо, х*> — 7'"(х*), откуда у( зпр((ха, х*> — ) (х")) = ~о*(хо).
(2.4) Так как ( — произвольное число, меньшее )(хо), то из соотношения (2.4) получаем, что У(ха) ~ У~™(хо). Сопоставляя это неравенство с доказанным ранее ()> > ~**), получаем требуемый результат: ~(х) = го*(хо). Пусть теперь хоФ бош(, т. е. г(хо) + . Тогда точно так же, как и ранее, взяв произвольное т, можно убедиться, что ер( ) и Р, при достаточно малом с не пересекаются и справедливо неравенство (2.2). Если для произвольно больших т имеем хо*(О, то для этих ( выполняется неравенство (2.4), и, значит, 1 (хо) =+ ооПусть теперь ха*=О при некотором т. Тогда из ус» ловня (2.2) получаем, что <у, хо> Р- <х, хо>, у — хо ж еВ, х ю оош г.
4 а сопгяжкнныв Функции 67 Вычтем из обеих частей этого неравенства произведение <х хх> и, взяв в левой части минимум по у — ховзВ, хое а в правой — точную верхнюю грань по х доше, лучин — е) хх (() зпр (х, хх> — (хо, х*>. (2.5) хе Вош! Вспомним теперь, что существует точка хи в которои )(х1) — конечное число. Если применить к этой точке предыдущие рассуждения, то, подставляя в неравенство (2.3) Т~~(х~), у хи получим — "(+ <хи х*) ~ — )(х) + <х, хх>, т.
е. )х(хх) ( — Т+ <хи хх>. Значит, сУществУет такой вектор х" (обозначим его через х',), что ) (х*,) конечно. Отсюда следует, что )х(хо+ ах*) = зпр[(х, х', + ахх> — 1(х)] .. 1 х ( ~х (х",) + а зпр (х, хх>, хшеош~ а поэтому с учетом неравенства (2.5) имеем ~х* (хо) =-: (х„х' + ахх> — ~ х (х' + ахх) ) ~ )(х, х",> — )х (х',) + а ((хо, хх> — зпр (х, хх> ~) хшеоше ) (х„х,'> — )х (х*) + аз)хх) -(- прп а- + . Теорема доказана. Т е о р е м а 2.2; Если )(х) — еобетвенн я замкнутая выпуклая функция, то )х(хх) — также собственная замкнутая выпуклая фунщия.
Доказательство. Согласно лемме 2Л функция )х(хх) — замкнутая н выпуклая. Остается доказать, что )х(хх) — собственная функция. Так как )(х1) для некоторого х1 вдош) конечно, то /х(хх) > <хи хх> — )(х~), и поэтому )о(хх) не принимает значения — . В ходе доказательства предыдущей теоремы показано существование вектора хо, для которого ~х(х') конечно. Отсюда следует утверждение теоремы. 6$ Гл. и.
Выпуклые Функции 68 Заметим теперь, что доказательство теоремы 2Л в случае хо~дош) основывалось на том, что ерш) и Р, не пересекаются при достаточно малом з)0. При этом использовалась замкнутость ер1 ). Нетрудно видеть, что утверждение остается справедливым, если потребовать, чтобы функция )(х) была полунепрерывна снизу в точке хо, Поэтому справедлива Теорема 2.3. Если хоюдош~ и функция ~ полунепрерыена снизу е точке хо, то р(хо) = )о~(хо). 2. Положительно однородные выпуклые функции.
гРункцня называется полохеительно однородной, если р(Лх) = Л)(х) для Л)0. Если к тому же )(х) выпукла, то р(х,+х) =~~2~ — х,+ — х, =2)~ — „х,+ — хо)( =а Цхг~ + Цхо), пли, в более общем виде, )(х~+... + х.,) ()(х,) +... + )(х„). Полагая в предыдущем неравенстве х1 = О, хз — — х, получим р(х) ()(0) +)(х), т. е.
7(0) ) О. Пусть р(х) положительно однородна, выпукла и замкнута. В силу замкнутости 1 Ишр(Лх) = ИшЛ~(х) = 0)т'(0). ь1о А~о Таким образом, р(0) =0 для замкнутой выпуклой положительно однородной функции. Вычислим сопряженную функцию для такой функции: )о(хо) = ввр((х, хо) — /(х))) — К(0) = О. Пусть существует такое хь что <хь хо> — т'(х1) ) О. Тогда )о(х*)' вар((Лх, хо) — ~(Лхг)) = а=о = впрЛ((х„хо) — )(хг)) = + со. ь>о $ а сопгяжкнньсв Функпин Таким образом, )»(х») принимает только два значения: О п + . Поэтому О, х» ~ дош ~», )» (х») = 6(х» ) дош )») = ~ (+ оо, х" ф дош )».
Т е о р е и а 2.4. Если ~ — положительно однородная вьтуклая замкнутая функция, то У (х») = 6(х*(д У*) Доказательство получается прямым применением теоремы 2.1. Действительно, 1(х) = )»»(х). Но по теореме 2.4 (» = 6( ~дош)») п 1»» (х) = зар ((х, х*) — 6 (х» ) дош )») ) = х» = зпр ((х, х*): х» ен дош (»). » Т е о р е и а 2.6. Функция, сопрязкенная к функции замкнутого выпуклого множества, есть торная функция этого множества. Доказательство. Пусть С* — выпуклое тое множество в Х» и опорной индика- замкну- ) (х) = звр ((х, х*): х» ен С*). „з (2.6) Очевидно, что 1(х) выпукла, замкнута и положительно однородна.
Кроме того, )(х) есть опорная функция множества С». Рассмотрим индикаторную функцию множества С": 6(х»~С»). Тогда сопряженной к ней функцией будет звр((х, х») — 6(х» ) С»)) = зпр((х, х»): х» ен С») = ~с(х). з~ » и дош)» — замкнутое мнолсество. Осталось доказать только последнее утверисдение теоремы.
Но 1»(х») — замкнутая функция, а легко видеть, что индикаторная функция множества замкнута тогда и только тогда, когда это множество замкнуто. Т е о р е м а 2.5. Если ) — положительно однородная выпуклая замкнутая функция, то 1(х) = эпр ((х, х»): х» ен дош 1»).
х» 70 гл. и, выптклыв сенкцин Итак, 1(х) есть функция, сопряженная к б(хо!Со). Применяя теорему 2.1, получим 1" (х*) = б(хо! Со), дош ~о = Со. 3 3. Производные по направлениям и субдиффереициалы Выпуклые функции, вообще говоря, не дифференцируемы в обычном смысле. Тем не менее онп обладаоот производными по направлению. Кроме того, для выпуклых функций можно определить понятие субградиента, которое заменяет обычное понятие градиента гладкой функции в задачах на экстремум. Введению зтнх понятий п их свойствам посвящен данный параграф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
