Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 14
Текст из файла (страница 14)
По определению р е ( — соп д)(хо))о тогда и только тогда, когда (Р Лхо) ~0 Л~ 0 х онН(хо) т. е. зпр«р' хо)' хо ~ И(хо))~<0 (3 45) х о Так как по предположенгпо )'(хо, р) — замкнутая функпия, то, используя теорему 3.1 п неравенство (3.45), можно заключить, что ( — соп д)(хо)) о = (р: )'(хо, р) < 0). Положим р1 = х1 — хо.
Тогда для 0 <Л < 1 1'(х. р.)< ' ',' ' <)(х») — ~(х.) <О 1(х + Лр ) — 1(х ) п в силу выпуклости 1'(хо, р) по р У (хо, ЛР1 + (1 — Л)Р) < Л! (хо, Рь) + (1 — Л)У (хо, Р) < 0 если У'(хо, р) <О. Пусть теперь р =Л(х — хо), х»н М, Л>0, т. е. р ы »н сон(М вЂ” хо).
Тогда )(х) < 0 п 0 > ((х) — /(хо) > <х — х„хо>, хо ы д/(хо). Поэтому акр ((р, хо;»: х* е= д) (х,)) = » 1 = —, ° р(<х — х„х >: *~аДх,))<0. х» Отсюда следует, что соп (М вЂ” хо) ы (р: )'(хо, р) < 0). $3. пРОизВОДные по нАпРАВленияаг С другой стороны, если )'(хо, р) «О, то для малых Л~ О г(хо+ Лр) = ((хо) +Л('(хо, р) + оОЛ) = Л)'(х„р) + о(Л) «О, п, значит, хо+Лр~М. Это означает, что ровсов(М вЂ” хо).
Теперь из неравенства (3.46) следует Лр1+(1 — Л)р нсоп(М вЂ” хо), если р н (р: )'(хо, р) «0). Устремляя Л к нулю, получаем, что любая точка конуса (р: ) (хо, р) «0) есть предельная точка для конуса сои(М- хо). Поскольку конус (р: )'(хо, р) « 0) замкнут (так как ) (хо, р) — замкнутая функция р и справедлива теорема 1.5) п гоп (М вЂ” хо) — (р: )'(хо, р) «О), то (р: ~'(хо, р) «0) =сон(М вЂ” хо). Но ранее было доказано, что (р: ~'(хо, р) «0) = ( — соп д)(хо)) *- Тем самым справедливо равенство ( — соп д~(хо)) * = соп (М вЂ” хо).
Используя теперь замкнутость конуса вопд)(хо) п леммы Е3.3, Е3.5, получаем — сон д)(хо) = ( — соп д((хо))в* = (сап (М вЂ” хоНЕ = = (соп (М вЂ” хо)) е, что п требовалось доказать. Теорема 3.18. Если )(х) — выпуклая функ1)ия, неНРеРывнал в точке хоонМ, М= (х: )(х) «О) и сУЩествУет точка х1 такая, что )(х1) «О, то „, /(0), если )(хо) < О, ( — сопд)(хо), если )(хо) = О.
Доказательство. Если У(хо) «О, то в силу непрерывности ) в точке х, получаем, что хо+ Лр он М для любого р при достаточно малом Л ) О. Позтому соп (М вЂ” хо) = Х. Но тогда конус, сопряженный к гоп(М вЂ” хо), может состоять только из одной точки— ГЛ. Н. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ начала координат,— что доказывает первое утверждение. Второе утверждение является следствием предыдущей теоремы и теоремы 3.5.
Теорема 319. Если 7(х) — собственная выпукл я фрнкциЯ и сУЩсствУют такие точки хн хэ, что )(х1) (О и, 114 1, х, =-М=(х: ((х) О),.' ,соп(лу х)). ! (11пд У)',. Пх,)<О, ( — вопд/(х,), если 7(х,) = О. (Здесь (1 ш дош ))ь — подпространство, ортогональное к Хаа бош ~.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Второе утверждение теоремы следует из теорем 3.6 и 317. Первое утверждение получается, если заметить, что в силу теоремы 1.4 для хс 1в Н дош 7" выполняется соотношение соп (М вЂ” хэ) = Еш дош1 (3.47) и поэтому [сон(М вЂ” хэ))в =(Ьш1(ош7)в. Но если К=2', где Ю вЂ” подпрострапство, то х* ~и К" тогда и только тогда, когда <х, хв» О, х1и 1с.
Если же х 1н Ы, то — х ~ 2', п, значит, < — х, хв? Р-О, х1я.У. Поэтому <х, х*> =О, х~и.х, т. е. х*~н.х.". Итак, если К=Я', то и Кв= 5~1.. Применяя зто утверждение к равенству (3.47), получим требуемый результат. Глава 1П ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Многозначные отображения — объект, сравнительно недавно введенный в широкое пользование. Тем не менее понятие многозначного отображения в последние годы интенсивно исследуется.
Введение этого понятия позволяет взглянуть с единой точки зрения на многие теоремы теории экстремальных задач и значительно упростить их доказательства. в $, Основные определения и свойства В этом параграфе вводятся основные определения и свойства многозначных отображений. Пусть Х и У вЂ” конечномерные евклидовы пространства. Их прямое произведение Х>< У обозначим через 3, так что, если хжХ, у~в У, то пара (х, у) обозначает некоторую точку з пространства 3.
Скалярные произведения в указанных пространствах будем обозначать через <, >ю<, >т и т.п.,так что <, >х=<, >э+<, >. Отсутствие индекса у скалярного произведения, как правило, не будет приводить к недоразумениям, так как всегда будет ясно, о каком пространстве идет речь, и всюду в дальнейшем эти индексы опускаются. Элементы пространства Х, У, 3 будут обозначаться буквами х, у, з с индексами внизу.
Элементы пространств Хэ, У*, Я* — дубликатов пространств Х, У, Š— будут обозначаться буквами х, у, з со звездочкой сверху, т. е. х*, у*, з*. В скалярном проиаведении будут всегда участвовать элементы исходного пространства и его дубликата: <х, х*>, <у, уэ>, <з, з*>. Пусть М вЂ” произвольное множество в З = Х >< У. Тогда М определяет многозначное отображение а по формуле а(х) =(у: (х, у) ~иМ). ЗЗ ГЛ. На ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Множество М называется графиком многозначного отображения п обозначается д(а. Легко видеть, что верна формула я(а=((х, у): ужа(х)). Положим также дота = (х: а(х) Ф 8), (а(х)Ч = зпр ((у(: у гн а(хП. По определению 1О1 = О. Определение 1.1. Многозначное отображение а выпукло, если и(а — выпуклое множество.
Определение 1.2. Многозпачное отображение а выпуклозначно, если а(х) выпукло в У. О п р е д е л е н и е 1.3. Многозначное отображение а замкнуто, если 8(а — замкнутое в л множество. О п р е д е л е н и е 1.4. Многозначное отображение а ограничено, если существует такая константа с, что Па(х) 6 ( с(1+ (х(). Определение 1.5. Многозначное отображение а полунепрерывно сверху в хг, если для любой окрестности нуля (7 в У существует такая окрестность нуля У в Х, что а(х)с: а(х,) + (7, Чх~ хз+ У.
Определение 1.6. Многозначное отображение а полунепрерывно снизу в точке хг, если для любой окрестности нуля (7 в У найдется такая окрестность нуля У в Х, что а (Хг) 1 а (Х) + (7, ЧХ ЕН Х, + У. Определение 1.7. Многозначное отображение а непрерывно, если оно полунепрерывно сверху и снизу. О п р е д е л е н и е 1.8. Многозначное отображение а удовлетворяет условию Липшица в области 11, если р(а(х1), а(хг)) ( Ь(х1 — хг1, где р — хаусдорфово расстояние, т. е. р(А, В) = шах) зпр (п1 '(у — уг~,' зпр (п( '(у1 — у+ (Угал Узав Угав у1НА а  — постоянная. $ Ь ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА 97 Отметим некоторые свойства выпуклых отображений. Лемма 11. Пусть а — выпуклое, замкнутое многозначное отображение и в некоторой точке хз е- =е(ош а множество а(хе) ограничено. Тогда а ограничено.
Доказательство. Допустим, что это не так. Тогда найдутся последовательности з» = (х», у»), у» ев а(х») такие, что — -» + со. 5 РА!! 1 Ф)!г»!! Пусть !!х»(! ( г. Положим т+!!*»П л 0 "»!! По предположению Л, — О. Возьмем ус »и а(хз) и рассмотрим точки х» = Л»х»+ (1 Л»)хо (1.1) У» = Л»У»+ (1 Л»)уе.
Так как 0<Л»(1 при больших й, а отображение а выпукло, то у»ы а(х») при больших й. Заметим теперь, что х»- хе. Далее, У„= (1 + ~ х» !!) — » + (1 — Л») Уе (1.2) 1Р» !! Р, Не ограничивая общности, можно считать, что — -е-и»„ ~!М (!ео!! =1. Аналогично, в силу ограниченности !!х,!! получа- ем, что 1х»)! — сз.
Тогда у»- (1+а)ю+у,. В силу замкнутости а (1+се)и+ узы а(хг). А так как уе — произвольная точка а(хе), то (1+ се)и~+ а(хе) ж а(хе), что, как нетрудно видеть, противоречит ограниченности а(хе)- Пусть теперь (!х»!!- + . Положим в этом случае 1+е»1 Ге»ЙРИ 7 Б. Н. Пшеыыыымз Ез ГЛ. Пг.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Тогда, повторяя все предыдущие рассуждения с учетом замены формулы (1.2) на у„= — +(1 — )„)у, 1+1!" ~! У. !(хь (! !(уь)! 1+!(х,!! п формулы ',, — ~- 1, спова получим противоречие. Это !! хь!! завершает доказательство. Лемма 1.2. Если я(а=К, где К вЂ” выпуклый замкнутый конус, то а ограничено тогда и только тогда, когда а(0) = (0).
Доказательство. Если а(0)=(0), то а ограничено по предыдущей лемме. Обратно, если а огранпчено, то точка уочьО, уо'на(0), существовать не может, так как К вЂ” конус, откуда Л(0, ус) = (О, ).ус) ~н К прп всех ).) О, т. е. ),ус~а(0), Х) О, и, значит, а(0) неограничено. Замечание. Если у(а — выпуклый конус, то нетрудно показать, что условие ограниченности а может быть записано в виде (!а(х)!! ( с!!х!!. Определение 1.9. Если у(а=К вЂ” выпуклый конус, то сопряженное отображение а* определяется по правилу ах(уь) = (хэ: ( — х*, ув) 1НК*) Лемма 1.3; Сопряженное отображение ах(ух) ограничено тогда и только тогда, когда а(х) определено при всех х, т. е.
йоша=Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что Кх всегда замкнутый конус и поэтому ах(ух) — замкнутое выпуклое отображение. Согласно предыдущей лемме теперь достаточно показать, что а*(0) = (0) тогда и только тогда, когда йоша=Х. Пусть х*жа*(0), т. е. — <х, х*>+ <у, 0> )О, (х, у) ~К (здесь использовано определение двойственного конуса Кх). Тогда <х, х*>(0, хяйоша. (1.3) Если йош а = Х, то последнее неравенство возможно лишь, если хх =О, т. е. а*(0) = (0).
Обратно, если хх ФО, то йота лежит в полупространстве, определяемом нера- 0 (. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА 99 венством (1.3). Таким обрааом, ао(0) содержит ненулевой элемент, т. е. не ограничено, но и йош а Ф Х. Теорема 11. Пусть а — выпуклое замкнутое отобралсение, ограниче>сное в точке хо(н 1п1йоша. Тогда в некоторой окрестности хо оно удовлетворяет условию Лики>и>)а. Доказательство. Пусть  — шар радиуса 1 с центром в нуле и хо+гВжйоша. Такое г0 0 существует, пбо хо св 1п1 йош а. Положим го г ) 3 ~ >> о>> ) хо)> го > Тогда )!* — го ~ — г )* — *О! Ф' 1 — жо) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
