Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Допустим, что вектор начальных ресурсов хз задан. Назовем траекторией системы последовательность точек хз, х1, ..., х„связанных соотношением (6.8). Очевидпо, что траектория задана неоднозначно. Поставим задачу отыскания траектории (х1)1=з минимизирующей функппю т 1 = ~~ д(хо 1) (6.9) 1=1 я такой, что х, гв М, где М вЂ” выпуклое множество, а у(х, 2), $= 1, ..., Т вЂ” выпуклые функции х прР каждом $. Если функцию у(х, 8) интерпретировать как расходы, то поставленная задача является задачей выбора траектории, приводящей на заданное множество конечных ресурсов М с минимальными суммарными расходами. В качестве основы для решения поставлепной задачи будет служить теорема 2.4.
Чтобы вложить поставленную задачу в елену, лежащую в основе теоремы 2.4, введем векторы й = (хп хз, ..., х,) ~и К"т. Положим т ) (ю) =,~, д(х„2). 5 а модели зкономической дпнлыикн 173 Если определить в К"' множества ЛХ~=(ил (х,.хе)енса), с=О,1, ..., Т вЂ” 1, (610) Луг — (в хт ен Ю (6.11) то поставленная задача сведется к минимизации выпуклой функции 7(в) иа выпуклом мнолсестве г ЛХ= П ЛХо ~=о Чтобы прнменпть теорему 2.4, вычислим конусы Км (в), которые будем обозначать просто через К,(в). Если +Ливио Г='1, ..., т — 1, прп достаточно малых ). ) О, т. е. (х,+Ххо хьы+),хьы) ж 61а, то ввК,(в). Таким образом, Аю(в) = (в: (хо хю+!) в К,((хо хьы)П.
Поэтому, как нетрудно подсчитать, К~ (в) = (ве: (х~, х~+г) ен К, ((х„х~+,)), ху, = О, ЛФ1, 1+1), (6.12) где ве ~К", ве = (хы ..., хт). Действительно, по определению ве е= К~ (в) тогда и только тогда, когда т (и, ве) =- ~~з ~(х„, хь) ) О (6.13) для всех в~и К,(в). Но компоненты х„вектора вж К,(в) прн й чь г, 1+ 1 произвольны. Поэтому соотношение (6.13) возможно лишь, если х*„=О, ачьг, 1+1. В этом слу- чае оно принимает вид (хо хс ) + (х,~.д, хв~.г) в О, (х„х,+1) ж К,((хо хьы)), 174 ГЛ. 1У.
ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНПЕ т. е (ХФ 1 ХЮ.~.1) б= Ка ((ХО Х~+1)). Тем самым формула (6Л2) доказана. Если 1=0, то, так как ха фиксировано, ш+ЛйавЛ7з тогда и только тогда, когда Х1+Лх~ ~и а(хо), т. е. Хдеп ~ Км,,>(хг). Итак, Ка(й) = (й: ХГЕ- =Ка(хд(ХГ))э откуда Ка(ш) = (йа: х1РНК~<„п(х ), х~ = О, 1= 2,..., Т~.
(6Л4) Наконец, из соотношения Кт(й) =(й: хт~иКх(х,)) вытекает Кт(ш) = (ша: хт ~ Км(хт), х~ = О, 1 < Т). (6.15) Пусть теперь существует траектория (х1)1 а тат кая, что функции д(х, 1) непрерывны в ее точках х,. г Тогда на основании теоремы 2.4, если (х,)1=а — оптимальная траектория, то существуют такие векторы йа(1)ехКз (й), 1=0,1,..., Т, й=(хм...,хт) (6.16) и число Л, принимающее значение нуль или единица, что т Лша = ~ ша (1), (6.17) 1=а где йа ~ д 1(й). При этом Л и йа(1) не все равны нулю одновременно. Из вида функции 1(ш) следует, что если йаалд 1(ш), то вектор ше имеет вид ш* = (х,'„х,*„..., хто) хсо ~ дхх (хм 1) (6.18) Далее, согласно формулам (6Л2), (6Л4) и (6Л5) имеем ш* (1) = (О, О, ..., О, х' (1), х;+т (1), О, ..., О), (6Л9) (х~'(1), х~~~(С)) е= К',((ХО ж~~~)), 1= 1, ..., Т вЂ” 1, 5 а модели экОБОмическОЙ динАмики 1?5 ддд* (0) = (хд (0), ..., 0), х,(0) ен К,~,,л (хд), (6.20) од*(Т) = (О, О, ..., О, хт(Т)), хт(Т) ~ Км(хт) (6 21) Подставив выражения (6,19) — (6.21) для ад*(д) в формулу (6.17), получим в покомпонентном виде Ххдз = хд (1 — 1) + х; (8), 1 = 1, 2,..., Т.
(6.22) Введем следующие обозначения: хд~.д=хд+д(1), 1= О, 1, ..., Т вЂ” 1, хв=хт(Т). Из соотношений (6.19) следует, что (см. определение 1П.2 1) — хд (д) ~ а* (хд+д (д); ~хд хд+а)), д = 1, ..., Т вЂ” 1, илп, учитывая равенства (6.22) и новые обозначения, хд — ).хдэ ен аэ (хс+д, '(хд, хд.„д)), Ю = 1, ..., Т вЂ” 1. (6,23) Из формулы (6.20) следует, что х, ен К,"<,,и (хд). Согласно теореме 1.3.8 это можно записать следующим образом: (у — хд, хд',д ) О, у ен а (хз), т, е. (хд, хд,'д = 1п1((у, х,): уен а(х,)), или, в обозначениях $2 главы 1П, х, ~ а (хе; хд).
(6.24) Э Ф Пусть теперь хез = О, хе — произвольный элемент множества а*(х,; (хю х,)). В силу включения (6.24) и теоремы П1.2,1 последнее множество не пусто. В силузтой же теоремы верно и обратное, т. е. если ае(х„; (х„хд)) не пусто, то выполнено (6.24). Таким образом, формула (6.20) эквивалентна включению (6,24), которое, в свою очередь, эквивлентно существованию вектора хе ГЛ. ГЧ, ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАВ1МПРОВАНИВ 176 такого, что хь — Ххгв ен а* (х,; (хо,х,)), (6.25) т.
е. распространение соотношения (6.23) на случай с = = 0 охватывает условие (6.20). Наконец, при 1=Т соотношение (6.22) с учетом обозначения х*=хт(Т) переходит в равенство вахте = хт+х*, х*ен Кгг(хт) (6 26) Итак, применение теоремы 2.4 к рассматриваемой задаче позволяет получить следущий результат. Т е о р е и а 6.2. Пусть а — выпуклое отображение, у(х, 1) — выпуклые функции по х при 1 1, 2, ..., Т, хе — фиксированный вектор. Пусть существует последовательность точек (хДг=в являющаяся траекторией, попадающей на выпуклое множество М, т. е. хыа ша(х,), 1=0, 1, ..., Т вЂ” 1, хтшМ, и функция у(х, 1) непрерывна в точке х, этой траектоь рии, 1=0, 1, ..., Т.
Тогда для того, чтобы траектория ~т (х й „начинающаяся в хь и заканчивающаяся в х, минимизировала функцию т 7' = ~ У (х„Ф) по всем траекториям, необходимо, чтобы нашлись такие векторы хв, х~, 1=0, 1, ..., Т, и число 1=0, 1, что хв еБ а~(хььб (~ю хььз)) + Хд„У'(хс г) Г = О, 1, ..., Т вЂ” 1, д„у(хо 0) — = О, хт+ хе ~ Хд„д(хт, Т), (6.28) х~ ~ Км (хт). (6.29) При этом Х, хг и хв не все равны нулю одновременно. Если Х = 1, то эти условия достаточны. Ясно, что соотношения (6.28) и (6.29) эквивалентны формулам (6.26), а включение (6.27) есть просто условие (6.23), переписанное по-другому с учетом (618). й г.мОдели эВОИОмической динАмики 177 (6.30) (6.31) Далее, так как — Ит (х, у*) = зир( — (у, у*): уен а(х)), то — И'.(х, у») есть выпуклая функция у* при условии замкнутости множества а(х) и по теореме 11.3.11 дн*( — И1 (х, у*)) = — а(х; у*).
Так как функция — И',(х, у*) выпукла, то тГ,(х, у*)— вогнутая функция, а для вогнутых функций естественно определить субдифференциал формулой д„*И' (х, у») = — д„*( — И' (х, у")). Отсюда и из предь1дущей формулы получаем, что дгетт',(х, у*) = а(х; у*). Тогда включения (6.31) можно переписать в виде е х1+1 ~ дг Ит (х„х1+1). (6.32) С учетом формул (6.30) и (6.32) результат предыдущей теоремы можно записать в более симметричной форме.
Теорема 6.3. Пусть выполнены условия пргдыдувгей теоремы и а(х) — замкнутое множество при каждом х. Тогда для того, чтобы траектория (х1)1+е была оптимальной, необходимо, чтобы нашлись такие нв все $2 в. н. пшеничный Перепишем включение (6.27) в несколько ином ви- де. Для этого напомним, что согласно 5 2 главы 111 И~в (х, у») = 1в1((у, у»): у ен а (х)), а (х; у») = (у е= а(х): (у, у») = И' (х, у*)) и по теореме 111.2 1 выполняется равенство а»(у*; з) = д„И'.(х, у*), если у~а(х; у»), з=(х, у).
Согласно формулам (6.27) множество а» (хгч.1, (х„х,+1)) не пусто, а поэтому можно написать а*(х1„.„' (х„х1+1)) = д Ит, (х„х1 „1), х,+, ~ а(х1, 'х1+1). 478 ГЛ. П~. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ равные нулю векторы хв, х1, 1=0, 1, ..., Т, и число )~=0, 1, что хгчч ~ дв"РУв(хс хс+1), х~ ен д„И', (хо хс .1) + Хд„у (х„Ф), Г=О, 1, ..., Т вЂ” 1, д„д(хс, 0) =О, хт+ х*~ ).д„у(хт, Т), х* ~ пм(хт). Если 1=1, то вти условия достаточны.
Заметим, что благодаря тому, что функции д(х, 1) могут принимать значение +, теоремы 6.2 и 6.3 охватывают также случай наличия так называемых фазовых ограничений. А именно, пусть при каждом с аадано выпуклое множество Р,. Пусть дэ(х, с) — непрерывнаявыпуклая функция х и у(х, Ф) =ус(хо Г)+ б(х!Р~). Тогда очевидно, что траектория, минимизирующая функцию т у = ~ч~~ у(х„Ф), должна минимизировать и функцнто т уо = Х уо(хо Г) о=г при дополнительном условии х,слР,. Чтобы условия теоремы 6.2 были выполнены, достаточно потребовать, т чтобы существовала траектория (х)~ „исходящая из начальной точки хо и попадающая на М и такая, что х, ж 1п$РО Ясно, что при этом функции д(х, г) будутнепрерывны в точках х, втой траектории.
Применение теоремы П.3.8 с учетом формулы (П.3.25) показывает, что д„у(х, Г) = д„ув(х, Г) — Ко,(х). (6.33) Теперь теорема 6.2 трансформируется в следующую теорему. % 6. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 179 Теорема 6.4. Пусть уе(х, 1), 8=1, ..., Т,— выпуклые непрерывные функции, Р, — выпуклые множества т и существует такая траектория (х1)~ е, исходящая иг хе и оканчивающаяся на М, что х, ы 1пг Ро г = 1, Тогда для того, чтобы траектория [х,)с=е минимизировала функцию т Уо = .'Е уо(хи 1) т=т среди всех траекторий начинающихся в хе и оканчивающихся на М, удовлетворяющих условиям х~ ш Р„ 8 1, ..., Т, необходимо, чтобы нашлись такие не все равные нулю число Л= О, 1 'и векторы хе, хг, 1=0, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
