Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если определить «р(г) формулой (3.2), то рассматриваемое в теореме отображение а(х) совпадает с рассмотренным выше. Так как «р(го) = О, то Х(го) =Хо. Подставив выражение для д,зр(го)у даваемое формулой (3.9), в формулу (3.1) и обозначив Л, = Лт„получим требуемый результат. Теорема 34. Пусть Хз(у), «=1, ..., и; ввкуклые непрерывные в точке уо функции и а(х) (у: Х((у) (х', д 1, ..., и). Тогда ао (у*; г,) = ( — Л ы К: Л;)~ О, Л;(Х«(уо) — хо) = 0 д 1 и у* + Х Л(у«0 у ' ен дгХ«(уо) ' (ЗЛО) з=д (Здесь Л означает вектор с компонентами Л(, д =* =1,, тп.) Доказательство. Пусть в предыдущей теореме «р((г) = Хз(у) — х'. Тогда, если выбрать г«=(хи уд), где у, произвольно, а хд>Х«(уд), то «рз(гд)(0, 1=1, ..., и. Кроме того, д,«р((г) = ( — е(, дору(у)), (ЗЛ1) з, (О, О, ..., з, О, ..., О(.
и л у « ', у(у д.ф;(ь( только тогда, когда х,' = — е; у е-=дг1 (у). Если учесть, что Л, в формуле (ЗЛО) может быть отлично от нуля, только если «р,(го) = «р(го) = О, то окажется, что фактически сумма в (ЗЛО) распространяется только на индексы $ из Хо. Заметим также, что если 1«(уо) ( х', «=1,..., и, то К (го)=2, Ко(го)=(0) ихозкао(уо; го) только тогда, когда хо=О, уо =О. Но этот же результат дает и формула (ЗЛО). Так как очевидно, что ~ Л;е,=Л, з=д то формула (3.10) получается из формулы для ао(уо; го) в теореме 3.3 подстановкой в нее выражения (3.11).
Тео- 12О Гл. ПБ Выпиклып многознАчные ОтОБРАнюенпя рема 3.4 дает выражение для локально сопряженного отображения, рассмотренного в примере 3.4. Допустим теперь, что имеется выпуклое множество Ме Ки л(а~ =а(а й (МХ У) =((х, у): фх, у) -О, х~иМ), Тогда для гю = (хю, ую) ~ ура Ка (гю) Ка (гю) П соп ((ЛХ хю) Х (У вЂ” Ую)). Если существует точка (хп у~) такая, что х, ~ М, юр(хп у1) (О, то 1п1фа й (МХ У) Ф Я, и поэтому 1БФК,(гю) й соп((М вЂ” хю) Х (У вЂ” ую)) Ф Я.
По теореме 1.3.2 К," (г ) = К,* (гю) + [соп ((ЛЛ вЂ” хю) х (У вЂ” у,)))е, но легко убедиться, что (соп((ЛХ вЂ” хю) Х (У вЂ” ую) П* = (соп(М вЂ” хю)) е Х (0). Поэтому согласно предыдущему, если юр(хю, ую) =О, то К„',(г,) = — сопд,ср(чю) + [соп(М вЂ” х ))е х (0) и ( — х*, у*) ен К*,,(гю), т.
е. ха~а,(уе; г,) тогда п только тогда, когда х* = Лх,* — х'„уа = — Лу,', [хо ую) о=дд(гю) х, е= [соп(ЛХ вЂ” хю))*, ),30. Отсгода получаем, что справедлива следующая Т е о р е и а 3.5. Пусть ~р(г) — выпуклая функуия, <р(гю) =О, ~р(г) непрерывна в точке гю и существует такая точка г1= (х„у1), что юр(г1) <О, х1~ЕМ, еде М вЂ” выпуклое множество в Х.
Тоссо аг(у*' гю) = [)хо — хг: у*= )~уо [х~ ую) ~ ен д,~р (г,), х,' е=- [соп (М вЂ” х„))"', ). ) О). Прпмер 3.7. Пусть Х=й", У=К", А и  — матрицы размеров гХи и гХт соответственно, а Ы вЂ” г-мер- $ 3, пРимеРы Вьшуклых ыногознАчных ОТОЕРАжений $21 ный вектор. Будем обозначать через Ао В; 1-е строки матриц А и В, а через А; — (-ю компоненту вектора а.
Почожнм й(а='((х, у): Ах — Ву~д), (ЗА2) где неравенство для векторов понимается как система неравенств для компонент. Многозначное отображение, график которого задан формулой (3.12), называется многогранным. Пусть го = (хо, уо) ж я(а. Обозначим Хо = П: А~хо — В~ус = Ао 1 = 1, ..., г). Чтобы вычислить конус К.(го), посмотрим, для каких г= (х, у) оиЯ существует достаточно малое Л) О такое, что го+ Лг он у(а.
Если (ж1о, то неравенство А,(хо+ Лх) — В;(ус+ Лу) = д, + Л(Аох — В,у) ( д, возможно лишь, если А<х — В;у < О, (он1о. (ЗАЗ) Если (Ф1о, то неравенство А;(хо+ Лх) — В,(уо+Лу) = (А,хо — Вуо)+Л(А;х — В,у) (А справедливо при малых Л независимо от выбора г. Отсюда следует, что конус К.(го) полностью определяется неравенствами (3.13). Применим теперь теорему 1.4.9 к системе (ЗАЗ), переписанной в виде <х, — А~>+<у, В~>~О, (ж1о Это прнменоние показывает, что (х*, у") о: Ко (го) тогда и только тогда, когда оаы (=1,...,т, (3.14) где А~, В; — транспонпрованные векторы А~ и Вь т. е.
вектор-столбцы. Если положить Л,=О, (ФУо, и обозначить через Л столбец с компонентами Ль то формулы ГЛ. 1Н. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ЗЛ4) можно переписать в эквивалентном виде: Ко(зо) =((хо, Уо): х*= — АоХ, Уо = ВоХ, Х)0, <Ахо Вуо И )"> =О) Отс1ода для а*(у*; зо) получается формула а*(у*; зо) = (А ой: у* = ВоЛ, Х ~ О, <Ахо — Вуо — 11, )1> = О) (ЗЛ5) Заметим, что из (ЗЛ4) и (ЗЛ5) следует, что ао(у*; ео) зависит не от точки зо, а только от множества 1(зо) = И: Аохо — В~уо = до). (х хо),Нор)И1 (.
ув) хоовР1 тогда н только тогда, когда нри некотором у <у, у*> ( хо у он а(х), т. е. вектор (х, хо, у) удовлетворяет системе неравенств линейных Ах — Ву<А, <у, уо>(хо (3.16) Согласно теореме 1.4Л5 существуют такие векторы (х;, х';, у;), 1=1,, Й, и подмножество индексов оо ж ж (1, 2, ..., й), что любое решение системы (3.16) и только такие решения можно представить в виде х = ~~.", у;х;, (ЗЛ7) о хо = Х 7'хоч (ЗЛЗ) 1=1 Так как таких множеств лишь конечное число, то и различных отображений а*(уо; зо) лишь конечное число. Исследуем функцию И'.(х, уо). Так как при фиксированном х а(х) есть также многогранное множество, то нижняя грань <у, у*> по ужа(х) либо равна —, либо достигается.
Этот факт будет доказан в следу1ощей главе, но он легко следует из представления многогранного множества по формулам (1.4.24), (1.4.25). Очевидно поэтому, что $ 3. ПРИМЕРЫ ВЫПУКЛЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 123 о у= Х "ггу о=1 .ллл уг = 1. гиге (3.19) (3.20) Ясно, что ерш И',(, уо) есть множество точек, которые можно записать в виде (3.17), (3.18) при условиях (3.20). Поэтому на основании теоремы 1.4.15 ер1И',(, уо) есть многогранное множество, а так как такое множество может быть описано системой линейных неравенств, то оно замкнуто. Таким образом, доказана Т е о р е и а 3.6.
Для многогранного отображения И",(х, ув) есть замкнутая функь,ия х, а сопряженное отображение дается формулой (3.15) и яеляется кусочно постоянным по аргументу го. Пример 3.8. Пусть К вЂ” выпуклый замкнутый конус в Я=ХХ г" и л(а К.
Тогда й,(х", уо) = 1п1( — (х, х*)+(у, у*): (х, у) ~ К) = очо) О, если ( — х*, у*)~Ко, оо, если ( — х*, уо) ф Ко. Далее, для Л)0 И о (Лх~ У ) = 1п1((у~ У ): (Лх~ У) ен = Л 1п1 ( — ", у* ~: (х, — ") ~ — К). Но К вЂ” конус и поэтому Л 'К=К.
Если обозначить у~ = = Л 'у, то окончательно получаем И', (Лх, уо) = Л 1п1((у„у*): (х, у,) ен К) = О1 = ЛУУ (х, у*), т. е. Иг,(х, уо) — положительно однородная выпуклая функция относительно х. Пусть теперь (хо, уо) жК. Так как К.(зо) соп(К вЂ” го), то ( — хо, уе)ыК" (зо) согласно теореме 1.3.8 тогда и ГЛ. 1Н. ВЫПУКЛЫЕ ОН1ОГОЗНАх1НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ только тогда, когда — <х — хо, х*>+ <у — уо, у*> ~ О прп всех (х, у) ~К. Переписав последнее неравенство в виде — (х, х*> + (У, Ув> > — (хо, х~> + <Уо, Уь>, по лемме 1.3.8 получаем, что ( — х*, у*) ~К" и ннжняя грань левой части последнего неравенства по (х, у) 1е К равна нулю.
Поэтому О ~ — <хо, х*> + <уо, у*>. С другой стороны, так как (хо, уо) ыК, а ( — х*, ув) ыК*, то О ~ — <хо, х*>+ <у,, ув>, т. е. окончательно получаем <хо, хв> = <у,, у">. Таким образом, а*(у*; о) =(х*: ( — **, у*) -=К*, <хо, х">= <у, у >). 5 4. Теорема двойственности дли выпуклых многозначных отображений В этом параграфе будет доказан результат, который можно рассматривать как теорему двойственности для многозначных отображений.
Как следствие этого результата могут быть получены многие другие теоремы выпуклого анализа и теории экстремальных задач. 1. Теорема двойственности. Теор ем а 4.1. Пусть а — выпуклое многозначное отображение и при фиксированном у* функция И'„(х, у*) замкнута и для некоторого х1 И',(х1, ув) конечна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
