Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотрим пространство Х><Х, >< 1', элементами которого являются тройки (х, х„у), ховХ, х,оиХБ УОЕУ, и два множества в этом пространстве М, = Их, х1, у): (х, х,) ав ф а,), МО=((х, хь у): (х1, у) ~на(а2). Неравенство (2.32) означает, что ( — хе, О, у*) принадленсит конусу, сопряженному к сов(М, О МΠ— (хо, х~о, уоИ = = соп((М~ — (хо, Х1о, уо)) О (М2 — (хо, х~о, Уо))) = = со11(М1 (хое хеь УО)) Й соп(М2 — (хое х10, УО)). (Здесь были использованы теоремы 1.3.8 и 1.3.7.) Легко подсчитать, что Сов(МО (ХО1 Х2О1 Уо)) = Ка~ ((ХО1 его)) Х Р> сов(МΠ— (х„х„, у,)) = Х Х К„((х„, у,)), и поэтому [СОВ (Мг — (ХО, Х1О~ УО))) = Ка1 ((ХО~ ХГО)) Х (0)1 (2.33) [СОН(МΠ— (ХО~ Х1О, УО))) = (0) Х Каа((Х1О УО)). Используя теоремы 1.3.2 или 11.3ЛО применительно к конУсам соа(М1 — (хо, х1о, Уо)) и соп(МΠ— (хо, Х1о, Уо)), $2.
ЛРимеРы Выпуклых мнОГОзнАчных ОтОБРАжений П3 получим (соп(М1 О М вЂ” (хо, х10, Уо))]*= (соп(М2 (хо х1о Уо)П +!сов(М2 (хо| х10 Уо))1 Учптывая соотношения (2.33), можно утверждать, что вектор ( — хо, О, у*) представим в виде — х* = — х*„О = у1 — х'„уо = у"„(2.34) ( — Х1, У,) ~ Ке, ((х„х10)), ( — хо, Уе) я Ке,((хчо Уо)). Но соотношения (2.34), очевидно, эквивалентны соотношениям е е е / е е е Х = Х1 Х1 Я а1 (Х2' (Хо Х10)), Х2 ~ ао (У ! (Х10 Уо)) что доказывает теорему.
8 3. Примеры выпуклых многозначных отображений Покажем на конкретных примерах, как вычисляются величины, связанные с выпуклым многозначным отображением. В дальнейшем эти вычисления будут использованы при решении некоторых экстремальных задач. Пример ЗА. Пусть М вЂ” выпуклое множество в 2' н у(а=ХХМ, т. е. а(х) =М прн всех х~Х.
Такое отображение будем нааывать постоянным. Тогда тот (х, у*) = 1Б1((у, уе,1: у ~ М) = — )е~м ( уо) где Ч'ы — опорная функция множества М, П, (х*, уо) = 1п1 ( — (х, хо;2 + (у, у*): х еи Х, у ен М) = Очо) — Оо, если хо тс О, — И'и( — у*), если хе = О. Как показано в предыдущем параграфе для постоянного отображения, О, если у" еи (сов(М вЂ” уо)]о а (у; )= Я, если Уо Ф (соп (М вЂ” уо))0. П р и м е р 3.2. Пусть а(х) = Ах+ П, где П вЂ” выпуклое множество в т', а А — оператор, действующий из 8 Б. Н.
Пшеничный 114 Гл, Н1. Вьшуклые мнОГОзнАчные ОГОБРАжения п ространства Х в пространство У. Тогда И1.(х, у*) = <Ах, у*> — И'„( — уе), — ОО если А*у*+ х*, Й,(х*, уе) = — И1п( — уе), если хе = Аеуе. Если Уе =Ахе+ ию, ио1в У, то А "уе, если у* ~ [соп (У вЂ” и,))*, Я, если у* ф [соп (У вЂ” и,))*. Э лементарные выкладки, связанные с этими вычислениями, представляем чнтателго в качестве упран'пения. Пример 3.3. Пусть У=К', 1(х) — собственная вы- пуклая функция и у(а=ер11, а(х) =(у: у) ~(х)).
Тогда уе ш К' и Ю„(х, уе) =1пт(уувч у))(х)) = Р + со, если хф йош1, — — у*<О, ао ~, уз~(х), если уе) О, хя йош~, я,(хе, уе) = !пав( — (х, ха)+ уу»: у)~(х)) = (аао ! — 00 если уе < О, — И'а, 1(хе), если уе = О. Если уе ) О, тс й, (хе, у*) = 1п(( — (х, хе) + у"'7 (х)) = хч г х" 1 = — у*вор) х, —, ' — 1(х)[ = — уе1*~ —,). ПУсть тепеРь хе1вйош), Ус=1(хо), У*) О. Так как НРи условии у >1(хе) произведение уу* достигает своего ми- нимума по у, если у уе 1(хо), то уе1иа(х", уе). По теореме 2Л и из полученного выражения для И'.(х, у*) получаем [уеду(х,), уе > О, (до(х ~йош~), у*= О, ,=(Ц,У(хе)), хе =-1) Р.
1 г, пРимеРы Выпуклых мнОГОзнАчнЫх ОтОБРАжений 115 Пример 3.4. Пусть 1(у), 1 1, ..., пг,— выпуклые функции в пространстве К". Положим я1а ((х, у): 1;(у) (х', 1= 1, ..., т) или я1а = Нх, у): 1(у) < х), где Лу) = (Л(у), ..., 1 (у)), х= (х', ..., х") и неравенство 1(у) ~х для векторов означает выполнение неравенства для каждой компоненты: 1;(у) <х', 1=1, ..., тп.
Тогда а(х) =(у: 1(у) ~х). Отсюда следует, что тт (х, у*) = 1П1((у, у*): ) (у)(х), Я (хе, у*) = 1П1 ( — (х, х*) + 1у, у*): 1 (у) (~ х) =— ОЬУ) если хотя бы одна из компонент вектора хх больше нуля. Если хе<0, то йх(хе, у*) = 1п1( — () (у), х*) + (у, уе)). Вычисление сопряженного отображения будет проведено ниже.
Отметим здесь справедливость следующего интересного результата. Т е о р е и а 3.1. Пусть Цу) — выпуклые замкнутые функции. Тогда, если множество а(хд) = (у: ((у) ( хг) ограничено, то существует такая константа с, что зцр(//у(: ~(у)(х)(с(1+!!х!/). У Доказательство теоремы получается прямым применением леммы 1.1 к рассматриваемому отображению.
Пример 3.5. Пусть в Х задан выпуклый замкнутый конус Х+ — конус положительных элементов. В частности, можно в качестве Х+ выбрать положительный ортант, т. е. Х+ = (х: х' ~ О, 1= 1, ..., т), если Х =К™. Будем говорить, что отображение )т, которое ставит в соответствие точке у ш У точку Р"(у) ш Х, выпукло 8* 11Б Гл н1, выпуклые многознлчные ОтОБРАжения отноеитель1со конуса Х+, если л' Р (Л,у, + Л,у,) ~ Л,Р (у,) + Л,Р (уг), Ль Л, > 0, Л1 + Лг = 1, А+ где неравенство ~ понимается в смысле определений, данных в п.3 5 3 главы 1. Так как яанус Х+ в дан- ный момент фиксирован, то вместо Х+ будем писать просто ~. Положим у1 а = Пх, у): Р(у) к х).
Если х1 > Р(у,), хг > Р(уг), то для Лн Л < О, Л1+ Лг = 1, Л1х~ + Лгхг ) Л1Р(У1) + ЛгР(уг) ~ Р(Л1У1+ Лгуг) откуда следует, что у(а — выпуклое множество и поэтому отображение а(х) = (у: Р(у) ( х) выпукло. Теперь И',(х, у*) = 1Б1((у, у*). Р(у)(х). Е сли у фиксировано то х ~ Р(у) тогда и только тогда, когда х — Р(у)жФ+, т. е. х~Р(у)+Х+ илп х= = Р'(у) + х1, х1ж Х+. Поэтому П, (х*, у*) = 1п1 (( — х, х*) + (у, у*): х) Р (у)) = (хае = 1п1 Ы ( — (Р (у), х*) — (х„х*) + (у„у*)) = хавел~ 1 — оо, если — хх ф (Х+)*, (н1( — (Р(у), хх) + (у, ух): — хх ен (Х+)е). Переобозначпв — х* через х*, получаем ш1((у, у*)+ (Р(у), хх): х*~ (Х+)*), Й, ( — х*, у*) = — со, если ха ф (Х+)*. Пример 3.6.
Пусть 1р(г), г1яХХ 1',— выпуклая функция. Положим 61а=(ьч 1р(г) <О), а(х)=(уг ~р(х, у) <О). г 3. НРимеРы Выпуклых многознАчных ОтОБРАжений 117 Пусть ф(го) = О, функция ф(г) непрерывна в точке го и существует точка г), в которой «р(г)) <О. По теореме П.3.18 К,* (г ) = [соп (а1 а — г ) )в = — сон д,«р (го), поэтому а" (уо; го) = [Лхо у* ) уо (хо уо) е до«р (г) )" ~) О) (ЗЛ) Итак, доказана Теорема 3.2. Пусть ф(г) — выпуклая функция, непрерывная в точке го, «р(го) = О и существует такая точка г), что «р(г)) < О. Тогда справедлива формула (3.1). Пусть теперь (3.2) «р(г) = птах «р«(г) )к«к~й и функции ф«(г) непрерывны в точке го. Согласно теореме П.3.14 д,«р(г) = со( [) д,ф«(г)), Т(г) =()2 «р«(г) = ф(г)). (З.З) («ьвцо) По теоремам П.3.2 и П.3.5 множества д,ф,(г) ограничены н замкнуты, значит, этими свойствами будет обладать и их объединение.
Из теорем 1Л.6 и 1.1.7 теперь вытекает, что в формуле (3.3) достаточно брать выпуклую оболочку без операции замыкания. Значит, д,«р (г) = со ( Ц д,«р«(г)). (3.4) Иаг«о) Но по лемме 1Л.4 гв ~ со () дкф«(г) (3.5) «а««О тогда н только тогда, когда г~ = )")г) + ° ° ° + логЬ о где каждое г) принадлежит одному нз множеств д,ф«(г), а )ч неотрицательиы и в сумме равны единице. Обозначим ,7« = [1: г; е= д,ф«(г)), у« = ~~'.~ ).), 1вн1(г); внм« 11Е ГЛ. П1. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧЧЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ тогда (3.6) Так как д.фе(г) — выпуклое множество, а л; ей то ге' ~ деф1(г) 1и11 т1 (3.7) Из соотношений (3.7) и (3.6) следует, что включение (3.5) выполняется тогда и только тогда, когда го = ~ч ', рог,", г,' е= д,фо(г), Кв1ЕО (3.8 ) у,>О, еы 71 1 ье 1ОО 1~1(г), ~Р~ у; = 1~.
(3.9) 1иди Теорема 3.3. Пусть фе(г), 1=1, ..., т,— непрерывные в точке го выпуклые функи,ии, ф(го) =0 и существует такая точка ги что ф,(г~) (О, 1=1, ..., т, Пусть также а(х) = (у: ор,(х, у) ( О, 1=1, ..., т). Тогда а*(ув; г,) = ~;)", Х;х,*: у* = — ~ ) 1у, (ив1е Ья 1е (х1, у;)яд,ф1(г), Х;~)0, 1'еп1~о~, где 1о О: фе(хо, уо) =0). Совмещая полученный результат с равенством (3.4), окончательно имеем д,ф(г) =) ~ 71г,: г; в=д,ф1(г), 71)0, (ен1и) у 3. пРимеРы ВыпУклых мнОГОзнАчных ОтОБРАжений 119 Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
