Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 15
Текст из файла (страница 15)
" ' Так как х(и хо+ гВ, то 1х — хо1 ~г, и поэтому из предыдущих формул следует, что х и хо являются выпуклыми комбпнацпямп точек х+, хо и х, х соответственно. В силу выпуклости отображения а а(х) =э ~~ о'(а(х+) +(1 — 1 0)) а(х ), (1.4) 1(г — 06 (*,( — ', (* > -(- ( — — — ( — 0 (*(, ((.5( Пусть у+(па(х+), у (в а(х ), уо(на(хо), у сна(х) — любые точки пз соответствующих множеств. Тогда из включения (1.4) получаем а(х) ~ )* *о(((у+ у ) илп уо~а(х) — — 0(у уо).
!)е — '01 + (1.6) Но в силу предположений теоремы и леммы 1.1 множество 70 1ОО Гл. гп. Выпуклые мнОГОзнАчные ОтОБРАжения а(х) ограничено. Поэтому ))у+!! < сИ + )!х+!!), )!уо1 ~ сИ + 1хо)!), !!у+ — уо4! ( сИ+1х+!!) + сИ+ )!хо)!). Но !!х+)! ( )!хо1+ г. Поэтому окончательно получаем !'у+ — уо1 ~ с(2+ 21хо!! + г). Теперь из соотношения И.б) следует ус ее а(х)+ ( ~ о!~ ) "1х — хо)В, или, поскольку уо — произвольная точка а(хо), а(х)~а(х)+ ' '" )!х — хо!!В. (1.7) Аналогичные преобразования формулы И.5) приводят к формуле а(х) ~ а(хо) + ~ о!~ )!!х — хо/!В. (1.8) Но нз этих включений сразу следует р(а(х), а(х))( !!х — хо/(, (1.9) 2с(1+)!х ()+ г) что н требовалось доказать.
Теорема 1.2. Пусть (гы(аоаоша и ьг компактно. Тогда выпуклое замкнутое многогначное отображение а, ограниченное в некоторой точке х, удовлетворяет условию Липиоица в й. Доказательство. В силу компактности Я существует такое г)0, что ьс+гВЫ(птйоша. Поэтому в качестве хо можно брать любую точку на И и выбранное г годится для использования его в предыдущем доказательстве.
Теорема 1.3. Если выпуклое галокнутое ограниченное многогначное отобра кение а определено всюду в Х, то р(а(х), а(хо)) ( 2с!!х — хо1. Доказательство получается из неравенства И.9), если устремить г к бесконечности. Это возможно сделать, так как дош а = Х. 2 2. Л011АЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1О1 3 2. Лоиально сопряженные отображения Локальные свойства дифференцируемых функций достаточно хорошо могут быть описаны при помощи понятия производной и связанного с ним понятия градиента функции. Для выпуклых функций понятие градиента заменяется субдифференциалом. В случае многозначного отображения аналогичную роль играет локально сопряженное отображение, которое вводится в этом параграфе.
1. Основные свойства. Введем некоторые обозначения. Положим )У (х, у*) = 1п1((у, у*): у ~ а(хо, (2 1) я (хе ув)— = 1п1( — (х, х*)+(у, у*)1 (х, у)~я1а). (2.2) (х,ю Если а(х) = В, то положим И'.(х, ув) =+ Очевидно, что Ит.(х, ув) и 11.(хв, у*) есть взятые со знаком минус опорные функции множеств а(х) и й1а соответственно.
Тем не менее зги обозначения оказываются очень удобными во многих дальнейших выкладках. Заметим, что 1),(х*, у*) = Ы( — <х, х") + Ит,(х, у*)), (2.5) х так что всегда имеет место неравенство й,(х*, у*) ( — <х, хв>+ И'.(х, у*). (2.4) Кроме того, из формулы (2.3) следует, что если рассматривать И',(х, уе) при фиксированном у* как функцию х, то Я,(х"', уе) = — (Ит,(., уе))е(хе), (2.5) т. е. Й. есть взятая со знаком минус сопряженная к Ит.(, ув) функция (см. $2 гл. 11). Лемма 2.1.
Пусть а — выпуклое многоеначное отображение. Тогда а(),1х1+ Хгхг) — )ла(х~) + ) га(хг), (2.6) 11~0, )2)0, ),+12=1, и И',(х, уе) — выпуклая по х функция. тот гл. Не Выпуклые многознАчпые ОтОБРАжения Доказательство. Если (хь У1) ж 81 а, (х~., уз) ж д(а, то (Х~х~+Лгхг, Л1у~+Лзуз) 'и я(а, так как я(а — выпуклое множество.
Таким образом, Л~У1 + Лгуа ж а(Л|х1 + Лтхг). = Л,И',(х„у*)+ Л,И~,(х, У~), что доказывает второе утверждение леммы. Возьмем г ж и(а н введем обозначение К (г) = соп (61 а — г), т. е. К,(г) =(г: г=Л(г1 — г), Л>0, г1~нк(а).
(2.7) Нетрудно видеть, что справедлива п другая формула: К.(г) =(г: г+Лг жя(а прп достаточно малых Л)0). Обозначим а(х; у*) =(ужа(х): (у, уа) = И',(х, у*)), а,(х) =(у: (х, у) ~К.(г)). (2.8) (2.9) Таким образом, а(х; у*) в соответствии с формулой (2.1) есть множество тех точек у, на которых <у, уе) достигает своей нижней грани по у ~и а(х). Многозиачное отображение а,(х) полностью определяется конусом К,(г) и й(а, =К,(г). Определение 2.1. Отображение а*(уа; г) = [хвч ( — х*, у*) ~ К„*(г)! Так как у| и уг — произвольные точки множеств а(х~) и а(хз) соответственно, то из последнего включения следует (2.6). Так как точная нижняя грань по более широкому множеству меньше, чем по более узкому, то в силу включения (2.6) И', (),,х, + Л,х„ре) = (в( ((У, Уе): У ее а (Л,х, + Лгх,)) ~( ( (п( ((Л,у, -)- Л,уз, у*): у, ек а (х,), уг ек а (хг)) = У1 тт $ г.
локлльно сопгяжвнныв отовглжвния (оз называется локально сопрлженн лг в точке г к выпуклому отображению а. Сопоставляя данное определение с определением 1.9 н формулой (2.9), получаем ав (у*; г) = а,*(уе). Т е о р е и а 2Л. Пусть а — выпуклое отображение. Тогда Я , у ф а (х; у*), д„Ит, (х, у*), у еи а (х; у*). Замечание. Если а — выпуклое многозначное отображение, то функция Ит,(х, у*) выпукла по х. В формулировке теоремы через д„И',(х, ув) обозначен субдифферепцпал И".(х, ув) как функции х, т.
е. множество таких х*, что И'.(хь у*) — И'.(х, ув) ) (х1 — х, х*> прп всех х1 ж Х. Доказательство. Пусть х*жа*(ув; г), г (х,у). Тогда по определению сопряженного конуса К„(г) зто означает, что — <х, х*>+ <у, у*> ~ О, (х, у) ~- =К.(г). Последнее в силу формулы (2.7) эквивалентно тому, что — <х~ — х, хв>+ <у~ — у, у*> ~0, (хь у~) ~иу(а. (2ЛО) Если х1 = х, у1 ж а(х), то <у„у*> ) <у, уе>, у, ~н а(х)„ Поэтому у ж а(х; ув) и <у, у*> = И',(х, у*). (2Л1) Тогда из неравенства (2.10) следует, что (уь у*) — Ит (х, у*) > (х~ — х, хе).
Взяв точную нижнюю грань в левой части по у, жа(х,), получаем И'.(хн уе) — И'.(х, у*) > <х~ — х, х*>, (2Л2) т. е. хв ж д,И',(х, у*). |О4 Гл. 111. Выпу||лые ыногозньчные ОтОБРАжения Если же х* |яд„Ит,(х, уе), у |и а(х; уе), то, идя от неравенства (2Л2) в обратном направлении, нетрудно убедиться, что хе|наг(у*; г); это завершает доказательство теоремы. 3 а м е ч а н и е.
Одновременно показано, что все множества ае(уе; г), где г= (х, у), а у|на(х; уе) — любое, совпадают между собой и равны д,И'.(х, у*). Т е о р е м а 2.2. Отображение а*(у*; г) ограничено тогда и только тогда, когда множество а,(х) = (у: (х, у) |и |и К,(г)) не кусто при любом х, т. е. когда йоша, = Х. Доказательство следует из леммы 1.3 и того факта, что а*(уе, "г) есть отображение, сопряженное к а,(х) в смысле определения 1.9.
Из теоремы 2.2 следует, что отображение а*(уг; г) будет неограниченным на границе множества йоша. Теорема 23. Пусть а — выпуклое аамкнутое ограниченное отображение и М вЂ” компактное множество в 2 такое, что его проекция на Х целиком лежит в 1псйоша. Тогда отображения ав(у*; г) равномерно ограничены по г|НМ, т. е. существует татаа константа с, для которой га*(уе; г)1 < с!!уев при всех г |вМ. Доказательство. -В силу компактности М и того, что проекция М целиком лежит в 1п(йоша, найдется такое число т) О, что для любой точки г = (х, у) ~ М точка х принадлежит 1НФйоша вместе с шаром радиуса т.
Допустим теперь, что теорема неверна. Тогда найдется такая последовательность точек ( — х„*, у„") ен К,(г4) гьяМ, что К0 Ю Можно считать, что г„- г ж|п(йоша и что уд/~~у*(,. -4- у'. По определению (2.7) конуса К.(г) условие ( — х4, уь) ен К (гь) эквивалентно условию — (х — х„, х,*,) + (у — у4, у') ) О, (х, у) ен й( а, — х — х4,— + У вЂ” У4,—, )~0. г' *4 ~ ~' г4 ", гг41 ' 1г41 5 3. ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 105 Положим теперь х» = х»+ тххх„!! и возьмем у»~ а(х») произвольно.
Все у„ограничены в силу ограниченности отображения а. Но тогда, подставляя (х„у,) в предыдущее неравенство, получим !!.» !! —.—. + у,— у„,—. >О, !!„ь!! ' 'Ю что невозможно при больших й, ибо !!х„*Иу" (-~-оо. Теорема доказана. Теорема 2.4. Пусть а — выпуклое замкнутое ограниченное отображение. Тогда отображение ав(ув; г) полунепрерывно сверху длл всех у*~ Ув и з=(х, у) таких, -х -=1Е1боша.
Докааательство. Допустим противное: для некоторых у, и зг = (хо, уг) таких, что хг'в)иййоша, отображение ав(ув; з) не полунепрерывно. Тогда для некоторого е ) О существуют последовательности у»-». у„㻠— ~- гг, х" ~аз(у») г») такие, что х' ф а* (у; гг) )- ЕВ, (2 13) где  — единичный шар с центром в нуле. Поскольку в силу предыдущей теоремы все отображения ав(у*; з,) равномерно ограничены, то можно считать, что все х» ограничены. Поэтому без потери общности допускаем, что х»»-ь х'. По определению отображения а*(ув; г) имеем — (х — хы х;,)+(у — у».
у»))О, (х, у)еея1а. Переходя к пределу, получим — ( х — х, х*) + (у — уг, у*) ) О, т. е. х' ее а*(у'; гь), что противоречит формуле (2.13). Лемма 2.2. хв авив(ув; з) тогда и только тогда, когда ьг,(хь, ув)+ (х, х*) = И',(х, у*). Доказательство. Согласно теореме 2.1 включение х* ~е ав(у*; з) эквивалентно включению х* ~ д И'.(х, у"), у ~и а(х; ув), з = (х, у), теа Гл. Нт. Выпткльте многознАчные ОтОБРАжениЯ т. е. К(хт, у*) — Ит (х, у*) ~ (х~ — х, х*>, 'ухттв Х. Переписывая последнее неравенство в виде — (хт, х">+ И',(хн у*) ~ — (х, х*>+ И',(х, у*) и беря точную нижнюю грань по хт, приходим к соотношению ьт,(хо, у*) =" — (х, хо>+ Ит,(х, у*). Сопоставляя его с неравенством (2.4), получаем утверждение леммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
